La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor
en 8. Hallar los dos nùmeros. Para resolver cualquier
problema con las herramientas del ÀLGEBRA se recomienda
seguir los siguientes pasos: 1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener
una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver) 2.-
IDENTIFICAR LAS INCÒGNITAS (Asignar letras a las
cantidades desconocidas) 3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE
ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando nùmeros para
las cantidades conocidas y letras para las cantidades
desconocidas. Las letras seràn las indicadas en el paso
anterior) 4.- RESOLVER EL PROBLEMA (Resolver la ecuaciòn o
sistema de ecuaciones con la herramienta adecuada) 5.- COMPROBAR
LOS RESULTADOS (Introducir los resultados obtenidos en las
ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen)
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor
en 8. Hallar los dos nùmeros. LEA CON DETENIMIENTO EL
PROBLEMA 1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener una idea precisa de
lo que debemos o queremos resolver) 2.- IDENTIFICAR LAS
INCÒGNITAS (Asignar letras a las cantidades desconocidas)
Se nos pide determinar o hallar dos nùmeros conociendo el
producto de su suma y la diferencia de valor entre ambos.
Identificado como ha sido el problema, debe tener claro que el
mismo presenta dos incògnitas (2 nùmeros
desconocidos), las “bautizamos” como: X =
Nùmero menor. Y = Nùmero mayor. J. L. ALBORNOZ
S
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor
en 8. Hallar los dos nùmeros. 3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN
LENGUAJE ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando
nùmeros para las cantidades conocidas y letras para las
cantidades desconocidas. Las letras seràn las indicadas en
el paso anterior) La suma de dos nùmeros es 106: (Recuerde
que los dos nùmeros fueron “bautizados” como
“X” y “Y”) X + Y = 106 (1) El
nùmero mayor excede al menor en 8 : ( El nùmero
mayor fue “bautizado” como “Y” y el menor
como “X”) Y = X + 8 (2) El problema queda reducido a
un sistema de dos ecuaciones con dos incògnitas,
situaciòn conocida y manejada por todos los estudiantes de
este nivel. Verifique siempre que el sistema de ecuaciones
planteado abarque totalmente la condiciòn del problema
ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor
en 8. Hallar los dos nùmeros. 4.- RESOLVER EL PROBLEMA
(Resolver la ecuaciòn o sistema de ecuaciones con la
herramienta adecuada) Existen tres mètodos para resolver
un SISTEMA DE ECUACIONES, a saber: el mètodo de
IGUALACIÒN, el mètodo de SUSTITUCIÒN y el
mètodo de REDUCCIÒN. Para aclarar cualquier duda
sobre sistemas de ecuaciones consulte las pàginas 321,
322, 323, 340 y 341 del ALGEBRA DE BALDOR. Con la hoja de
càlculo EXCEL podemos resolver cualquier sistema de
ecuaciones utilizando una de sus herramientas llamada SOLVER.
Para facilitar el contenido didàctico de este trabajo se
procederà a resolver este problema utilizando los tres
mètodos indicados: ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ
SALAZAR
MÈTODO DE S U S T I T U C I Ò N El problema
quedò reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos
incògnitas: X + Y = 106 (1) Y = X + 8 (2) Como su nombre
lo indica este mètodo consiste en SUSTUTUIR una
ecuaciòn dentro de la otra, la forma màs
fàcil consiste en escoger la ecuaciòn que presente
una sola de las incògnitas de un lado de la igualdad y
sustituir su valor en la otra ecuaciòn: Sustituyendo la
ecuaciòn (2) en la ecuaciòn (1): X + (X+8) = 106 ;
X + X + 8 = 106 ; 2X = 106 – 8 2X = 98 ; X = 98 ÷ 2 X = 49
Si X = 49 y Y = X + 8 ; Y = 49 + 8 Y = 57 ING.JOSÈ LUIS
ALBORNOZ SALAZAR
MÈTODO DE R E D U C C I Ò N El problema
quedò reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos
incògnitas: X + Y = 106 (1) Y = X + 8 (2) Este
mètodo consiste en relacionar las dos ecuaciones y obtener
una con una sola incògnita de manera que permita hacer un
despeje sencillo. En este caso la ecuaciòn (2) puede ser
indicada como – X + Y = 8 Sumando las dos ecuaciones:
Generalmente dicha relaciòn se realiza efectuando la suma
algebraica de las dos ecuaciones, para lo cual es necesario
colocar las incògnitas en la misma secuencia dentro de la
ecuaciòn, es decir: primero la X , despuès la Y, la
igualdad y el termino independiente. X + Y = 106 – X + Y = 8 2Y =
114 ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR +
MÈTODO DE R E D U C C I Ò N Si Y = 57 y X + Y = 106
; X + 57 = 106 X = 106 – 57 ; X = 49 2Y = 114 ; Y = 114
÷ 2 ; Y = 57 Observe que los resultados son similares a
los obtenidos con el mètodo anterior ING. JOSÈ LUIS
ALBORNOZ SALAZAR
MÈTODO DE I G U A L A C I Ò N X + Y = 106 es
equivalente a Y = 106 – X En este mètodo se procede a
igualar las dos ecuaciones existentes para hallar una sola
ecuaciòn con una incògnita y facilitar el despeje y
determinaciòn de su valor. Para poder realizar el
procedimiento señalado anteriormente es necesario que las
ecuaciones presenten de alguno de los dos lados de la igualdad la
misma incògnita en forma individual. Como la
ecuaciòn (2) refleja el valor de “Y”, proceda
a indicar la ecuaciòn (1) de manera similar: Igualando Y =
106 – X con la ecuaciòn (2) Y = X + 8 Tendremos que
106 – X = X + 8 ; 106 – 8 = X + X 98 = 2X ; X = 49 Si
X = 49 y Y = 106 – X ; Y = 106 – 49 ; Y = 57 ING.
JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor
en 8. Hallar los dos nùmeros. 5.- COMPROBAR LOS RESULTADOS
(Introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas
y verificar que se cumplen) En los tres mètodos explicados
el resultado obtenido fue el mismo: X = 49 ; Y = 57 La suma de
dos nùmeros es 106 : 49 + 57 = 106 El nùmero mayor
excede al menor en 8 : 57 = 49 + 8 ING. JOSE LUIS ALBORNOZ
SALAZAR Al verificar que con estos dos valores se cumplen las
condiciones del problema se concluye que los dos nùmeros
buscados son 49 y 57
R E C U E R D E S I E M P R E QUE : Para resolver cualquier
problema con las herramientas del ÀLGEBRA se recomienda
seguir los siguientes pasos: 1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener
una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver) 2.-
IDENTIFICAR LAS INCÒGNITAS (Asignar letras a las
cantidades desconocidas) 3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE
ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando nùmeros para
las cantidades conocidas y letras para las cantidades
desconocidas. Las letras seràn las indicadas en el paso
anterior) 4.- RESOLVER EL PROBLEMA (Resolver la ecuaciòn o
sistema de ecuaciones con la herramienta adecuada) 5.- COMPROBAR
LOS RESULTADOS (Introducir los resultados obtenidos en las
ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen)
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- JOSÈ tiene 14 años menos
que LUÌS y ambas edades suman 56 años.
¿Què edad tiene cada uno?. (R: 21 y 35) 2.- Se
comprò un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo
costò 4 veces el precio de los arreos.
¿Cuànto costò el caballo y cuànto los
arreos?. (R: 480 y 120) 3.- En un hotel de 2 pisos hay 48
habitaciones. Si las del segundo piso son la mitad que las del
primero. ¿Cuàntas habitaciones hay en cada piso?.
(R: 16 y 32)