Construcciones geométricas

Introducción

Alguna vez has tratado de trisecar un
ángulo, cuadrar un círculo o duplicar un cubo
solamente con regla y compás. ¡Qué sorpresa!
Te pasó como a los matemáticos de la antigua
Grecia, que no pudieron realizar dichas operaciones.

Precisamente la trisección del
ángulo, la cuadratura del círculo y la
duplicación del cubo son tres clásicos problemas de
la antigua Grecia sobre construcciones geométricas que
pasaron al siglo XX sin resolver.

Las construcciones geométricas han
estado presentes a lo largo de la historia incluso desde el
propio surgimiento de la humanidad. La podemos ver en las
inmensas construcciones que ha realizado el hombre como el
Partenón, en la plástica la vemos en la obra de Da
Vinci "La figura humana", utilizando la proporción
áurea o número de 60oro y es un tema muy
polémico en la actualidad y al cual no se le ha prestado
la suficiente atención que lleva el tema.

La sociedad actual exige que nosotros los
docentes eduquemos a las nuevas generaciones, les brindemos
conocimientos que tengan gran calidad, que formemos un joven con
una cultura general, y el tema de las construcciones
geométricas no se queda exenta de esta cultura.

A veces vemos como los estudiantes cuando
van a realizar un problema geométrico, no realizan
correctamente la construcción de la figura, y a veces no
pueden realizar un análisis objetivo del problema que les
permita resolver el mismo y este es uno de los elementos
más afectados dentro de aquellos estudiantes que
participan en los diferentes concursos de matemática y de
los que no participan cuando se enfrentan a diferentes tipos de
evaluaciones.

El principal requisito para resolver un
problema de geometría es realizar la figura con toda la
exactitud posible, como lo exige el problema, y ahí es
donde intervienen los conocimientos que tienen los estudiantes
sobre construcciones geométricas.

A lo largo de los años, se ha venido
disminuyendo la cantidad de horas clases dedicadas a las
construcciones geométricas dentro de los programas de la
asignatura de Matemática, solo se reducen a las
construcciones de una recta perpendicular o paralela que pasa por
un punto exterior a una recta, la construcción de la
mediatriz y la bisectriz (que además constituyen lugares
geométricos), e incluso en la carrera de Matemática
– Física, solo se trabajan las construcciones a partir de
los movimientos del plano.

E incluso dentro de los temas que se
trabajan para la preparación de concursos y olimpiadas no
hay un material dedicado a las construcciones geométricas,
y el tema es un objetivo clave para aquellos que año tras
año se entrenan para participar en los diferentes
eventos.

Nos hemos preguntado ¿dónde
han quedado las construcciones con regla y compás?
¿Dónde han quedado las construcciones de
triángulos y de circunferencias que tanta utilidad tiene
dentro de la Matemática para resolver problemas de
geometría?

Precisamente este el propósito del
libro que hoy estás leyendo: acercarte a las
construcciones geométricas que por un motivo o por otro,
no tienes al alcance de tus manos.

El libro contiene 4 capítulos que
están dedicados a la construcción de los elementos
fundamentales de la geometría, a la construcción de
triángulos, a la construcción de
cuadriláteros y a la construcción de
polígonos, y para todo ello utilizaremos solamente la
regla y el compás, además en un anexo 1, mostramos
algunos ejercicios propuestos para que ejercites lo que ya has
aprendido incluyendo los lugares geométricos más
utilizados y un segundo anexo donde presentamos un resumen de los
teoremas en los cuales intervienen las figuras antes
mencionadas.

Este tipo de problema es relativamente
fácil de resolver, solo tienes que tener un poco de
ingenio y saber utilizar correctamente la regla y el
compás.

No nos podemos olvidar que resolver un
problema de construcción en el plano consiste en construir
determinados elementos geométricos que satisfagan ciertas
condiciones o relaciones pedidas, dado un conjunto de elementos
geométricos y utilizando un número determinado de
instrumentos de dibujo.

En cada problema de construcción
propuesto, te sugerimos que realices los siguientes
pasos:

– Análisis: En este primer paso se
debe encontrar las condiciones necesarias para la existencia de
soluciones. Para esto se supone el problema resuelto, se dibuja
una figura que cumpla aproximadamente las condiciones dadas,
luego se trata de investigar las relaciones que existen entre los
elementos dados y los elementos que deseamos construir, hasta
reducir el problema propuesto a problemas ya conocidos. El
análisis prepara las condiciones necesarias para la
construcción de la figura y solución del
problema.

– Construcción y descripción:
Este segundo paso consiste en hacer la construcción de la
figura con las condiciones pedidas, considerando los resultados y
relaciones obtenidas en el análisis del problema. La
construcción debe hacerse con los instrumentos que se
permiten utilizar, pues la solubilidad del problema, está
estrechamente vinculado con estos. Debe hacerse una
descripción de los pasos fundamentales de la
construcción.

– Demostración: En el tercer paso,
la demostración, se justifica la construcción
realizada al probar que la figura obtenida satisface las
condiciones del problema. Se debe demostrar la proposición
siguiente, "si la construcción es siempre realizable,
entonces cada figura que así se construya satisface todas
las condiciones del problema".

– Discusión: El cuarto paso consiste
en dar un resumen sobre el conjunto de soluciones del problema.
Aquí se determinan los casos de posibilidad e
imposibilidad, los casos de determinación e
indeterminación y los casos particulares interesantes que
puedan presentarse. Es importante destacar que las figuras que
resultan congruentes constituyen una misma
solución.

No queda más por decir, yo sé
que este libro te va a servir de mucha ayuda y que en tus manos
contribuirá en ti, a ver la matemática desde otros
puntos de vista.

EL AUTOR

Capítulo 1

Elementos de
geometría

El punto y la
línea

El punto es un elemento geométrico
que se representa por una cruceta o por una pequeña marca,
de modo que A, B, C y D, representan puntos (fig. 1). Estas
marcas se obtienen aplicando la punta afilada del lápiz en
el papel; también puede obtenerse la representación
de un punto aplicando la punta de un alfiler en cualquier
superficie. Es costumbre designar los puntos por letras
mayúsculas; así se dice: el punto A; el punto C,
etc.

Una línea se representa por un trazo
fino. Así (fig. 2), AB y EFG representan líneas.
Las líneas se designan generalmente por una, dos o
más letras convenientemente dispuestas, como acabamos de
hacerlo.

Línea recta

La línea recta, de la cual da idea
un hilo bien estirado, se representa como se ve en la figura 3, y
se supone indefinida, es decir, que se extiende a la izquierda de
A y a la derecha de B, pues no está limitada, no termina
es estos puntos. La línea recta suele llamarse simplemente
recta, y en la práctica se representa como se ve en la
fig. 4. A veces se designa por dos letras mayúsculas y se
lee recta AB, pero es más corriente ahora designarla por
una sola letra minúscula r, y se dice la recta
r.

Las líneas están formadas por
puntos.

Cuando consideramos dos puntos A y B en una
recta (Fig. 5), decimos que AB es un segmento de recta. Los
puntos A y B son los extremos del segmento.

La línea de la fig. 6 es una
línea quebrada o poligonal; está formada por varios
segmentos de recta a, b, c, d y e. Los puntos A y B son los
extremos de la poligonal.

Cuando se dice recta, se sobreentiende que
ésta es indefinida, es decir, que no termina por una parte
ni por la otra, que no tiene extremos, aunque en el dibujo se
represente limitada.

Si en una recta se marca un punto A, (fig.
7) se obtienen dos semirrectas, de las cuales una parte de A y se
extiende indefinidamente hacia X, y la otra parte de A y se
extiende, también indefinidamente, hacia Y.

Propiedades de la recta

1ª) Si tenemos dos puntos A y B (fig.
8) por ellos puede pasar una recta r, pero si tratamos de trazar
otra u otras. Todas se confunden, esto es, coinciden con r. esto
se expresa así:

Por dos puntos dados puede pasar una
línea recta y sólo una.

O bien:

Dos puntos determinan la posición de
una recta.

2ª) Si tratamos de ir desde un punto M
hasta un punto N (fig 9) podemos seguir muchos caminos 1, 2, 3,
…, etc., pero de todos ellos el más corto es el
segmento MN de la recta que los une. Tenemos así la
segunda propiedad:

Entre dos puntos, el camino más
corto es el que da la recta que pasa por ellos.

La longitud del segmento MN que une dos
puntos dados, M y N, se llama distancia entre estos
puntos.

Superficie plana

Llegamos a la idea de superficie observando
los cuerpos que nos rodean.

De la superficie plana, que se llama
también plano simplemente, nos formamos idea cuando
observamos la superficie de un líquido, en reposo, o un
piso bien trabajado, o uno de los cristales de nuestras ventanas.
Los planos, como las rectas son indefinidos, lo cual quiere decir
que no terminan en parte alguna, pero los representamos en el
dibujo como se ve en P, en la fig. 10, y se dice el plano P.
cuando toco la superficie de la mesa con la punta del
lápiz, comprendo lo que quiere decir que esta punta
está en el plano de la mesa. Si separo la punta del
lápiz de la mesa, digo que esta punta está fuera
del plano de la mesa. Una propiedad fundamental del plano es la
siguiente:

Dos puntos de un plano determinan una
línea recta que se encuentra toda ella en el
plano.

Así, los dos puntos A y B del plano
P, es decir, que están en el plano P, determinan la recta
r, cuyos puntos están todos situados en el plano P, (fig.
11).

Ángulos, lados y
vértices

La fig. 12 representa un ángulo cuyo
vértice es O y cuyos lados son las dos semirrectas OA y
OB. El lado OA se supone prolongado indefinidamente hacia A y el
OB hacia B. UN ángulo se designa por medio de tres letras
que se disponen, una en el vértice como O, y las otras dos
próximas a los lados, como A y B. Para leerlo se enuncian
las tres letras de modo que la del vértice vaya en el
medio. Así, el ángulo de la figura anterior se lee
AOB, o bien, BOA. Cuando no puede haber confusión, se dice
también el ángulo O y también el
ángulo en O. Otras veces se designa un ángulo por
medio de una letra m dispuesta en su interior y se lee el
ángulo m. A veces se usan números en lugar de
letras.

Se dice que dos ángulos son iguales
o congruentes, cuando haciendo coincidir el vértice y uno
de sus lados, los otros lados coinciden.

Para tener una idea del tamaño, la
magnitud o el valor de un ángulo, basta observar la figura
13. En ella se ve que los ángulos 1 y 2 son iguales; que
el ángulo 3 es mucho mayor que cualquiera de los
anteriores y que el 4 es mucho menor que el 1 o que el 2 o que el
2. Se ve así que el valor de un ángulo no depende
de la longitud de sus lados.

Cuando una recta MN encuentra a otra PQ,
(fig. 14), ambas forman cuatro ángulos: 1, 2, 3 y 4. Los
ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice y se
observa que son iguales. Asimismo, los ángulos 2 y 4 son
opuestos por el vértice y son iguales a su vez.

Se dice entonces que dos rectas son
perpendiculares cuando, al encontrarse forman cuatros
ángulos rectos. Así, (fig. 15), las dos recta AB y
CD, que se encuentran en el punto O, son perpendiculares, porque
los cuatro ángulos r, s, t y u son iguales.

En ese caso se dice que los lados de los
cuatro ángulos formados son perpendiculares unos a otros
por ejemplo, se dice que el lado OC es perpendicular al OA y se
llama:

Ángulo recto al ángulo que
tiene sus lados perpendiculares. Los ángulos 1, 2 y 3 de
la fig. 16 son todos ángulos rectos. Todo ángulo
menor que un ángulo recto se llama ángulo agudo;
tales son representados en la figura 17.

Todo ángulo mayor que un
ángulo recto se llama ángulo obtuso (fig.
18)

Complemento de un ángulo agudo es lo
que le falta para valer un ángulo recto. Así, en el
caso de la figura 19, el complemento del ángulo ABC es el
ángulo CBD, porque BD es perpendicular a BA y el
ángulo ABD es de 90º.

Complemento de un ángulo obtuso es
un exceso con respecto a un ángulo recto. En la figura 20
el ángulo DBC es el complemento del ángulo
ABC.

Bisectriz de un ángulo es una
semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. En las
figuras (fig. 21, BD es la bisectriz del ángulo
ABC.

Se dice que dos rectas son oblicuas cuando
no son perpendiculares. Las rectas MN y PQ (fig. 14) son
oblicuas. Los lados ON y OP del ángulo NOP, son oblicuos.
En la fig. 22 se observa que DC es perpendicular a AB, en tanto
que MC, HC y LC son oblicuas a ella. Se observa que, en un punto
de una recta que, solo hay una perpendicular; en cambio hay
tantas oblicuas como se quiera.

Se dice que varias recta están
situadas en un mismo plano y no se encuentran. Las rectas AB, CD
y EF (fig. 23) son tales que están situadas en el plano
del papel y no pueden encontrarse por mucho que las prolonguemos:
esto da idea de las rectas paralelas. Esto quiere decir que las
rectas paralelas. Esto quiere decir que las rectas paralelas no
se cortan. Cuando dos rectas se cortan, esto es, se encuentran,
se dice que son secantes.

Cuando dos rectas son secantes se dice que
convergen hacia el punto donde se cortan, o tienden a cortarse, o
que divergen del mismo. Las dos rectas r y s, suficientemente
prolongadas (fig. 24) se cortarían en A, que es su punto
de encuentro, de intersección o de concurso. Si las
consideramos en el sentido de las flechas, se llaman
convergentes; si en el sentido opuesto, se llaman
divergentes.

Circunferencia

Se llama circunferencia a una línea
curva, plana y cerrada, cada uno de cuyos puntos está a
una misma distancia de un punto llamado centro. La línea L
(fig. 25) es una circunferencia. Si en ella se toman puntos
cualesquiera A, B, C, D,…, todos estos puntos se hallan a
una misma distancia del punto O que es el centro de la
circunferencia. Radio de una circunferencia es el segmento de
recta que une el centro con un punto cualquiera de la
circunferencia. Así, (fig. 26), OA es un radio, el radio
correspondiente al punto A y se ve que:

En una misma circunferencia todos los
radios son iguales.

Diámetro es el segmento que pasa por
el centro y tiene sus extremos en la circunferencia: DOE es un
diámetro. Se ve que el diámetro es el doble del
radio y divide en dos partes iguales o congruentes a la
circunferencia.

Arco es una porción cualquiera de la
circunferencia. Así, cuando marcamos dos puntos B y C en
una circunferencia, obtenemos dos arcos, el arco BMC que se
escribe y el arco
BDEAC. Los puntos B y C son los extremos de estos
arcos.

Cuerda es el segmento que une los extremos
de un arco. Como ejemplo, BC es la cuerda que corresponde al arco
BMC.

Secante es toda recta que corta a la
circunferencia en dos puntos, como MN (fig.27) que la corta en A
y en B.

Tangente es toda recta que toca a la
circunferencia en un punto, que se llama punto de contacto o de
tangencia. Así, CD es una tangente: toca a la
circunferencia en T, que es el punto de tangencia o de contacto.
El radio OT es el radio de contacto y es perpendicular a la
tangente, como se ve en la figura.

La sagita es el segmento que une el punto
medio de una cuerda con el punto medio del arco correspondiente.
En la figura, FG es una sagita.

Se llama círculo a la porción
del plano limitada por la circunferencia. Por eso suele llamarse
a la circunferencia de círculo. El círculo se ve
rayado en la figura 28.

Segmento circular, o simplemente segmento,
es la porción del círculo comprendido entre una
cuerda y uno de sus arcos. En la figura 29, AMB es un
segmento.

Sector circular o simplemente sector, es
aquella parte del círculo comprendida entre un arco y los
radios que van a sus extremos. COD es un sector.

Zona es la porción de círculo
que determinan dos cuerdas paralelas y las porciones de arcos
comprendidas entre ellas. ZZ es una zona.

Cuando se consideran dos circunferencias en
un plano, éstas se llaman concéntricas, cuando
tienen el mismo centro (fig. 30). En este caso la parte del plano
comprendida entre ambas se llama corona o anillo circular. Tal es
la porción rayada en la figura.

Si se trazan dos radios, se obtiene una
porción de la corona o anillo – ABCD en la figura 31 – que
es el trapecio circular.

Dos circunferencias que situadas en un
plano, tienen por centros puntos distintos, se llaman
excéntricas (fig. 32) y el segmento que une sus centros se
llama línea de los centros.

Cuando las circunferencias se cortan, (fig.
33), se llaman secantes, y la porción del plano
común a ambas es una lentícula L. Cuando solo
tienen un punto común, se llaman tangentes.

Pueden ser tangentes exteriormente (fig.
34) o interiormente (fig. 35).

El punto común T es el punto de
tangencia.

Realengo. – La porción del plano
limitada por varias circunferencias tangentes o secantes se llama
realengo (fig. 36)

Ángulos que se consideran en la
circunferencia

Se llama ángulo central al que tiene
su vértice en la circunferencia y los lados coinciden con
los radios de la misma. El AOB (fig. 37) es un ángulo
central.

Ángulo inscrito es el que tiene su
vértice en la circunferencia y sus lados coinciden con
cuerdas de la misma. El ángulo CDE es inscrito.

Ángulo semiinscrito es el que tiene
su vértice en la circunferencia y uno de sus lados
coincide con una cuerda y el otro con una tangente. Tal es el ABC
(fig. 38)

Ángulo exterior o externo es el que
tiene su vértice fuera del círculo, y sus lados
coinciden con dos secantes, como el DEF

Ángulo interior o interno es el que
tiene su vértice dentro del círculo. Como el ABC
(fig. 39). Todo ángulo central es interior.

Ejemplos resueltos:

• 1. Levantar una perpendicular en
  el punto medio de un segmento.

Sea el segmento AB (fig.40). Se hace centro
en uno de sus extremos A, y con una abertura de compás
mayor que la mitad de AB, se trazan los arcos 1 y 2. Se hace
centro en B, y con la misma abertura, se trazan los arcos 3 y 4,
que corten a los primeros. Se unen los puntos C y D así
obtenidos y se tiene la perpendicular pedida CD. Queda así
determinado el punto medio M del segmento AB, que es el punto que
lo divide en dos partes iguales.

En la figura 41 se ha modificado el
método de modo que se interpreta fácilmente. La
perpendicular CD se llama mediatriz del segmento AB.

• 2. Levantar la perpendicular en un
  punto de una recta.

Dada una recta y el punto M de la misma
(fig. 42), se hace centro en M, y con una apertura cualquiera del
compás, se marcan los puntos A y B situados a igual
distancia (equidistantes) de M. haciendo ahora centro en B, con
igual abertura de compás mayor que AM, se traza el arco 1;
haciendo centro en B, con igual abertura, se traza el arco 2 que
corte al primero. Queda así determinado el punto C que
unido con M da la perpendicular pedida. La longitud del segmento
CM se llama distancia del punto C a la recta r. El punto M es el
pie de la perpendicular.

• 3. Levantar la perpendicular en el
  extremo de una semirrecta

• a) Sea AB la semirrecta dada (fig.
  43) que suponemos que no puede prolongarse hacia la izquierda
  de A. Se hace centro en A, y con una abertura cualquiera de
  compás, se traza el arco CDE. Haciendo ahora centro en
  C, y con la misma abertura de compás, se marca el
  punto D. haciendo centro en D, y con igual abertura, se marca
  el punto E.

Haciendo ahora centro en D y en E, con una
misma abertura de compás, se trazan los arcos 1 y 2 que se
corten, y el punto H así obtenido, unido con A, da la
perpendicular pedida AH.

• b)  Otro método, se marca
  un punto cualquiera C, situado fuera de la semirrecta dada
  (fig. 44), y haciendo centro en él, y con una abertura
  de compás igual a CA, se traza una semicircunferencia.
  Esta circunferencia encuentra a la semirrecta en el punto D,
  que unido con E, determina el otro punto E de la
  circunferencia, que unido a su vez con A, determina la
  perpendicular AE

• c) Otro método. Con radio
  cualquiera y centro en A (fig. 45), se traza el arco CD. Con
  centro en el punto C, y la misma abertura de compás,
  se marca el punto D. Se une C con D, prolongando hacia DE. Se
  toma DE igual a DC y uniendo E con A se tiene la
  perpendicular AE.

• 4. Trazar una perpendicular a una
  recta desde un punto no situado en ella.

Sea r la recta dada y A el punto (fig. 46).
Se hace centro en A, y con abertura suficiente, se traza un arco
BC que encuentre a la recta r en dos puntos B y C. Haciendo ahora
centro en estos puntos, y con una abertura mayor que la mitad de
BC, se traza los arcos 1 y 2 que se cortan en D. Uniendo este
punto D con A se tiene la perpendicular pedida AD. Es claro que
los arcos 1 y 2 pueden trazarse en la región superior del
plano, de modo que D no se confunda – no coincida – con
A.

• 5. Por un punto no situado en una
  recta, trazar una paralela a esta recta.

Sea r la recta y A el punto no situado en
ella (fig. 47). Haciendo centro en A, y con una abertura
suficiente, para cortar a r en un punto B, se traza el arco BC.
Haciendo centro en B, y con la misma abertura, se traza el arco
AD. Se mide con el compás la distancia AD, y haciendo
centro en B, se marca el punto C con esta abertura. Uniendo los
puntos A y C se tiene la paralela pedida p.

• 6. Trazar una tangente a una
  circunferencia por un punto dado de la misma.

Se da la circunferencia de centro C y el
punto A de esta curva (fig. 48). Para resolver el problema
propuesto se traza el radio CA del punto A y se levanta al mismo
una perpendicular en su extremo A, por uno de los métodos
dados en el problema tercero. Esta perpendicular AT es tangente a
la circunferencia en el punto A.

• 7. Por tres puntos no situados en
  línea recta trazar una circunferencia.

Sean A, B y C los tres puntos dados (fig. 49). Por el
método del problema 1 levantemos la perpendicular EF en el
punto medio del segmento que une A con C. por el mismo
método levantemos la perpendicular GH en el punto medio
del segmento que une B con C; estas dos perpendiculares se
encuentran en un punto O. Haciendo centro en O, y con una
abertura igual a OA, se traza una circunferencia; ésta
pasa por los tres puntos dados.

• 8. Construir un ángulo, igual a otro
  ángulo dado.

Dado el ángulo ABC, (fig. 50), para construir
otro igual o congruente con él, se hace centro en el
vértice B del ángulo dado, y con una abertura
cualquiera de compás, se traza el arco DE, comprendido
entre sus lados.

Se traza una semirrecta NM, y haciendo centro en su
origen N, y con igual abertura de compás, se traza el arco
FG. Se mide entonces con el compás la cuerda DE del primer
arco, y haciendo centro en F, y con esta abertura, se marca el
punto G. Uniendo N con G se tiene el ángulo MNP que es
igual al dado.

• 9. Dividir un ángulo recto en tres
  partes iguales.

Sea el ángulo ABC (fig. 51). Haciendo centro en
su vértice B, y con una abertura cualquiera de
compás, tracemos el arco AC comprendido entre sus lados.
Con esta misma abertura se hace ahora centro en A y se traza el
arco a y en seguida centro en C y se traza el arco b con igual
abertura. Trazando las semirrectas BD y BE se tiene el
ángulo dividido en tres partes iguales 1, 2 y
3.

• 10. Trazar la bisectriz de un
  ángulo.

Sea el ángulo recto ABC (fig. 52). Haciendo
centro en su vértice B, y con una abertura arbitraria,
tracemos un arco cualquiera DE, y haciendo centro en D y en E,
con una misma abertura suficiente, tracemos los arcos 1 y 2 que
se cortan en F. Uniendo B con F se tiene la bisectriz pedida
BF.

• 11. Construir ángulos de 30º,
  45º, 60º y 120º.

• a) Construir un ángulo de 60º. – Se
  traza una semirrecta AB (fig. 53), se hace centro en su
  origen A y, con una abertura cualquiera del compás, se
  traza un arco CD. Con esta misma abertura se hace centro en C
  y se marca el punto D. Trazando la semirrecta AD se tiene el
  ángulo pedido.

• b) Construir un ángulo de 30º. 1-
  Se construye, según el método anterior, un
  ángulo de 60º; se le traza la bisectriz a este
  ángulo y resultan dos ángulos de
  30º

2- Se construye un ángulo recto (fig. 54),
según vimos en el problema 3. Se traza, con centro en su
vértice B, el arco AC, comprendido entre sus lados. Con
esa abertura, y centro en C, se marca el punto D, y trazando BD,
se tiene un ángulo de 30º. A la vez se obtiene otro
de 60º.

• c) Construir un ángulo de 45º. –
  Basta construir un ángulo recto (fig. 55) y trazarle
  la bisectriz según el problema 10. Se tienen
  así dos ángulos de 45º.

• d) Trazar un ángulo de 120º. – Se
  traza una semirrecta AB (fig. 56), y con centro en su origen
  A, y una abertura cualquiera de compás, se traza el
  arco CE. Con centro en C, y la misma abertura, se marca el
  punto D, y con centro en D e igual abertura se marca el punto
  E. Uniendo A con E se tiene un ángulo de
  120º.

• 12. Trazar las tangentes a una circunferencia
  desde un punto exterior. – Sea la circunferencia de centro O
  y un punto exterior A (fig. 57). Para trazar las tangentes
  desde A, se traza una circunferencia que tenga por
  diámetro la distancia AO; el centro B de esta
  circunferencia se determina levantando la perpendicular en el
  punto medio de AO. Los puntos M y N, en que las dos
  circunferencias se cortan, son los puntos de contacto de las
  tangentes. AM y AN son las tangentes pedidas.

• 13. Trazar las tangentes comunes exteriores a
  dos circunferencias dadas.

Sean 1 y 2 las dos circunferencias dadas, de centros O y
O´, respectivamente (fig. 58). Haciendo centro en O´
de la mayor, y con un radio igual a la diferencia de los radios
de las dos circunferencias dadas, se traza la circunferencia 3.
Hecho esto, se trazan a esta última circunferencia las
tangentes posibles OA y OB, desde el punto O, por el
método dados antes. Desde el centro O´ se trazan
ahora las perpendiculares O´M y O´P a estas
tangentes, y por O las perpendiculares ON y OQ a las mismas
tangentes. Se tienen así los cuatro puntos de contacto M,
N, P y Q. Uniendo M y N se tienen una tangente; uniendo M y N se
tiene una tangente; uniendo P y Q se tiene la otra. Estas
tangentes se llaman exteriores porque se cortan fuera del
segmento OO¨.

• 14. trazar las tangentes comunes interiores a
  dos circunferencias dadas.

El problema es semejante al anterior. Con centro en
O´(fig. 59), centro de la circunferencia mayor, y con un
radio igual a la suma de los radios de las circunferencias dadas,
se traza una circunferencia 3. Se trazan entonces desde O las
tangentes posibles, OA y OB, a esta circunferencia. Desde O y
O´ se trazan las perpendiculares O´A y O´B, OP
y ON a estas tangentes, y se tienen así los cuatro puntos
de ocntacto M, N, P y R; una de las tangentes es MN y la otra PR.
Estas tangentes se llaman interiores porque se cortan en D,
comprendido entre O y O´.

Capítulo 2

Triángulos

La figura 60 representa cuatro triángulos. Se ve
que todos ellos limitados por tres segmentos que se encuentran
dos a dos en tres puntos. Considerando cualquiera de los
triángulos, el T, por ejemplo, los segmentos son AB, BC,
CA. Cada uno de estos segmentos es un lado del triángulo y
todo triángulo tiene tres lados. Los puntos A, B y C donde
se encuentran los segmentos, son los vértices del
triángulo: todo triángulo tiene tres
vértices. Además, todo, todo triángulo tiene
tres ángulos – 1, 2 y 3 en la figura – y de ahí le
viene el nombre.

Los lados de un triángulo se nombren como los
segmentos, esto es, por las dos letras de sus extremos y se dice,
por ejemplo, en T: el lado BC del triángulo T, o del
triángulo ABC. Pero es más sencillo denominar cada
lado con letra minúscula correspondiente a la letra del
vértice opuesto. Es costumbre decir que el lado AB es
opuesto al vértice C y por eso se designa con la letra
c.

Los ángulos se pueden nombrar de cualquiera de
las maneras ya explicadas. Así, en el triángulo T
se dice: el ángulo A, o el ángulo 1, o el
ángulo ABC.

Clasificación de los triángulos
según la longitud relativa de sus lados. Según esta
longitud relativa, los triángulos pueden ser:
equiláteros, isósceles y escalenos.
Equilátero es el triángulo que tiene sus tres lados
iguales, como el ABC (fig. 61). Se observa que tiene sus tres
ángulos también iguales. Isósceles es el que
tiene dos lados iguales, como el DEF (fig. 62). En este caso el
lado desigual DF se llama base del triángulo
isósceles. Escaleno es el que tiene sus tres lados
desiguales (fig. 63). Así es el GHI. El lector puede
comprobar, dibujando correctamente un triángulo y midiendo
sus lados, que en todo triángulo cada lado es menor que la
suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Clasificación de los triángulos atendiendo
a sus ángulos.

Según el valor de sus ángulos, los
triángulos pueden ser acutángulos,
obtusángulos y rectángulos. Acutángulo es el
triángulo que tiene sus tres ángulos agudo, como
cualquiera de los tres de la figura anterior. Obtusángulo
es el triángulo que tiene obtuso uno de sus
ángulos, como el ABC (fig. 64), que tiene obtuso el
ángulo B. los otros dos ángulos son agudos.
Rectángulo es el triángulo que tiene uno de sus
ángulos rectos, como el ABC (fig. 65), que tiene recto el
ángulo B. en todo triángulo rectángulo los
lados AB y BC, que forman el ángulo recto, se llaman
catetos, y el tercer lado AC, opuesto al ángulo recto, se
llama hipotenusa. El lector puede comprobar, dibujando
cuidadosamente un triángulo y midiendo sus ángulos,
que: la suma de los tres ángulos de un triángulo
vale 180º.

Base y altura.

Si desde uno de los vértices de un
triángulo se baja una perpendicular a la recta que
determina uno de sus lados, (fig. 66), se obtiene un segmento que
es la altura del triángulo dado correspondiente al lado
considerado. Así, en las figuras 66 y 67, BD o h y
B´D´ o h´ son las alturas de los
triángulos representados. Es decir, h es la altura del
triángulo ABC correspondiente al lado AC, en tanto que
h´ es la altura del triángulo
A´B´C´ correspondiente al lado
A´C´. EL lado considerado para trazar la altura es la
base del triángulo. Así, en la primera figura, la
base del triángulo es AC; en la segunda es
A´C´. Como cualquier lado puede servir de base, es
claro que un triángulo tiene tres alturas. Cuando el
triángulo es isósceles, el nombre de altura se
aplica particularmente a la que corresponde al lado desigual, que
se llama base, en cambio, cualquiera de los lados iguales recibe
el nombre de lado del triángulo
isósceles.

Área del triángulo. El conjunto de los
tres lados de un triángulo limita una porción del
plano que puede medirse. El resultado de esta medida es el
área o la superficie del triángulo. El área
o la superficie del triángulo ABC (fig. 68) es la
porción del plano limitada por los tres lados.

Para hallar el área de un triángulo se
traza la altura BD o h correspondiente a uno de sus lados y se
mide esta altura y el lado correspondiente AC = b, y el
área A está dada por la siguiente fórmula: A
= 1/2b.h, que corresponde a esta regla: el área de un
triángulo es igual a la mitad del producto de su base por
su altura.

Ejemplo 1: Calcular el área de un
triángulo cuya base es de 30 m. y cuya altura es de 12
m.

En este caso b = 30 m., h = 12 m. y el área es A
= ½ . 30 . 12 = 30 . 6 = 180 m2.

Ejemplo 2: Calcular el área del triángulo
cuya base es de 32,5 cm. Y cuya altura es de 15,4 cm.

Ahora b = 35,5 cm.; h = 15,4 cm. Y el área es A =
½ . 32,5 . 15,4 = 250,25 cm2.

Ejercicios resueltos:

• 1. Construir un triángulo
  equilátero conociendo el lado.

Sobre una recta r (fig.69) se lleva el segmento AB igual
lado dado. Con una abertura de compás igual a este lado y
centro en A, se traza el arco 1, y con la misma abertura y centro
en B, se traza el arco 2. Estos dos arcos se cortan en el punto
C, que unido con A y B, nos da el triángulo buscado
ABC.

• 2. Construir un triángulo
  isósceles concociendo la base y la altura.

La base del triángulo es el segmento b y su
altura el segmento h (fig. 70). Sobre una recta cualquiera r
llevamos la base dada AB = b. Por el procedimiento ya conocido
levantamos la perpendicular MD en su punto medio, y a partir del
punto D, llevamos sobre ella en DC el segmento h, igual a la
altura. Obtenemos así el punto C, que unido con A y B, nos
da el triángulo isósceles pedido.

• 3. Construir un triángulo conociendo
  tres lados.

Sean a, b y c los tres lados dados (fig. 71). Sobre una
recta r llevamos uno de los lados, BC = a, por ejemplo. Con
centro en B y una abertura de compás igual a otro de los
lados, el c, por ejemplo, tracemos el arco 1, y con centro en C y
una abertura de compás igual al otro lado b, tracemos el
arco 2. Estos arcos se cortan en el punto A que unido con B y C
nos resuelve el problema.