Estudio de fonones en el grafeno mediante la aproximación streching-bending

El modelo Identificación de las celdas unidad con dos
átomos base. Vectores de la red de Bravais.
Elección correcta del sistema de coordenadas.

El modelo a1 y a2 son vectores de Bravais Los vectores base del
espacio recíproco, b1 y b2 cumplen ? ? bi . a j =
2pdij

El modelo Consideramos además las mismas masas m, y unas
constantes k iguales para todos los átomos

2 Aproximación de “streching” A partir de la U
del sistema, podemos encontrar las entradas de la matriz
dinámica Esto nos permitirá resolver la
ecuación de autovalores ? ? ? ? D ( q ) ? = M ? ( q ) ? Es
un problema de diagonalización de D(q)

? ? ? j j ?< i , ? 1 ? ? ? ? 2 2 La U del sistema En
la aproximación de “streching” U = 1 2 ? ?>
k ? (s i – s )· rij ? 2 Cuando consideremos también
el “bending”, se añade un término 2 U =
?(ks – kb )?(si – s j )· rij ? + kb si – s j

Resolución analítica para el streching Una vez
desarrollada la U, hallamos las entradas de las matrices D(R) ?
Dµ? (R – R' ) = ? 2U ?uµ (R)?u? (R' ) D(q)
será una matriz hermítica del tipo ? D ( q ) = ? e
iqR ? D ( R ) R

Frecuencias: Relación de dispersión
Analíticamente se obtienen los autovalores ?1 = 0 ? 2 = 3k
m 2 3k k m?3 = + 2 2 2 3k k m?4 = – 2 2 3 + 2(cos(q.a1 ) +
cos(q.a2 ) + cos(q.(a1 – a2 ))) 3 + 2(cos(q.a1 ) + cos(q.a2 ) +
cos(q.(a1 – a2 )))

Representación gráfica Nos hemos movido en la 1a
zona de Brillouin: parametrización del recorrido.

Un plot en 3D Es una representación en el espacio
recíproco ¿Qué nos indica que ?1 = 0?
Debemos mejorar el modelo con el bending

El problema numérico El considerar bending añade un
término que hace que los autovalores de D(q) sean
“imposibles” de obtener de manera analítica
Empleo de un método numérico para resolver D(q):
consiste en parametrizar q a lo largo de los recorridos

El problema numérico Necesitamos expresar las coordenadas
de q en la base ? ? ? ? ?b1 , b2 ? ? ? Numéricamente, los
valores de q en cada recorrido vienen dados por un
parámetro. En la i-ésima iteración ? qi = a
q El bending añade nuevos términos k b = k s k b a
las D(R). Además

Relación de dispersión SB

Relación de dispersión SB Podemos ir cambiando
kb

Caso del nitruro de boro Consiste en un material de una sola capa
de átomos de N y B en la misma proporción,
también dispuestos en red hexagonal. Ahora, la celda
unidad tiene dos masas distintas, m1 y m2. Problema de
autovalores generalizado. ? ? ? ? D(q)? = M ?2 (q)?

1 2 1 1 1 1 Problema de autovalores generalizado Sabemos
resolverlo con la matriz raíz cuadrada ? M = Rdiag ( m1 ,
m 2 …) R t ? – 2 ? ? – 2 Matriz hermítica definida
positiva Se resuelve el problema generalizado ? – 2 ? ? – 2 (M
D(q) M M D(q) M 1 1 ? 2 ? ? 2 ? )(M ? i ) = ?i2 (M ? i )

Relación de dispersión del nitruro de boro

Comparación con el grafeno Grafeno Nitruro de Boro

Simulaciones Veremos los desplazamientos en la celda unidad de
los átomos Modos acústicos y ópticos Se
representa en un punto de la zona de Brillouin, concretamente,
uno elegido al azar del 2º recorrido

Simulaciones También nos interesa el desplazamiento de la
red en conjunto Es una convolución de los movimientos de
cada celda unidad, modulados por un factor de fase e ikR para
cada celda El programa también selecciona un punto
arbitrario de la primera zona de Brillouin Representación
del 2º modo óptico

Referencias Ashcroft, Neil W, Mermin, David N, “Solid state
physics”, College edition Efthimios Kaxiras, “Atomic
and electronic structure of solids”, Cambridge University
Press