Introducción
El presente trabajo tiene como objetivo exponer la
distribución exponencial de forma teórica y
práctica. A pesar de la sencillez analítica de sus
funciones de definición, la distribución
exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que
podemos considerarla como un modelo adecuado para la
distribución de probabilidad del tiempo de espera entre
dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la
distribución exponencial puede derivarse de un proceso
experimental de Poisson con las mismas características que
las que enunciábamos al estudiar la distribución de
Poisson, pero tomando como variable aleatoria , en este caso, el
tiempo que tarda en producirse un hecho.
CAPITULO I
Distribución
exponencial
(Teoría)
Mientras que la distribución de Poisson describe
las llegadas por unidad de tiempo, la distribución
exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas.
Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es
exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es
discreta la distribución exponencial es continua porque el
tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero.
Esta distribución se utiliza mucho para describir el
tiempo entre eventos. Más específicamente la
variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir
a la llegada.
Ejemplos típicos de esta situación son el
tiempo que un medico dedica a una exploración, el tiempo
de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a
una urgencia.
El uso de la distribución exponencial supone que
los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo
de servicio determinado no depende de otro servicio realizado
anteriormente ni de la posible cola que pueda estar
formándose. Otra característica de este tipo de
distribución es que no tienen "edad" o en otras palabras,
"memoria". Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de
atención de un paciente en una sala quirúrgica
sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya
lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté
una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o
10 horas o las que sea. Esto es debido a que la
distribución exponencial supone que los tiempos de
servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el
próximo paciente operado tarda 1 hora porque su
cirugía era mucho más simple que la
anterior.
La función de densidad de la
distribución exponencial es la siguiente:
Su gráfica es un modelo apropiado a vida
útil de objetos.
Par calcular la esperanza matemática y la
varianza, se hallara primero el momento de orden r respecto del
origen:
CAPITULO II
Distribución exponencial
(Práctica)
Ejemplos prácticos sobre la
distribución exponencial:
EJEMPLO 1.-El tiempo durante el cual
cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta
que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo
exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360
días.
a) ¿qué probabilidad
hay que el tiempo de falla sea mayor que 400
días?.b) Si una de estas baterías
ha trabajado ya 400 días, ¿qué
probabilidad hay que trabaja más de 200 días
más?c) Si se están usando 5 de
tales baterías calcular la probabilidad de que
más de dos de ellas continúen trabajando
después de 360 días.
Solución
EJEMPLO 2.-Suponga que la vida de
cierto tipo de tubos electrónicos tiene una
distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X
representa la vida del tubo (tiempo q dura el tubo).
a) Hallar la probabilidad que se
queme antes de las 300 horas.b) ¿Cuál es la
probabilidad que dure por lo menos 300 horas?c) Si un tubo particular ha durado
300 horas. ¿cúal es la probabilidad de que dure
otras 400 horas?
Solución
Este, es una propiedad de la
distribución exponencial que se conoce como la de no tener
memoria.
EJEMPLO 3.-Suponga que el tiempo que
necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene un
distribución exponencial con una media de 40
segundos.
a) Hallar la probabilidad que el
tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que
20 minutos?b) ¿Cuál es la
probabilidad que el tiempo necesario para atender a un
cliente esté comprendido entre 1 y 2
minutos.
Solución
Sea X la variable aleatoria definida por
X(w)=intervalo de tiempo necesario para atender a un
cliente.
Autor:
Gonzales Quiñones César
Augusto
Gean Franco Ortiz
Maguiña
Año: 2º Semestre:
4º
Docente: Anne Aniceto C.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO
VILLAREAL
Facultad de Ciencias Naturales y
Matemáticas
Escuela de ESTADÍSTICA
Estadística II
07/11/2010