Cómo resolver un modelo matemático de programación lineal utilizando el método gráfico
Resolver con el MÈTODO GRÀFICO el siguiente modelo
de Programaciòn Lineal : MAXIMIZAR Z = 900 X1 + 600 X2
Sujeto a las siguientes restricciones : X1 + X2 = 100 (1) X1 = 40
(2) X1 = 20 (3) X2 = 50 (4) Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
Refresque sus conocimientos en còmo graficar una recta
conociendo su ecuaciòn Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
En Programaciòn Lineal el gràfico se
limitarà al Primer Cuadrante (las variables o
incògnitas solamente pueden tomar valores mayores o
iguales a cero. CONDICIÒN DE NO NEGATIVIDAD) Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
X2 X1 VALORES POSITIVOS DE LAS DOS INCÒGNITAS Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
UTILICE UNA ESCALA APROPIADA Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1
El procedimiento consiste en estudiar las desigualdades una a
una, sobre el mismo gràfico. Para lo cual tomo la
desigualdad o inecuaciòn y la grafico como una recta. El
plano quedarà dividido en dos partes; una que cumple con
la desigualdad y la otra no. Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
Estudiemos la primera restricciòn : X1 + X2 = 100 Para
hacerlo, grafico la recta : X1 + X2 = 100 Ingeniero JOSÈ
LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
RECUERDE que para graficar una recta basta con calcular dos de
sus puntos (par ordenado) y trazar una lìnea recta que
pase por ellos. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ
SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 + X2 = 100 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Para determinar cual lado cumple con la desigualdad escojo un
punto cualquiera y lo introduzco en la inecuaciòn, si se
cumple con ella, cumpliràn todos los que estèn de
ese lado y viceversa. En el gràfico anterior puedo escoger
el punto origen (0,0) y estudio la desigualdad: Para X1 = 0 y X2
= 0 Sustituyendo en X1 + X2 = 100 0 + 0 = 100 (cierto) Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Como se cumpliò para el origen se cumplirà para
todos los otros puntos que estàn a la izquierda y debajo
de la recta X1 + X2 = 100 Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 + X2 = 100 Lado que
cumple con la restricciòn (1) X1 + X2 = 100 Lado que NO
cumple con la restricciòn (1) X1 + X2 = 100 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
El procedimiento recomendado consiste en “sombrear”
el lado factible (que cumple con la desigualdad) y a medida que
vayamos estudiando nuevas rectas “borramos” el
àrea sombreada anteriormente que no cumpla con esta nueva
restricciòn. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ
SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 + X2 = 100 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Estudiemos la segunda restricciòn : X1 = 40 Para hacerlo,
grafico la recta : X1 = 40 Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 40 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Los valores de X1 menores a 40 se encuentran a la izquierda de
esta recta. Condiciòn que me obliga a “borrar”
los puntos que estan a la derecha (no cumplen con X1 = 40)
RECUERDE que la zona factible de soluciòn estarà
conformada por los puntos que cumplan con TODAS las
restricciones. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ
SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 40 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 40 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Estudiemos la tercera restricciòn : X1 = 20 Para hacerlo,
grafico la recta : X1 = 20 Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 20 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Los valores de X1 mayores a 20 se encuentran a la derecha de esta
recta. Condiciòn que me obliga a “borrar” los
puntos que estan a la izquierda (no cumplen con X1 = 20) RECUERDE
que la zona factible de soluciòn estarà conformada
por los puntos que cumplan con TODAS las restricciones.
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 20
NOTE que a medida que se van analizando las restricciones el
ESPACIO o ZONA FACTIBLE DE SOLUCIÒN (àrea punteada)
se hace menor. JAMÀS crecerà. Ingeniero JOSÈ
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100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 Ingeniero JOSÈ
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Estudiemos la cuarta restricciòn : X2 = 50 Para hacerlo,
grafico la recta : X2 = 50 Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X2 = 50 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Los valores de X2 mayores a 50 se encuentran por encima de esta
recta. Condiciòn que me obliga a “borrar” los
puntos que estan por debajo (no cumplen con X2 = 50) RECUERDE que
la zona factible de soluciòn estarà conformada por
los puntos que cumplan con TODAS las restricciones. Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X2 = 50 Ingeniero
JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Analizadas, como han sido, todas las restricciones; el
àrea punteada resultante representa la ZONA FACTIBLE DE
SOLUCIÒN. Es en esta, y ùnicamente en esta zona,
donde se encuentran los puntos que cumplen con TODAS las
restricciones del Modelo Matemàtico. Ingeniero JOSÈ
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100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 Ingeniero JOSÈ
LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
En un “punto de esquina” de esta àrea
sombreada : Se encuentra el “punto òptimo de
soluciòn”, es decir, el punto que contiene el valor
de X1 y X2 que cumpliendo con todas las restricciones
permitirà obtener el màximo o mìnimo valor
de Z ( Zmax ò Zmin, segùn sea el caso de estudio).
Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Para determinar este “punto de esquina” se utiliza un
procedimiento de ensayo y error que consiste en darle valores
arbitrarios a la funciòn objetivo (Z) e ir
graficàndola. Esta recta graficada es paralela a la que
generarà la “funciòn objetivo
òptima”. En el caso de maximizaciòn, la recta
Zmax serà la que estè màs alejada del origen
y pasarà por un punto de esquina de la regiòn
sombreada. En el caso de minimizaciòn, serà la
recta que estè màs cerca del origen y pasarà
tambièn por un punto de esquina de la ya mencionada zona
punteada. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ
SALAZAR
Antes de seguir el procedimiento es bueno aclarar que los valores
que arbitrariamente se le asignen a Z no representan
ningùn dato importante en la soluciòn del problema.
Son valores arbitrarios que ùnicamente nos ayudan a
visualizar la pendiente de la recta generada por la
funciòn objetivo òptima. Ingeniero JOSÈ
LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 Volviendo a nuestro caso. Le
asigno a Z un valor de 36.000 y la grafico.
Le asigno a Z un valor de 36.000 porque se me ocurriò ese
nùmero, por màs nada. Este valor no tiene ninguna
importancia en la soluciòn del problema. Le podemos
asignar cualquier valor. Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 36.000 = 900 X1 + 600 X2
Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Sobre esta gràfica procedo a dibujar rectas paralelas a Z
= 36.000 y visualizo el punto de esquina de la regiòn
punteada que estè contenido en la recta paralela
màs alejada del origen. Ingeniero JOSÈ LUÌS
ALBORNOZ SALAZAR
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