Relaciones de divisibilidad asociadas al máximo común divisor y al mínimo común múltiplo de dos números naturales
INTRODUCCIÓN
En el contexto escolar la enseñanza de la
divisibilidad se ha limitado a la aplicación de algoritmos
y a la memorización de fórmulas, dejando de lado
las relaciones existentes entre números, lo que
imposibilita al estudiante reflexionar sobre lo que hace, para
poderlo aplicar en diferentes situaciones, tanto dentro del
ámbito escolar como en su vida diaria.
La enseñanza y aprendizaje de la divisibilidad,
implica tener una mirada estructurada de los conceptos, para que
el estudiante reconozca las relaciones existentes entre
múltiplo, factor y divisor, y lograr una mejor
comprensión de los mismos, dejando de lado la actitud de
valerse de la memorización de algoritmos y definiciones
para resolver los talleres.
La finalidad que se ha trazado con la
investigación, es la de indagar qué tipo de
relaciones de divisibilidad establecen los estudiantes al abordar
problemas de máximo común divisor y mínimo
común múltiplo, analizando sí en los
diferentes procedimientos y estrategias que realizan los alumnos,
establecen algún tipo de conexión entre los
conceptos "ser múltiplo de" y "ser divisor de", o si por
el contrario los ven como elementos separados.
Este trabajo se realizó en la Institución
Educativa María Auxiliadora del municipio de Caldas (Ant),
con 45 estudiantes del grado 6º, durante un año y
medio, donde se observó la forma como los educadores del
área de matemáticas dictaban las clases,
además, de tener la oportunidad de convertirnos en
docentes, preparar las clases y aplicar estrategias
didácticas, lo que posibilitó analizar dificultades
para el continuo mejoramiento de la labor docente.
La investigación realizada es de corte
cualitativo, empleando el estudio de casos, como
metodología. Se seleccionaron tres estudiantes para el
análisis de resultados, Andrés Soto García,
María Fernanda Giraldo Escobar, Yuliana Echavarriaga
Acevedo, a quienes se les hizo un seguimiento continuo, tanto
dentro como fuera del aula, analizando el por qué y el
cómo de sus respuestas.
El desarrollo del trabajo está estructurado en
cinco capítulos:
En el primer capítulo titulado: planteamiento del
problema, se realiza una justificación sobre la
pertinencia e importancia de la investigación.
Además, se muestran los diferentes trabajos que se
consultaron sobre el tema y por último se presenta la
pregunta y el objetivo que orientó el estudio.
En el segundo capítulo se exponen los referentes
teóricos que apoyan la investigación. Partiendo de
los elementos Históricos de la divisibilidad, la
importancia de las relaciones de divisibilidad, teoría
APOE, y algoritmos estereotipados. Los autores abordados son
Samuel Bodí et al, Rina Zazkis, Modesto Sierra et al y
José Antonio Fernández Bravo.
El tercer capítulo da cuenta del diseño
metodológico de la investigación, en éste se
realiza una caracterización de los tres participantes y se
explican los diferentes instrumentos utilizados, para la
recolección de la información.
En el cuarto capítulo se analizan los resultados,
a partir de tres categorías que emergieron de la
información recogida, en las cuales se intenta dar
solución al objetivo y al problema de la
investigación. Para lograrlo se realiza una
triangulación entre el marco teórico, las voces de
los participantes y las voces de los autores del
trabajo.
En el quinto capítulo se presentan las
conclusiones que surgieron de los análisis de los
resultados y que sintetizan el trabajo, además se
presentan algunas recomendaciones que pueden servir de apoyo para
nuevas investigaciones y para fortalecer la labor de los docentes
en ejercicio.
1. PLANTEAMIENTO
DEL PROBLEMA.
La educación matemática en Colombia ha
sufrido múltiples cambios, así lo muestra los
documentos para tal fin como la Renovación Curricular de
la década de los ochenta, los Lineamientos Curriculares de
1998 y, los Estándares Básicos de
Matemáticas del 2006, vigentes en el sistema educativo
colombiano, los cuales ofrecen elementos de orden
didáctico para el mejoramiento de las metodologías
de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas.
Desde las interacciones en el aula, se puede observar
que la metodología de las clases de matemáticas, no
ha cambiado sustancialmente en relación con la de aquellos
tiempos, en que lo más relevante era la enseñanza
de fórmulas y algoritmos, además, que sus
contenidos eran impartidos en forma fragmentada, privando a los
estudiantes de comprender su estructura y de observar las
relaciones que se dan entre los conceptos
matemáticos.
En el caso particular de la divisibilidad, los
métodos de enseñanza tradicional han sido un
obstáculo para el establecimiento de relaciones entre los
conceptos de múltiplo, divisor y factor, y para la
comprensión significativa de los mismos dentro de la
teoría de números. Tal como lo afirma Sierra et al,
1997:
Con la corriente de la matemática moderna,
tanto la geometría como la teoría de los
números quedaron relegadas en los currículos de las
matemáticas en la enseñanza primaria y secundaria,
y aunque la geometría volvió a recuperar su
protagonismo, no ocurrió lo mismo con la teoría de
números, quizá por no haberse encontrado un
término medio entre su presentación como un simple
recetario o su enseñanza más profunda con las
dificultades que ello conlleva. (p.11).
También se ha encontrado, que las investigaciones
realizadas sobre la divisibilidad son pocas y las existentes
tienen su origen en países como España, Estados
Unidos y Canadá, la mayoría se enfocan en indagar
la forma cómo los estudiantes interactúan con los
conceptos asociados a la divisibilidad y las relaciones que se
tejen entre los mismos, encontrando que los estudiantes
establecen relaciones muy elementales entre números
naturales, hecho este que nos motivó a realizar un trabajo
sobre el tema, a nivel local.
A continuación, se mencionan algunos trabajos
consultados al respecto que permiten acercarnos al estado del
tema y a ver la relevancia sobre el trabajo de
investigación que hemos abordado.
El libro de Didáctica de las matemáticas
llamado "Divisibilidad" cuyo autor es Modesto
Sierra et al, plantea como debe ser la enseñanza y el
aprendizaje de distintos conceptos relacionados con la
divisibilidad, partiendo de la idea que para
introducir cualquier concepto se debe iniciar con una
situación motivadora, que permita un acercamiento a dicho
aprendizaje.
Según los autores, los alumnos deben aproximarse
a la construcción del concepto matemático de
múltiplo y divisor a través de este tipo de
actividades, ya que son situaciones contextualizadas frente a la
realidad de los niños. Igualmente descubrir, que para
calcular los múltiplos de un número, se multiplica
dicho número por la serie de números naturales y
que la serie de los múltiplos de un número es
ilimitada.
Se plantea también, que las dificultades
presentadas por los estudiantes al establecer relaciones entre
múltiplos y divisores, se debe a que no han comprendido
bien las conexiones entre la multiplicación y
división. Expresan además, que el múltiplo
presenta menos dificultad que el concepto de divisor por la
reversibilidad que lleva involucrado.
Otro aspecto que confunde a los alumnos es la aparente
contradicción entre mínimo y múltiplo,
máximo y divisor, por ejemplo, al identificar que los
múltiplos son mayores o iguales que el número, no
se entiende el por qué de mínimo común
múltiplo, es decir, por qué se habla de
mínimo si los múltiplos son mayores o iguales al
número. Lo mismo sucede con los divisores de un
número puesto que éstos son menores o iguales que
el número y se habla del máximo común
divisor.
La segunda fuente consultada es: "La
Comprensión de la Divisibilidad en N.
Un Análisis Implicativo" de
Samuel D. Bodí, Julia Valls, Salvador Llinares. En
este trabajo de corte investigativo, se analiza la
comprensión de estudiantes de secundaria, sobre la
divisibilidad en los naturales y la relación de dicha
comprensión con los modos de representación decimal
y factorial de un número. Las actividades planteadas
demandaban a los estudiantes movilizar sus ideas sobre las
diferentes acepciones léxicas así como los
significados dados a sus equivalencias (P es divisor de Q ? Q
es múltiplo de P ? P es un factor de Q ? Q es divisible
por P).
La investigación anterior llegó a la
conclusión que en la comprensión de la
divisibilidad es determinante, el uso que los estudiantes hacen
de los diferentes modos de representación de los
números, factorial y decimal, además, resalta la
importancia de la unicidad de la descomposición factorial
para la comprensión de la divisibilidad.
También se revisó la tesis doctoral
titulada: "Análisis de la Comprensión de
Divisibilidad en el Conjunto de los Números Naturales". De
Samuel David Bodí Pascual. Esta investigación
se centró en caracterizar la comprensión de los
estudiantes de secundaria sobre divisibilidad, teniendo como
referente teórico la teoría de APOE1 (Dubisky,
1991; Asiala 1996) y los tres niveles de desarrollo del esquema
intra, inter, trans (Piaget y Garcia, 1982; Clark et al 1997),
éstas teorías consisten en estudiar la
comprensión que tienen los estudiantes sobre algún
concepto, establecida ésta por diferentes niveles de
acuerdo a las actuaciones del estudiante.
La acción, predomina en los estudiantes de
secundaria, es decir, tienen una comprensión procedimental
de los conceptos, esto se debe a que la mayoría de alumnos
entrevistados manifiestan una disposición de
carácter operativo de las ideas de múltiplo y de
divisor, asociándolos a las operaciones de multiplicar y
dividir, la mayoría de los estudiantes que vinculan la
idea de ser divisible a la representación decimal del
número, realizan la operación de dividir y
comprueban si el resultado es exacto, sin establecer la
relación: b es divisible por a entonces a es un
factor de b.
Otro resultado fue el desconocimiento que tienen los
estudiantes sobre los criterios elementales de divisibilidad,
dado que, sólo pueden calcular el mínimo
común múltiplo y el máximo común
divisor por un procedimiento algorítmico, teniendo en
cuenta que estos conceptos son los que más confunden y
desconocen su significado.
En la investigación se resalta la importancia de
los modos de representación, y la idea de unicidad de la
descomposición de factores primos de los números
naturales, puesto que, estos conceptos influyen en la
comprensión de la divisibilidad. Al analizar la
obtención de divisores y múltiplos de un
número mediante el uso de descomposición de
factores primos, ha sido una de las características que ha
posibilitado determinar el nivel de desarrollo de
comprensión de la divisibilidad.
Otra investigación consultada es
"Múltiplos, Divisores y Factores: Explorando
la Red de Conexiones de los Estudiantes" de
Rina Zazkis. El interés central de este
estudio son los conceptos fundamentales de
múltiplos, divisores y factores; los significados que
construyen los estudiantes sobre estos tres conceptos, así
como los vínculos entre las tres nociones y las conexiones
con otros conceptos de la teoría elemental de
números, tales como números primos,
descomposición en números primos y
divisibilidad.
En el ámbito local se encontró un trabajo
titulado "Movilización de Pensamiento
Numérico desde las Relaciones de Divisibilidad en la
Educación Básica Primaria", sin embargo, el
enfoque del trabajo no le aporta a nuestra investigación
dado que en éste se trabajó la variación de
los conceptos asociados a la divisibilidad y su principal
objetivo era validar una estrategia de intervención
pedagógica en la clase de matemáticas
Los diferentes estudios encontrados sobre divisibilidad,
ya sean de corte didáctico o investigativo, centraron la
mirada en caracterizar la comprensión que tienen los
estudiantes sobre la divisibilidad, y en examinar cómo
debe ser la enseñanza de los diferentes conceptos
involucrados en ésta, y las dificultades que se presentan
en los estudiantes, dejando de lado el análisis de
relaciones de divisibilidad, y la construcción de estas
por parte del alumno, a cambio de la costumbre del docente de dar
definiciones sobre estos conceptos.
Por lo anterior vemos que es necesario realizar una
investigación, donde se pueda determinar qué tipo
de relaciones de divisibilidad establecen los niños; tema
que es de especial interés a nivel de la matemática
escolar.
A partir de las teorías encontradas y las
observaciones en el trabajo del aula, se evidencia la necesidad
de indagar la forma como los estudiantes abordan actividades
asociadas a los conceptos Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo; y poder documentar
desde allí el tipo de relaciones que construyen, por lo
tanto surge la pregunta que motivó el trabajo de
investigación: ¿Qué relaciones establecen
los estudiantes al abordar situaciones asociadas al máximo
común divisor y al mínimo común
múltiplo de dos números naturales?
El objetivo de la investigación es Analizar
relaciones que los estudiantes tejen al resolver situaciones
asociadas al máximo común divisor y al
mínimo común múltiplo de dos números
naturales.
2. MARCO
TEÓRICO.
2.1. ELEMENTOS HISTÓRICOS DE LA
DIVISIBILIDAD
Indagar acerca de la divisibilidad dentro de la historia
e investigación matemática, conduce a una
revisión de los trabajos realizados por algunos
matemáticos e investigadores que han orientado el
desarrollo del tema a través del tiempo, permitiendo la
recopilación de teorías válidas sobre los
conceptos construidos sobre el mismo y que han aportado al
crecimiento del conocimiento matemático. Esto se logra
partiendo de la revisión bibliográfica encontrada,
desde matemáticos antiguos hasta los teóricos
contemporáneos.
Se presenta un recorrido histórico acerca de
algunos trabajos e investigaciones importantes que ayudaron a la
construcción de la divisibilidad, tomando como punto de
partida a Euclides, que define número, divisor y
múltiplo en términos de magnitudes, hasta Gauss con
su trabajo de la divisibilidad con números
enteros.
Con base en la tesis doctoral de Samuel Bodí
(2006), encontramos que en la antigüedad, la divisibilidad
se desarrolla al resolver problemas en la agricultura y la
ganadería, y su dependencia y relación con las
estaciones climáticas y ciclos lunares que hizo que se
desarrollaran distintos tipos de calendarios.
Hasta principios del siglo XIX los objetos principales
de las matemáticas estaban constituidos por lo
números, las magnitudes y las figuras; igualmente, el
estudio de los múltiplos, de los divisores y de la
descomposición factorial de los números naturales
ha constituido un capitulo fundamental de la Aritmética
desde el comienzo de la Matemática.
Entre los matemáticos destacados de la
Antigüedad se encuentra Euclides de Alejandría
(año 300 a.C.), en cuyos "Elementos", recoge de manera
axiomática el saber matemático de su tiempo. Los
tratados de Aritmética se encuentran en los libros VII,
VIII y IX.
Euclides en su libro VII, mediante 22 definiciones,
establece los conceptos de:
"Número" -"Un número es una
pluralidad compuesta de unidades" (Definición 2)
"Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas
que hay, se llama una" (Definición 1). El
"número" para Euclides es una
magnitud.
"Parte" (Divisor)- "Un número es parte de
un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor"-
"Partes" (no divisor)- "Cuando no lo mide".
"Múltiplo"-" Y el mayor es múltiplo del
menor cuando es medido por el menor"- (Definiciones
3, 4 y 5, respectivamente).
Clasifica los números en pares e
impares; parmente par e impar; imparmente (desde las
definiciones 6 a 10). Número "primo"- "el medido
por la sola unidad"- Números "primos entre
sí"- "los medidos por la sola unidad como
medida común"- (Definiciones 11 y 12, respectivamente).
Número "compuesto"- "es el medido por algún
número" – Números "compuestos entre
sí" – "son los medidos por algún
número como medida común"- (Definiciones 13 y 14,
respectivamente). Por último, tras establecer que "un
número multiplica a un número cuando el
multiplicado se añade a sí mismo tantas veces como
unidades hay en el otro y resulta un número".
Para ese entonces, las definiciones de número,
divisor y múltiplo, fueron realizadas en términos
de magnitudes.
Los griegos "consideraron razones (P: Q) entre
magnitudes o proporciones, pero conceptualmente no pudieron
formar el producto P x L entre magnitudes genéricas,
noción que nunca definieron. Generalmente, entendieron el
"producto" de dos longitudes como un área o un volumen si
uno de los factores era una longitud y el otro un área, si
bien estos productos nunca constituyeron actos reflexivos y
conscientes". Bochner, 1991, citado por Bodí
(2006)
Lo anterior muestra la dificultad de los griegos,
quienes no alcanzaron a definir el producto como una
operación entre dos magnitudes, tampoco concibieron el
producto de los números reales, lo que imposibilitó
construir el Teorema Fundamental de la Aritmética, pues no
lograron separar la existencia de las matemáticas de la
posibilidad de su constructibilidad.
A partir del siglo XVI la teoría de la
divisibilidad se amplía a otros conjuntos, introducidos
por necesidades tecnológicas, científicas y
mercantiles, el primero en lograrlo es Stevin, quien
en 1634 publica un libro con la extensión del algoritmo de
Euclides al cálculo del máximo común divisor
de dos polinomios.
Los trabajos de Fermat en el siglo XVII, sobre la
Teoría de Números, destacando la teoría de
la divisibilidad, los números primos, el tratamiento de
los números perfectos, números amigos y cuadrados
mágicos.
Euler en 1770 intentó ampliar el concepto de
divisor más allá de los números enteros y
los polinomios, encontrando que en esa extensión no es
posible conservar todas las propiedades, en especial, las de la
existencia del máximo común divisor y de la
unicidad de la descomposición en factores
primos.
Hasta el siglo XIX con Gauss, la teoría de la
divisibilidad se desarrolló en el campo de los
números enteros. En su trabajo se incluía el
Teorema Fundamental de la Aritmética para el Dominio de
Integridad de los números enteros, que indica que todo
número entero puede expresarse como un producto finito de
números primos, en el que algunos factores pueden
repetirse, y tal que su representación es
única.
De acuerdo con Bodí (2006) la Teoría
Elemental de Números abarca desde el siglo XX un amplio
espectro en el ámbito de las matemáticas,
destacando el estudio de la estructura multiplicativa y la
divisibilidad en el conjunto de los números naturales, los
conceptos de múltiplo, divisor, factor, ser divisible,
criterios de divisibilidad; divisores y múltiplos comunes;
el máximo común divisor, el mínimo
común múltiplo; número primo, número
compuesto, y el Teorema Fundamental de la
Aritmética.
2.2. IMPORTANCIA
DE LAS RELACIONES DE DIVISIBILIDAD
La enseñanza y el aprendizaje de la divisibilidad
han sido fuente de atención en la educación
matemática, debido a la posibilidad que brinda de
establecer relaciones entre los números. Por lo tanto,
diversos autores han centrado sus trabajos en esta
dirección, con el propósito de aportar a la
comprensión de relaciones numéricas en este
ámbito conceptual.
Según Sierra et al (1997), la teoría de la
divisibilidad surge, esencialmente, para estudiar relaciones
entre números, planteando la necesidad de la
comprensión de los conceptos relacionados con ésta,
partiendo de las relaciones que entre ellos se pueden tejer, lo
que facilita examinar su aprendizaje en términos de la
conexión entre los conceptos múltiplo, divisor y
factor.
Investigaciones realizadas por Zazkis, 2001 y Brown et
al. 2002, citados por Bodí (2006); ponen de manifiesto que
un primer aspecto a considerar en el análisis de la
comprensión de la divisibilidad en los Naturales2
deberían ser las relaciones entre las distintas acepciones
léxicas de la divisibilidad.
Dichas relaciones entre divisor, factor y
múltiplo, pueden ser entendidas como una equivalencia
entre estos conceptos, es decir, si a es divisor de b, es
porque b es múltiplo de a. Asimismo
si b es múltiplo de a, es porque b es divisible por a,
siendo a un factor de b. Comprendiendo como factor, todos
los números que hacen parte la descomposición
factorial de otro. Es decir, 210 puede ser expresado como 2 x 3 x
5 x 7, donde cada uno de estos números representa un
factor del 210.
Según Zazkis, (2001) y Sierra et. al. (1997), los
conceptos de divisor, factor y múltiplo pueden ser
entendidos por los estudiantes de dos formas, la primera de ellas
concibe los conceptos como una acción dentro de la
multiplicación o la división, por lo tanto, los
conceptos son vistos como roles dentro de las operaciones y por
esta razón el estudiante no está tomando los
conceptos como una relación entre números, puesto
que, se está pensando en un procedimiento, y se reemplazan
las relaciones de "ser divisor de" y "ser múltiplo de" por
los procedimientos "dividido por" y "producto de"
respectivamente.
Otra interpretación para estos conceptos es la de
relaciones entre números, entendiendo un factor como
"dados dos números naturales a y b, el número b se
llama factor de a, si y sólo si, existe un número
natural c tal que cxb=a" (Zazkis, 2001).
Según esta autora, la definición de divisor y
factor es la misma, puesto que en la teoría de
números se perciben como semejantes y representan una
relación entre números naturales. De otra manera
"un número natural a es múltiplo de otro
número natural b cuando existe un número natural c
tal que a= b xc" (Sierra et al, 1997. Pág.
67)
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