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Teoría del consumidor



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     Los modelos económicos son representaciones
    abstractas de la realidad para estudiar algún
    fenómeno económico y social. Ya que no se pueden
    construir versiones del mercado laboral, del mercado del ocio,
    etc., se acude a la representación abstracta del
    fenómeno en cuestión*. Esta representación
    no es otra cosa que un modelo matemático, en donde, las
    ecuaciones desarrolladas representan características del
    comportamiento de los agentes. El avance en la
    economía experimental ha permitido recrear el
    funcionamiento de los mercados mostrando la distancia entre la
    presentación formal, su estimación, y el verdadero
    funcionamiento de éstos. Aunque muchos de los resultados
    provenientes de la economía experimental usen pocos
    individuos, generalmente son estudiantes de últimos
    semestres Sub  Limites a la elección   Las
    oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente
    observables para cualquier consumidor, y cualquier
    variación en las oportunidades deberá influir
    directamente sobre la elección, lo cual muestra que los
    cambios en las elecciones generalmente son debidos a la
    variación en el conjunto de oportunidades.   Las
    oportunidades que el consumidor toma en cuenta para la
    elección de un bien, son necesariamente las mismas por las
    cuales está en la disponibilidad de obtenerlo, más
    aun si sus condiciones económicas limitan sus
    posibilidades y entra en consideración la normativa de
    conservación no consumista. Es decir, Un consumidor presta
    consideración a sus limitaciones y prioridades.   A
    partir de ciertas consideraciones es conveniente mencionar:
      El conjunto de oportunidades, son todas aquellas en las
    que el consumidor promedio puede adquirir los bienes en un lapso
    de tiempo establecido, de forma compuesta, tal es el caso
    más común, cuando los hogares tienen un ingreso Y,
    el cual gastan durante un período en m bienes, o en
    algunos a un precio pi. Dado que los bienes, o la cantidad de
    ellos, son positivos, a precios positivos, la restricción
    puede escribirse como:   Y=?pixi ; cuando i= 2 tendremos: Y
    = p1x1+ p2x2 Los modelos económicos

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      Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son
    directamente observablespara cualquier consumidor, y cualquier
    variación en las oportunidades deberá influir
    directamente sobre la elección, lo cual muestra que los
    cambios en las elecciones generalmente son debidos a la
    variación en el conjunto de oportunidades. Las
    oportunidades que el consumidor toma en cuenta para la
    elección de un bien, son necesariamente las mismas por las
    cuales está en la disponibilidad de obtenerlo, más
    aun si sus condiciones económicas limitan sus
    posibilidades y entra en consideración la normativa de
    conservación no consumista. Es decir, Un consumidor presta
    consideración a sus limitaciones y prioridades. A
    partir de ciertas consideraciones es conveniente mencionar: 
    El conjunto de oportunidades, son todas aquellas en las que el
    consumidor promedio puede adquirir los bienes en un lapso de
    tiempo establecido, de forma compuesta, tal es el caso más
    común, cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual
    gastan durante un período en m bienes, o en algunos a un
    precio pi. Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son
    positivos, a precios positivos, la restricción puede
    escribirse como: Y=?pixi ; cuando i= 2 tendremos: Y = p1x1+
    p2x2 Límites a la elección

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     Es el conjunto de impedimentos por los cuales los grupos
    sociales están sujetos a un comportamiento de
    optimización de sus disponibilidades. Según
    sean las condiciones económicas individuales o grupales,
    existen un conjunto de restricciones notables de las cuales
    podemos nombrar: Restricciones típicas, son aquellas por
    las cuales el consumidor mantiene como mínimas para
    sobrevivir y satisfacer sus necesidades Restricciones no
    lineales, son aquellas en las que no existe un medio único
    de intercambio de bienes a través de un patrón
    monetario preestablecido, surge el fenómeno de intercambio
    más antiguo conocido como es el trueque, este se
    fundamenta en el intercambio de bienes no controlados por un
    patrón monetario. µ + w(T – X0) =?pixi ;
    i:1,2,3…nMúltiples restricciones, son aquellas en
    que en algunas situaciones el consumidor no se enfrenta a una
    sola restricción, sino a múltiples restricciones,
    por lo cual estará restringido a un conjunto de bienes y
    servicios.  Restricciones  

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      Un elemento fundamental en la teoría
    microeconómica consiste en cómo los individuos
    realizan sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de
    un conjunto disponibles de las mismas. La teoría postula
    que cada individuo ordena las alternativas de acuerdo con su
    preferencia relativa. De esta forma, cuando el individuo realiza
    una elección, éste selecciona la alternativa con
    aquello que más tiene de todo lo posible. En orden a
    cualificar la relación de preferencias, la relación
    deberá satisfacer las siguientes propiedades
    fundamentales: ReflexividadPara todo x € X, x ?x. Este
    supuesto nos dice que la canasta x, en el sentido débil,
    es preferida a sí misma, es decir, que al menos es tan
    buena como ella misma.  CompletitudPara todos los elementos
    x, q en X se cumple que x ?q ó q ?x o ambos. Este supuesto
    simplemente nos dice que dos canastas pueden ser
    comparadas. TransitividadPara todo x , q y z en X, si x? q y
    q? z entonces x ?z. La propiedad de transitividad plantea la
    coherencia en las elecciones.  Preferencias
    individuales

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     La función utilidad Si la ordenación de
    preferencias es completa, transitiva, reflexiva y continua,
    entonces las preferencias se pueden representar a través
    de una función de utilidad continua. La función de
    utilidad, u, es una función con valores reales, definida
    sobre el conjunto X, de tal forma que el orden de las
    preferencias sobre X se preserva por la magnitud de u. De esta
    forma, una función de utilidad tiene la propiedad de que
    dados dos elementos x y q en X se cumple que u(q) = u(x)
    sí y solo sí q ? x. Invarianza de la
    función de utilidad  Si una relación de
    preferencia es representada por una función de utilidad
    sobre R , entonces una función de la forma v(x) = f(u(x)),
    donde f es estrictamente creciente en el rango de v sobre u,
    será también una función que represente la
    misma relación de preferencia. Si f y u son continuas
    entonces v también es continua. Invarianza en la
    descripciónInvarianza en el procedimientoInvarianza en el
    contexto

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    El problema básico del consumidor Al momento de hacer la
    escogencia para la adquisición de bienes y servicios, el
    consumidor siempre se ve limitado respecto a su decisión
    prioritaria según sus necesidades. Cualquier consumidor ha
    experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados
    cuando decide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Dicha
    frustración no es más que la confirmación de
    que aun cuando se tienen preferencias por los bienes,
    éstas por sí solas no bastan, esto es, existen
    restricciones como la cantidad de dinero que poseemos en nuestros
    bolsillos para comprar dichos bienes. De una manera más
    formal, asumamos que existen m bienes, los cuales son
    infinitamente divisibles, consecuentemente vemos como surgen de
    allí las restricciones múltiples, que no son
    más que el conjunto de bienes por adquirir pero con un
    cierto grado de restricción en cuanto a la facilidad para
    obtenerlos.  Dualidad  Uno de los aspectos importantes
    en la teoría del consumidor, consiste en la dualidad. La
    dualidad es una de las "herramientas" más usadas en la
    estimación de modelos. Básicamente la dualidad
    expresa la relación entre los bienes por un lado y los
    precios por el otro. De esta forma, el consumidor podrá
    elegir entre maximizar la función de utilidad sujeto a la
    restricción de presupuesto o, minimizar su gasto en una
    serie de bienes siempre y cuando, la función de utilidad
    permanezca constante. La función de gasto y la
    función indirecta de utilidad están
    íntimamente relacionadas, pues a partir de invertir C(u,p)
    = x se encuentra u en función de x y p. Similarmente la
    inversión de u = v (y,p) nos lleva directamente a x =
    C(u,p).  

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    Entre las propiedades usuales de la función indirecta de
    utilidad, tenemos:   Es homogénea de grado cero en
    (p,y), esto es, v( tp, ty)= v(p,y) " t >0. No es creciente en
    p y es estrictamente creciente en y. Es cuasi convexa con
    respecto a p, esto es el conjunto {p: v(p,y) £ c} es
    convexo para cada y > 0 y algún c. La derivada de la
    función indirecta de utilidad con respecto a los precios e
    ingreso se conoce también como la Identidad de Roy y es
    una forma conveniente de recuperar la demanda Marshalliana, Es
    continua en p e y.   Propiedades de la función
    indirecta de utilidad

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    Propiedades de la función de gasto   Entre las
    propiedades usuales de la función de gasto, se encuentran:
      La función de gasto es homogénea de grado
    uno en precios, formalmente para algún escalar q >0 :
    C(u, qp) = q C(u,p). Esto es, si los precios se doblan se
    deberá desembolsar dos veces más cantidad de dinero
    para estar en la misma curva de indiferencia. La función
    de gasto es creciente en m, no decreciente en p y creciente en al
    menos un precio. Esto se deriva del axioma de insaciabilidad ya
    que dados unos precios, el consumidor tiene que gastar más
    para estar mejor, debido a que un incremento en precios requiere
    más cantidad de dinero para permanecer mejor. La
    función de gasto es cóncava en precios. Cuando el
    precio de un bien cambia, mientras los otros precios y la
    utilidad permanecen constantes, la concavidad implica que el
    costo aumenta no más que linealmente, esto es esencial,
    porque el consumidor minimiza sus gastos reacomodando sus compras
    en orden a tomar las ventajas de la estructura de precios. La
    función de gasto es continua en p y la primera y la
    segunda derivada con respecto a los precios existe. Cuando ellas
    existan, las derivadas parciales de las funciones de gasto con
    respecto a los precios serán las funciones de demandas
    Hicksianas. Propiedades de la función indirecta de
    utilidad

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      Trayectorias de expansión   Usualmente la
    función de demanda cambia ante un cambio en precios o
    ingreso; este cambio puede observarse en términos de la
    estática comparativa: Suponga que los precios están
    fijos pero el ingreso del consumidor lentamente se incrementa,
    entonces a partir de la colección de puntos resultantes se
    podría trazar una trayectoria en el ortante no negativo
    que se denomina trayectoria de expansión del ingreso. Esta
    trayectoria puede ser proyectada en un plano definido por dos
    bienes, mostrando dicha trayectoria la expansión del
    ingreso relativo a estos dos bienes.   La tasa marginal de
    sustitución   La tasa marginal de sustitución
    es la pendiente de la curva de indiferencia, y su sentido
    económico no es otro que la cantidad que se está
    dispuesto a renunciar del consumo del bien 1 por consumir
    unidades adicionales del bien 2, por esta razón la tasa
    marginal de sustitución definida de esta forma decrece
    cuando x1 crece. La pendiente de la línea de
    restricción presupuestaria se asume que la solución
    anterior ocurre en un punto x con x > 0, esto es posible
    incluso para uno o más componentes de x que sean cero.
     

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      La función de Utilidad CES   La función
    de utilidad CES surge como una analogía directa a la
    teoría de la producción (Arrow et-al 1961) y tiene
    la forma:   u(x1,x2 ) =(a1 x1n+a2 x2n)¹/n, con n= 1
      La función de Utilidad Indirecta Addilog  
    Como se ha podido observar, es posible derivar las funciones de
    demanda de los bienes a través de maximizar la utilidad,
    sujeta a la restricción de gasto. Sin embargo, la
    solución no siempre es estimable. La teoría de la
    dualidad sugiere que una alternativa es especificar una
    función indirecta de utilidad, una función que es
    no decreciente en el ingreso, no decreciente y cuasi convexa en
    precios, continua y homogénea de grado cero en precios e
    ingreso. V(p1,p2,Y) = a1(Y/P1)^ß1 ­­+
    a2(Y/P2)^ß2.     Las especificaciones
    Translogarítmicas   La función de utilidad
    translogarítmica proviene de Christensen, Jorgenson y Lau
    (1971,1975). Esta ha sido la forma funcional más usada en
    análisis empíricos de demanda. Una de las ventajas
    de la translogarítmica es su forma funcional flexible, ya
    que puede ser aproximada de una función de segundo orden
    por Taylor a una función de utilidad indirecta arbitraria.
      El sistema Casi – Ideal de Gasto AIDS   El sistema de
    ecuaciones de demanda puede ser derivado a partir de la
    función de gasto. Suponiendo que éste es continuo y
    no-decreciente precios y utilidad, y además cóncavo
    y homogéneo de grado cero, entonces:   El sistema
    AIDS (Almost Ideal Demand Sistem) cumple las restricciones de
    adición, homogeneidad y simetría. Para satisfacer
    las condiciones de negatividad se requiere que la matriz de
    Slutzky sea semidefinida negativa:   cij= gij +bi bj Log (Y/
    p) – xipi dij + xjpj xipi

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    La demanda indica la cantidad que un consumidor desea comprar de
    una serie de bienes, ya sea expresada como una función de
    los precios y el ingreso o como una función de la utilidad
    y de los precios.   LA DEMANDA

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    La demanda que corresponde a un vector de precios e ingreso
    podría no ser única, en la gráfica (3.1)
    allí existen dos soluciones xA y xB correspondientes a la
    restricción de presupuesto Si un orden de preferencias es
    continuo, satisface la insaciabilidad local, y es estrictamente
    convexo, entonces para todo p >> 0, y > 0 la demanda x(
    p, y) es única, define un valor singular, y es una
    función continua   UNICIDAD Y CONTINUIDAD

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     El excedente del consumidor se considera la diferencia
    existente entre la cantidad máxima que un consumidor
    está dispuesto a pagar por una cantidad determinada de un
    bien y lo que en la realidad paga por esa cantidad y la
    disponibilidad a pagar es la cantidad máxima que
    pagaría un Consumidor por adquirir un
    determinado Bien. El excedente del consumidor y
    disponibilidad a pagar 

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    consiste en mostrar cómo manteniendo la estructura de las
    preferencias es posible separar las decisiones de gastar en cada
    grupo Separabilidad

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    La función de Producción de Hogares La
    función de producción de hogares fue introducida
    entre 1965 y 1966 por los artículos de Gary Becker y Kevin
    Lancaster; que los consumidores no obtienen directamente de los
    bienes comprados en el mercado, sino derivan de los atributos que
    poseen los bienes. (5.5) Max m (g(x)) Sujeto a bX1 = Z* . = . bXn
    = Z* (X1,…, Xn) = 0 (P1,…,Pn) = 0 (5.1) Maximizar z
    u= u (z) Sujeto a Z=g (X) P X = Y (5.2) Maximizar u= u (g(X)) = v
    (X); Sujeto a P X – Y = 0 (5.3) Minimizar PX= Y; Sujeto a
    v(X) = v0 (5.4) Min {P.X | t (Z, X) = 0}; Sujeto a bX = Z*

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    Estática Comparativa Nos interesan las respuestas de los
    consumidores ante el cambio en el salario y los coeficientes
    tecnológicos. Considerando los efectos de
    sustitución puros las demandas Hicksianas se obtienen de
    la siguiente forma: (5.13) Min S (pi bi + w ti) Zi – w T
    Sujeto a u (Z1,…., Zn) = uº Análisis de la
    Riqueza en el Mercado de Bienes (5.19) E (Z1, p, uº)= Min [C
    (Z1, Z, p) |uº = u (Z1, Z)] Por el teorema de la envolvente
    obtenemos: (5.20) = -(?u1 (Z1, Z, uº) – C1 (Z1, Z,
    p))

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    Bienes Públicos (5.23) VC= C (p, uº, a‘)
    – C (p, uº, aº) uº es el nivel de riqueza
    inicial C es la función de gastos a es un bien publico
    Variables Dependientes, Discretas y Limitadas 6.1
    Especificación del Modelo (6.1) pi =p (Yi = 1) = G(x*i,
    ?); i = 1, 2, … n. (6.2) p (Yi = 1) = F[H(x*I, ?)]

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    Formas Comunes de las Funciones de Probabilidad (6.3) Prob (Y=1)
    = F (ß´x) Prob (Y=0) = 1 – F (ß´x)
    (6.4) F (x, ß) = ß´xi Dado que E [Y] = F(x,
    ß), el modelo de regresión será: (6.4.1) Yi =
    E [Yi] + (Yi- E[Yi]) = ß´xi + ?i con ?i = Yi –
    E [Yi] modelo de probabilidad lineal. Estimación Los
    modelos de Probit y Logit se estiman por máxima
    verosimilitud donde cada observación es extraida de una
    distribución de Bernoulli. (6.11) Prob (Y1 = y1, Y2 =y2,
    Y3=y3,…, Yn=yn)=

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    De la mano con el desarrollo de las formas de estimación
    de los modelos, la literatura ha venido ofreciéndonos una
    serie de contrastes para conocer la "bondad" de los modelos
    estimados. El origen de estos contrastes se remonta a los
    trabajos de Rao (1947) en lo que se conoce como "contraste Score"
    o "contraste de puntuación". Posteriormente Silvey (1959)
    propone el contraste de multiplicadores de Lagrange que no es
    otra cosa que el mismo contraste de Rao. Sub. Contrastes de
    Especificación

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    Si existen n observaciones independientes y1, y2, y3,……, yn
    con funciones de densidad idénticas f( y, q ) donde q es
    un vector p ´ 1 de p parámetros. Entonces la
    función de verosimilitud L( q ), el vector de
    puntuación (Score vector) d( q ), y la matriz de
    información I( q ) y vienen definidas como: Sub. Contraste
    de Rao o Contraste de Puntuación

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    La matriz de información de White(1982) se basa en el
    hecho de que en un modelo especificado correctamente, tendremos:
    Sub. El contraste de la Matriz de Información de White El
    Contraste de Comentos Condicionados (CM) El contraste de momentos
    condicionados fue sugerido por Newey (1985) y Tauchen (1985), y
    se basa en la premisa de que bajo una especificación
    correcta, no solamente se tiene E[d( q )] = 0 sino también
    condiciones de sobreidentificación como E[ m ( y, q )] =
    0. El contraste de momentos condicionados puede reducirse a la
    regresión:

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    Entre los primeros trabajos sobre Heterocedasticidad realizados
    por Maddala y Nelson (1975) se argumentan que una
    regresión con Heterocedasticidad en los errores, los
    estimadores son consistentes pero ineficientes. En el caso del
    Tobit, el estimador máximo verosímil (ML) es
    inconsistente en la presencia de Heterocedasticidad Brannas y
    Laitila (1989). Sub. Contrastes de Heterocedasticidad Contraste
    comúnmente usado consiste en el contraste de las razones
    de verosimilitud o LR-test, el cual consiste en:

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    Cuando no existe normalidad, existen sesgos en los estimadores
    Goldberger (1983). Pagan y Vella (1989) sugieren un contraste CM
    para normalidad con base en el tercer y cuarto momento de los
    residuos. En términos generales, ya se trate de un Logit,
    Probit o Tobit, el problema consiste en evaluar el momento. Lee y
    Maddala (1985) sugieren usar el método de recursividad
    para los momentos.  Sub. Contrastes de Normalidad Contraste
    de Correlación Contemporánea Kiefer (1982)
    desarrolla un contraste Score para un Probit multivariado:
    él comienza con el supuesto general de que la matriz de
    correlación de los errores es R y crea un contraste de
    puntuación para la hipótesis R = I. Kiefer
    también desarrolla un contraste para la hipótesis
    r=0 cuando R = (1-r)I +ree´, donde e es un vector de unos;
    este contraste es bastante conveniente en modelos de efectos
    aleatorios con datos de panel.

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    El contraste para sesgos de selección fue el primer
    contraste de especificación en modelos con variables
    dependientes limitadas. Este contraste fue desarrollado por
    Gronau (1974) y Heckman (1979). En términos generales se
    le conoce como el contraste de Heckman. El problema planteado
    parte del modelo de autoselección tipo Heckman, de la
    forma: Sub. Contraste de Sesgos de Selección Y la
    ecuación de selección es

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    No es muy común contrastar estabilidad en modelos de
    variables dependientes limitadas, sin embargo, Anderson (1987)
    abre el camino en este tipo de contrastes. Anderson propone
    comparar el logaritmo de la verosimilitud cuando el modelo es
    regresado sobre un período, con respecto a un
    período posterior. El trabajo se inspira en el contraste
    de estabilidad de Chow, extendiéndose el uso de las
    variables dummy a los modelos Tobit y Probit. Hoffman y Pagan
    (1989) sugieren, siguiendo a Anderson, definir primero un
    período de 1 hasta s y un período de s+1 hasta s+S,
    y elaborar el estadístico: Sub. Contraste de Estabilidad
    Contraste de Exogeneidad En modelos de ecuaciones
    simultáneas que involucran variables dependientes
    limitadas, Groger (1990) considera un contraste de exogeneidad
    tipo Hausman a través de una estimación de
    mínimos cuadrados ordinarios no-linelaes.

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    La identificación del modelo con una o más
    ecuaciones, requiere una investigación de cuáles
    parámetros son conocidos y desconocidos. Por
    parámetros conocidos entiéndase aquellos que pueden
    ser identificados, estos parámetros generalmente son
    características de la población y de la
    distribución de las variables observadas como las
    varianzas y covarianzas para los cuales los estimadores de la
    muestra son consistentes. Los parámetros desconocidos son
    aquellos parámetros cuyo estatus de identificación
    no es conocido, estableciendo entonces el investigador
    cuándo existen valores únicos para estos. Sub.
    Identificación

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    Esta es la condición más sencilla, pero no es una
    condición suficiente. La regla t, parte de que el
    número de elementos no-redundantes en la matriz de
    covarianzas de las variables observadas deberá ser mayor o
    igual al número de parámetros desconocidos en q,
    esto es: Sub. Regla T Regla del B Nulo Pueden escribirse como
    funciones de las matrices de covarianzas identificadas de las
    variables observadas. Si los errores de una ecuación no
    están correlacionados con aquellos de las otras
    ecuaciones, en un sistema (Y es diagonal), entonces esas
    ecuaciones pueden tratarse como separadas o no relacionadas. Si Y
    no es diagonal y los errores de las últimas dos ecuaciones
    están correlacionadas, entonces tal modelo será
    llamado "Seemingly unrelated regresions". La regla B nula es una
    condición suficiente para identificar un modelo.

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    Una propiedad para todos los modelos recursivos consiste en que
    para una ecuación dada, el término de error g no
    esté correlacionado con las variables explicatorias. De
    esta forma, cov (x2, g2) = 0, cov (x3, g1) = 0 y cov (x2, g3) =
    0, y de igual forma para cov (g2, y1)= cov (g2,g2x2+g1) = 0.
    Así, g2 no está correlacionado con y1 y x2, las dos
    variables explicatorias de la segunda ecuación, y de igual
    forma cov (g3, y1)=0 y cov (g3, y2)=0. En general, para la
    i-ésima ecuación en algún modelo recursivo,
    gi no está correlacionado con las variables
    endógenas, las cuales son variables explicatorias en esa
    ecuación; esto se debe a que las variables
    endógenas están en función de las variables
    exógenas y de los errores de las otras ecuaciones, los
    cuales no están correlacionados con gi . Sub. Regla
    Recursiva Condiciones de Rango y Orden Si una condición de
    restricción en una ecuación se determina a partir
    de las variables excluidas, entonces "una condición
    necesaria para que una ecuación sea identificada consiste
    en que el número de variables excluidas de la
    ecuación sea al menos p-1 ".

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    Generalmente las elecciones de los consumidores involucran
    elecciones discretas como usar gas o no, usar energía
    eléctrica o no, comprar un automóvil o no, etc. La
    anterior aproximación ha sido criticada por
    sicólogos como Thurstone (1927), Luce y Supes (1955),
    Tversky (1969) y por economistas como Georgescu-Roegen (1958),
    Quandt (1956) y Macfadden (1981, 1986), ya que implica fuertes
    postulados sobre el poder discriminatorio de los agentes,
    así como una capacidad ilimitada de procesar
    información. Sub. Resumen de las Reglas de
    Identificación Modelos de Utilidad Discreta

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    La interpretación proviene de Tversky (1972a), para quien
    la utilidad de diferentes alternativas es determinística,
    pero el proceso de elección en sí mismo es
    probabilístico. En este tipo de modelos el individuo no
    necesariamente elige la alternativa que da la mayor utilidad; en
    lugar de esto, existe una probabilidad de elegir cada una de las
    posibles alternativas, incorporando la idea de "racionalidad
    limitada" dado que los individuos no necesariamente seleccionan
    lo que es mejor para ellos Macfadden (1981, pp.198). Sub. Modelos
    con Regla de Decisión Estocástica REGLAS DE
    DECISIÓN Modelos con Utilidad Estocástica Existen
    dos versiones tradicionales de los modelos de utilidad
    estocástica. El primero proviene de Thurstone a partir de
    la teoría sicológica de la elección
    individual y el segundo proviene de Macfadden en la
    versión económica de la elección discreta.
    El modelo de Thurstone tiene su origen en una serie de
    experimentos donde se les preguntaba a los individuos acerca de
    comparar intensidades de estímulos físicos, por
    ejemplo, el rango de tonos en términos del ruido. Dada la
    variabilidad en las respuestas, Thurstone propone que un
    estímulo provoca una "sensación" o un estado
    sicológico que es la realización de una variable
    aleatoria.

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    El consumidor representativo es un agente cuya utilidad nos
    muestra un conjunto de preferencias diversas. Ya que en la
    práctica los consumidores tienden a comprar, solamente
    una, o en todo caso muy pocas de las variantes de un producto que
    se les ofrece, el consumidor representativo ha sido bastante
    criticado19. Como bien lo han señalado Archival, Eaton y
    Lipsey (1986), la cuestión sobre cuándo el
    consumidor representativo puede constituir una descripción
    agregada válida de una población de consumidores
    caracterizados por elecciones discretas en el ámbito
    individual es un punto de discusión abierto. Sub.
    Elecciones discretas con Productos Diferenciados Análisis
    de Riqueza En un análisis continuo se puede encontrar el
    excedente del consumidor a través deintegrar la curva de
    demanda compensada entre dos precios. Sin embargo, en el
    análisis discreto existirán puntos de
    discontinuidad y no-diferenciación en la función
    indirecta de utilidad y en la función de gasto, por lo
    tanto existirán problemas al integrar las funciones. La
    demanda se podría modelar, como observan Small y Rosen
    (1981),

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    Suponga un consumidor que maximiza sujeto a la restricción
    con una función de utilidad dos veces diferenciable y
    estrictamente cuasicóncava. Asuma que U es finito siempre
    que X1 o X2 sean cero, y que U es estrictamente creciente en Xn y
    no decreciente en X1 y X2. Sea e(P1,P2 ,U) el mínimo gasto
    requerido para alcanzar el nivel de utilidad U y sea ,Y) el valor
    de la función indirecta de utilidad a los precios
    iniciales y el ingreso; entonces la variación compensada
    para un cambio de precios en p1 de a viene definido como: Sub. El
    teorema de Small y Rosen Cuando un bien es comprado en unidades
    discretas, pero existen no concavidades en la función de
    utilidad, el consumidor elige entre soluciones alternativas de
    esquina. Supongamos una canasta de 3 bienes donde las curvas de
    indiferencia entre X1 , X2 y el bien numerario son convexas,
    entonces en cada vector de precios el consumo tanto en X1 como en
    X2 podría ser cero. Los supuestos del teorema de Small y
    Rosen garantizan que los U(Xn,0,X2) y U(Xn,X1,0) sean funciones
    bien definidas manteniéndose el excedente del consumidor.
    Resumiendo, el excedente del consumidor se puede encontrar
    siempre que exista una función de gasto dado que dicha
    función es diferenciable en precios.

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    APLICACIONES DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR A LA
    ELECCIÓN DE OCIO. El ingreso y el tiempo son restricciones
    en una persona al momento de decidir comprar o producir un bien o
    servicio, donde el dinero influye directamente en el tiempo de
    elegir o adquirir algún activo

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    RESTRICCIONES NO ECONÓMICAS BIOLÓGICAS
    HISTÓRICAS CULTURALES

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    DISTRIBUCIÓN DE LOS DÍAS TRABAJADOS Grafica 1:
    Distribución de los días trabajados

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    FÓRMULA DE COMPRA DE BIENES

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    FUNCIÓN DE UTILIDAD PARA RESTRICCIONES
    PRESUPUESTARIAS

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    GRÁFICA DE RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS Grafica 8.2.
    Decisión de trabajar. Gráficamente se muestra
    así: 8.5) px + wx0 = m + wT. Si x = 0 y no existe ingreso
    adicional, entonces wx0 = wT ó x0 = T si x0 = T = 0, por
    lo cual w = 0 y x = m / p. La cantidad de trabajo ofrecida se
    mide por la distancia 0 – T. Las curvas tendrán diferentes
    pendientes de acuerdo con la tasa de salario. La decisión
    de cuántas horas ofrecer al individuo determinará
    la decisión de participar en el mercado laboral. Un cambio
    en w altera el ingreso y el efecto sustitución, la
    cantidad m + wT representa el ingreso total disponible del
    consumidor que será gastado en ocio y bienes.

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    GRÁFICA DE LAS DIFERENTES RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS
    Grafica 8.3: el salario mínimo que induce a participar. De
    acuerdo con las tasas de salario w1(CAT) y w2 (DAT), la curva de
    indiferencia es tangente a la línea quebrada (E-F),
    mientras la pendiente de (E-F) es w*/p, esto es, la tasa marginal
    de sustitución la cual es un indicador de la tasa de
    salario de reserva w* el punto A en la gráfica (8.3). Si
    el salario es menor que w*, el individuo no participará en
    el mercado, si el salario es w2 se ofrecerán horas
    positivas. Si w = w* el trabajador es indiferente. Donde w* es el
    salario de reserva, aquel valor de w que hace que x0 = T: T =
    x0(µ + w*T. w*,p)

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