Los modelos económicos son representaciones
abstractas de la realidad para estudiar algún
fenómeno económico y social. Ya que no se pueden
construir versiones del mercado laboral, del mercado del ocio,
etc., se acude a la representación abstracta del
fenómeno en cuestión*. Esta representación
no es otra cosa que un modelo matemático, en donde, las
ecuaciones desarrolladas representan características del
comportamiento de los agentes. El avance en la
economía experimental ha permitido recrear el
funcionamiento de los mercados mostrando la distancia entre la
presentación formal, su estimación, y el verdadero
funcionamiento de éstos. Aunque muchos de los resultados
provenientes de la economía experimental usen pocos
individuos, generalmente son estudiantes de últimos
semestres Sub Limites a la elección Las
oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente
observables para cualquier consumidor, y cualquier
variación en las oportunidades deberá influir
directamente sobre la elección, lo cual muestra que los
cambios en las elecciones generalmente son debidos a la
variación en el conjunto de oportunidades. Las
oportunidades que el consumidor toma en cuenta para la
elección de un bien, son necesariamente las mismas por las
cuales está en la disponibilidad de obtenerlo, más
aun si sus condiciones económicas limitan sus
posibilidades y entra en consideración la normativa de
conservación no consumista. Es decir, Un consumidor presta
consideración a sus limitaciones y prioridades. A
partir de ciertas consideraciones es conveniente mencionar:
El conjunto de oportunidades, son todas aquellas en las
que el consumidor promedio puede adquirir los bienes en un lapso
de tiempo establecido, de forma compuesta, tal es el caso
más común, cuando los hogares tienen un ingreso Y,
el cual gastan durante un período en m bienes, o en
algunos a un precio pi. Dado que los bienes, o la cantidad de
ellos, son positivos, a precios positivos, la restricción
puede escribirse como: Y=?pixi ; cuando i= 2 tendremos: Y
= p1x1+ p2x2 Los modelos económicos
Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son
directamente observablespara cualquier consumidor, y cualquier
variación en las oportunidades deberá influir
directamente sobre la elección, lo cual muestra que los
cambios en las elecciones generalmente son debidos a la
variación en el conjunto de oportunidades. Las
oportunidades que el consumidor toma en cuenta para la
elección de un bien, son necesariamente las mismas por las
cuales está en la disponibilidad de obtenerlo, más
aun si sus condiciones económicas limitan sus
posibilidades y entra en consideración la normativa de
conservación no consumista. Es decir, Un consumidor presta
consideración a sus limitaciones y prioridades. A
partir de ciertas consideraciones es conveniente mencionar:
El conjunto de oportunidades, son todas aquellas en las que el
consumidor promedio puede adquirir los bienes en un lapso de
tiempo establecido, de forma compuesta, tal es el caso más
común, cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual
gastan durante un período en m bienes, o en algunos a un
precio pi. Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son
positivos, a precios positivos, la restricción puede
escribirse como: Y=?pixi ; cuando i= 2 tendremos: Y = p1x1+
p2x2 Límites a la elección
Es el conjunto de impedimentos por los cuales los grupos
sociales están sujetos a un comportamiento de
optimización de sus disponibilidades. Según
sean las condiciones económicas individuales o grupales,
existen un conjunto de restricciones notables de las cuales
podemos nombrar: Restricciones típicas, son aquellas por
las cuales el consumidor mantiene como mínimas para
sobrevivir y satisfacer sus necesidades Restricciones no
lineales, son aquellas en las que no existe un medio único
de intercambio de bienes a través de un patrón
monetario preestablecido, surge el fenómeno de intercambio
más antiguo conocido como es el trueque, este se
fundamenta en el intercambio de bienes no controlados por un
patrón monetario. µ + w(T – X0) =?pixi ;
i:1,2,3…nMúltiples restricciones, son aquellas en
que en algunas situaciones el consumidor no se enfrenta a una
sola restricción, sino a múltiples restricciones,
por lo cual estará restringido a un conjunto de bienes y
servicios. Restricciones
Un elemento fundamental en la teoría
microeconómica consiste en cómo los individuos
realizan sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de
un conjunto disponibles de las mismas. La teoría postula
que cada individuo ordena las alternativas de acuerdo con su
preferencia relativa. De esta forma, cuando el individuo realiza
una elección, éste selecciona la alternativa con
aquello que más tiene de todo lo posible. En orden a
cualificar la relación de preferencias, la relación
deberá satisfacer las siguientes propiedades
fundamentales: ReflexividadPara todo x € X, x ?x. Este
supuesto nos dice que la canasta x, en el sentido débil,
es preferida a sí misma, es decir, que al menos es tan
buena como ella misma. CompletitudPara todos los elementos
x, q en X se cumple que x ?q ó q ?x o ambos. Este supuesto
simplemente nos dice que dos canastas pueden ser
comparadas. TransitividadPara todo x , q y z en X, si x? q y
q? z entonces x ?z. La propiedad de transitividad plantea la
coherencia en las elecciones. Preferencias
individuales
La función utilidad Si la ordenación de
preferencias es completa, transitiva, reflexiva y continua,
entonces las preferencias se pueden representar a través
de una función de utilidad continua. La función de
utilidad, u, es una función con valores reales, definida
sobre el conjunto X, de tal forma que el orden de las
preferencias sobre X se preserva por la magnitud de u. De esta
forma, una función de utilidad tiene la propiedad de que
dados dos elementos x y q en X se cumple que u(q) = u(x)
sí y solo sí q ? x. Invarianza de la
función de utilidad Si una relación de
preferencia es representada por una función de utilidad
sobre R , entonces una función de la forma v(x) = f(u(x)),
donde f es estrictamente creciente en el rango de v sobre u,
será también una función que represente la
misma relación de preferencia. Si f y u son continuas
entonces v también es continua. Invarianza en la
descripciónInvarianza en el procedimientoInvarianza en el
contexto
El problema básico del consumidor Al momento de hacer la
escogencia para la adquisición de bienes y servicios, el
consumidor siempre se ve limitado respecto a su decisión
prioritaria según sus necesidades. Cualquier consumidor ha
experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados
cuando decide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Dicha
frustración no es más que la confirmación de
que aun cuando se tienen preferencias por los bienes,
éstas por sí solas no bastan, esto es, existen
restricciones como la cantidad de dinero que poseemos en nuestros
bolsillos para comprar dichos bienes. De una manera más
formal, asumamos que existen m bienes, los cuales son
infinitamente divisibles, consecuentemente vemos como surgen de
allí las restricciones múltiples, que no son
más que el conjunto de bienes por adquirir pero con un
cierto grado de restricción en cuanto a la facilidad para
obtenerlos. Dualidad Uno de los aspectos importantes
en la teoría del consumidor, consiste en la dualidad. La
dualidad es una de las "herramientas" más usadas en la
estimación de modelos. Básicamente la dualidad
expresa la relación entre los bienes por un lado y los
precios por el otro. De esta forma, el consumidor podrá
elegir entre maximizar la función de utilidad sujeto a la
restricción de presupuesto o, minimizar su gasto en una
serie de bienes siempre y cuando, la función de utilidad
permanezca constante. La función de gasto y la
función indirecta de utilidad están
íntimamente relacionadas, pues a partir de invertir C(u,p)
= x se encuentra u en función de x y p. Similarmente la
inversión de u = v (y,p) nos lleva directamente a x =
C(u,p).
Entre las propiedades usuales de la función indirecta de
utilidad, tenemos: Es homogénea de grado cero en
(p,y), esto es, v( tp, ty)= v(p,y) " t >0. No es creciente en
p y es estrictamente creciente en y. Es cuasi convexa con
respecto a p, esto es el conjunto {p: v(p,y) £ c} es
convexo para cada y > 0 y algún c. La derivada de la
función indirecta de utilidad con respecto a los precios e
ingreso se conoce también como la Identidad de Roy y es
una forma conveniente de recuperar la demanda Marshalliana, Es
continua en p e y. Propiedades de la función
indirecta de utilidad
Propiedades de la función de gasto Entre las
propiedades usuales de la función de gasto, se encuentran:
La función de gasto es homogénea de grado
uno en precios, formalmente para algún escalar q >0 :
C(u, qp) = q C(u,p). Esto es, si los precios se doblan se
deberá desembolsar dos veces más cantidad de dinero
para estar en la misma curva de indiferencia. La función
de gasto es creciente en m, no decreciente en p y creciente en al
menos un precio. Esto se deriva del axioma de insaciabilidad ya
que dados unos precios, el consumidor tiene que gastar más
para estar mejor, debido a que un incremento en precios requiere
más cantidad de dinero para permanecer mejor. La
función de gasto es cóncava en precios. Cuando el
precio de un bien cambia, mientras los otros precios y la
utilidad permanecen constantes, la concavidad implica que el
costo aumenta no más que linealmente, esto es esencial,
porque el consumidor minimiza sus gastos reacomodando sus compras
en orden a tomar las ventajas de la estructura de precios. La
función de gasto es continua en p y la primera y la
segunda derivada con respecto a los precios existe. Cuando ellas
existan, las derivadas parciales de las funciones de gasto con
respecto a los precios serán las funciones de demandas
Hicksianas. Propiedades de la función indirecta de
utilidad
Trayectorias de expansión Usualmente la
función de demanda cambia ante un cambio en precios o
ingreso; este cambio puede observarse en términos de la
estática comparativa: Suponga que los precios están
fijos pero el ingreso del consumidor lentamente se incrementa,
entonces a partir de la colección de puntos resultantes se
podría trazar una trayectoria en el ortante no negativo
que se denomina trayectoria de expansión del ingreso. Esta
trayectoria puede ser proyectada en un plano definido por dos
bienes, mostrando dicha trayectoria la expansión del
ingreso relativo a estos dos bienes. La tasa marginal de
sustitución La tasa marginal de sustitución
es la pendiente de la curva de indiferencia, y su sentido
económico no es otro que la cantidad que se está
dispuesto a renunciar del consumo del bien 1 por consumir
unidades adicionales del bien 2, por esta razón la tasa
marginal de sustitución definida de esta forma decrece
cuando x1 crece. La pendiente de la línea de
restricción presupuestaria se asume que la solución
anterior ocurre en un punto x con x > 0, esto es posible
incluso para uno o más componentes de x que sean cero.
La función de Utilidad CES La función
de utilidad CES surge como una analogía directa a la
teoría de la producción (Arrow et-al 1961) y tiene
la forma: u(x1,x2 ) =(a1 x1n+a2 x2n)¹/n, con n= 1
La función de Utilidad Indirecta Addilog
Como se ha podido observar, es posible derivar las funciones de
demanda de los bienes a través de maximizar la utilidad,
sujeta a la restricción de gasto. Sin embargo, la
solución no siempre es estimable. La teoría de la
dualidad sugiere que una alternativa es especificar una
función indirecta de utilidad, una función que es
no decreciente en el ingreso, no decreciente y cuasi convexa en
precios, continua y homogénea de grado cero en precios e
ingreso. V(p1,p2,Y) = a1(Y/P1)^ß1 +
a2(Y/P2)^ß2. Las especificaciones
Translogarítmicas La función de utilidad
translogarítmica proviene de Christensen, Jorgenson y Lau
(1971,1975). Esta ha sido la forma funcional más usada en
análisis empíricos de demanda. Una de las ventajas
de la translogarítmica es su forma funcional flexible, ya
que puede ser aproximada de una función de segundo orden
por Taylor a una función de utilidad indirecta arbitraria.
El sistema Casi – Ideal de Gasto AIDS El sistema de
ecuaciones de demanda puede ser derivado a partir de la
función de gasto. Suponiendo que éste es continuo y
no-decreciente precios y utilidad, y además cóncavo
y homogéneo de grado cero, entonces: El sistema
AIDS (Almost Ideal Demand Sistem) cumple las restricciones de
adición, homogeneidad y simetría. Para satisfacer
las condiciones de negatividad se requiere que la matriz de
Slutzky sea semidefinida negativa: cij= gij +bi bj Log (Y/
p) – xipi dij + xjpj xipi
La demanda indica la cantidad que un consumidor desea comprar de
una serie de bienes, ya sea expresada como una función de
los precios y el ingreso o como una función de la utilidad
y de los precios. LA DEMANDA
La demanda que corresponde a un vector de precios e ingreso
podría no ser única, en la gráfica (3.1)
allí existen dos soluciones xA y xB correspondientes a la
restricción de presupuesto Si un orden de preferencias es
continuo, satisface la insaciabilidad local, y es estrictamente
convexo, entonces para todo p >> 0, y > 0 la demanda x(
p, y) es única, define un valor singular, y es una
función continua UNICIDAD Y CONTINUIDAD
El excedente del consumidor se considera la diferencia
existente entre la cantidad máxima que un consumidor
está dispuesto a pagar por una cantidad determinada de un
bien y lo que en la realidad paga por esa cantidad y la
disponibilidad a pagar es la cantidad máxima que
pagaría un Consumidor por adquirir un
determinado Bien. El excedente del consumidor y
disponibilidad a pagar
consiste en mostrar cómo manteniendo la estructura de las
preferencias es posible separar las decisiones de gastar en cada
grupo Separabilidad
La función de Producción de Hogares La
función de producción de hogares fue introducida
entre 1965 y 1966 por los artículos de Gary Becker y Kevin
Lancaster; que los consumidores no obtienen directamente de los
bienes comprados en el mercado, sino derivan de los atributos que
poseen los bienes. (5.5) Max m (g(x)) Sujeto a bX1 = Z* . = . bXn
= Z* (X1,…, Xn) = 0 (P1,…,Pn) = 0 (5.1) Maximizar z
u= u (z) Sujeto a Z=g (X) P X = Y (5.2) Maximizar u= u (g(X)) = v
(X); Sujeto a P X – Y = 0 (5.3) Minimizar PX= Y; Sujeto a
v(X) = v0 (5.4) Min {P.X | t (Z, X) = 0}; Sujeto a bX = Z*
Estática Comparativa Nos interesan las respuestas de los
consumidores ante el cambio en el salario y los coeficientes
tecnológicos. Considerando los efectos de
sustitución puros las demandas Hicksianas se obtienen de
la siguiente forma: (5.13) Min S (pi bi + w ti) Zi – w T
Sujeto a u (Z1,…., Zn) = uº Análisis de la
Riqueza en el Mercado de Bienes (5.19) E (Z1, p, uº)= Min [C
(Z1, Z, p) |uº = u (Z1, Z)] Por el teorema de la envolvente
obtenemos: (5.20) = -(?u1 (Z1, Z, uº) – C1 (Z1, Z,
p))
Bienes Públicos (5.23) VC= C (p, uº, a‘)
– C (p, uº, aº) uº es el nivel de riqueza
inicial C es la función de gastos a es un bien publico
Variables Dependientes, Discretas y Limitadas 6.1
Especificación del Modelo (6.1) pi =p (Yi = 1) = G(x*i,
?); i = 1, 2, … n. (6.2) p (Yi = 1) = F[H(x*I, ?)]
Formas Comunes de las Funciones de Probabilidad (6.3) Prob (Y=1)
= F (ß´x) Prob (Y=0) = 1 – F (ß´x)
(6.4) F (x, ß) = ß´xi Dado que E [Y] = F(x,
ß), el modelo de regresión será: (6.4.1) Yi =
E [Yi] + (Yi- E[Yi]) = ß´xi + ?i con ?i = Yi –
E [Yi] modelo de probabilidad lineal. Estimación Los
modelos de Probit y Logit se estiman por máxima
verosimilitud donde cada observación es extraida de una
distribución de Bernoulli. (6.11) Prob (Y1 = y1, Y2 =y2,
Y3=y3,…, Yn=yn)=
De la mano con el desarrollo de las formas de estimación
de los modelos, la literatura ha venido ofreciéndonos una
serie de contrastes para conocer la "bondad" de los modelos
estimados. El origen de estos contrastes se remonta a los
trabajos de Rao (1947) en lo que se conoce como "contraste Score"
o "contraste de puntuación". Posteriormente Silvey (1959)
propone el contraste de multiplicadores de Lagrange que no es
otra cosa que el mismo contraste de Rao. Sub. Contrastes de
Especificación
Si existen n observaciones independientes y1, y2, y3,……, yn
con funciones de densidad idénticas f( y, q ) donde q es
un vector p ´ 1 de p parámetros. Entonces la
función de verosimilitud L( q ), el vector de
puntuación (Score vector) d( q ), y la matriz de
información I( q ) y vienen definidas como: Sub. Contraste
de Rao o Contraste de Puntuación
La matriz de información de White(1982) se basa en el
hecho de que en un modelo especificado correctamente, tendremos:
Sub. El contraste de la Matriz de Información de White El
Contraste de Comentos Condicionados (CM) El contraste de momentos
condicionados fue sugerido por Newey (1985) y Tauchen (1985), y
se basa en la premisa de que bajo una especificación
correcta, no solamente se tiene E[d( q )] = 0 sino también
condiciones de sobreidentificación como E[ m ( y, q )] =
0. El contraste de momentos condicionados puede reducirse a la
regresión:
Entre los primeros trabajos sobre Heterocedasticidad realizados
por Maddala y Nelson (1975) se argumentan que una
regresión con Heterocedasticidad en los errores, los
estimadores son consistentes pero ineficientes. En el caso del
Tobit, el estimador máximo verosímil (ML) es
inconsistente en la presencia de Heterocedasticidad Brannas y
Laitila (1989). Sub. Contrastes de Heterocedasticidad Contraste
comúnmente usado consiste en el contraste de las razones
de verosimilitud o LR-test, el cual consiste en:
Cuando no existe normalidad, existen sesgos en los estimadores
Goldberger (1983). Pagan y Vella (1989) sugieren un contraste CM
para normalidad con base en el tercer y cuarto momento de los
residuos. En términos generales, ya se trate de un Logit,
Probit o Tobit, el problema consiste en evaluar el momento. Lee y
Maddala (1985) sugieren usar el método de recursividad
para los momentos. Sub. Contrastes de Normalidad Contraste
de Correlación Contemporánea Kiefer (1982)
desarrolla un contraste Score para un Probit multivariado:
él comienza con el supuesto general de que la matriz de
correlación de los errores es R y crea un contraste de
puntuación para la hipótesis R = I. Kiefer
también desarrolla un contraste para la hipótesis
r=0 cuando R = (1-r)I +ree´, donde e es un vector de unos;
este contraste es bastante conveniente en modelos de efectos
aleatorios con datos de panel.
El contraste para sesgos de selección fue el primer
contraste de especificación en modelos con variables
dependientes limitadas. Este contraste fue desarrollado por
Gronau (1974) y Heckman (1979). En términos generales se
le conoce como el contraste de Heckman. El problema planteado
parte del modelo de autoselección tipo Heckman, de la
forma: Sub. Contraste de Sesgos de Selección Y la
ecuación de selección es
No es muy común contrastar estabilidad en modelos de
variables dependientes limitadas, sin embargo, Anderson (1987)
abre el camino en este tipo de contrastes. Anderson propone
comparar el logaritmo de la verosimilitud cuando el modelo es
regresado sobre un período, con respecto a un
período posterior. El trabajo se inspira en el contraste
de estabilidad de Chow, extendiéndose el uso de las
variables dummy a los modelos Tobit y Probit. Hoffman y Pagan
(1989) sugieren, siguiendo a Anderson, definir primero un
período de 1 hasta s y un período de s+1 hasta s+S,
y elaborar el estadístico: Sub. Contraste de Estabilidad
Contraste de Exogeneidad En modelos de ecuaciones
simultáneas que involucran variables dependientes
limitadas, Groger (1990) considera un contraste de exogeneidad
tipo Hausman a través de una estimación de
mínimos cuadrados ordinarios no-linelaes.
La identificación del modelo con una o más
ecuaciones, requiere una investigación de cuáles
parámetros son conocidos y desconocidos. Por
parámetros conocidos entiéndase aquellos que pueden
ser identificados, estos parámetros generalmente son
características de la población y de la
distribución de las variables observadas como las
varianzas y covarianzas para los cuales los estimadores de la
muestra son consistentes. Los parámetros desconocidos son
aquellos parámetros cuyo estatus de identificación
no es conocido, estableciendo entonces el investigador
cuándo existen valores únicos para estos. Sub.
Identificación
Esta es la condición más sencilla, pero no es una
condición suficiente. La regla t, parte de que el
número de elementos no-redundantes en la matriz de
covarianzas de las variables observadas deberá ser mayor o
igual al número de parámetros desconocidos en q,
esto es: Sub. Regla T Regla del B Nulo Pueden escribirse como
funciones de las matrices de covarianzas identificadas de las
variables observadas. Si los errores de una ecuación no
están correlacionados con aquellos de las otras
ecuaciones, en un sistema (Y es diagonal), entonces esas
ecuaciones pueden tratarse como separadas o no relacionadas. Si Y
no es diagonal y los errores de las últimas dos ecuaciones
están correlacionadas, entonces tal modelo será
llamado "Seemingly unrelated regresions". La regla B nula es una
condición suficiente para identificar un modelo.
Una propiedad para todos los modelos recursivos consiste en que
para una ecuación dada, el término de error g no
esté correlacionado con las variables explicatorias. De
esta forma, cov (x2, g2) = 0, cov (x3, g1) = 0 y cov (x2, g3) =
0, y de igual forma para cov (g2, y1)= cov (g2,g2x2+g1) = 0.
Así, g2 no está correlacionado con y1 y x2, las dos
variables explicatorias de la segunda ecuación, y de igual
forma cov (g3, y1)=0 y cov (g3, y2)=0. En general, para la
i-ésima ecuación en algún modelo recursivo,
gi no está correlacionado con las variables
endógenas, las cuales son variables explicatorias en esa
ecuación; esto se debe a que las variables
endógenas están en función de las variables
exógenas y de los errores de las otras ecuaciones, los
cuales no están correlacionados con gi . Sub. Regla
Recursiva Condiciones de Rango y Orden Si una condición de
restricción en una ecuación se determina a partir
de las variables excluidas, entonces "una condición
necesaria para que una ecuación sea identificada consiste
en que el número de variables excluidas de la
ecuación sea al menos p-1 ".
Generalmente las elecciones de los consumidores involucran
elecciones discretas como usar gas o no, usar energía
eléctrica o no, comprar un automóvil o no, etc. La
anterior aproximación ha sido criticada por
sicólogos como Thurstone (1927), Luce y Supes (1955),
Tversky (1969) y por economistas como Georgescu-Roegen (1958),
Quandt (1956) y Macfadden (1981, 1986), ya que implica fuertes
postulados sobre el poder discriminatorio de los agentes,
así como una capacidad ilimitada de procesar
información. Sub. Resumen de las Reglas de
Identificación Modelos de Utilidad Discreta
La interpretación proviene de Tversky (1972a), para quien
la utilidad de diferentes alternativas es determinística,
pero el proceso de elección en sí mismo es
probabilístico. En este tipo de modelos el individuo no
necesariamente elige la alternativa que da la mayor utilidad; en
lugar de esto, existe una probabilidad de elegir cada una de las
posibles alternativas, incorporando la idea de "racionalidad
limitada" dado que los individuos no necesariamente seleccionan
lo que es mejor para ellos Macfadden (1981, pp.198). Sub. Modelos
con Regla de Decisión Estocástica REGLAS DE
DECISIÓN Modelos con Utilidad Estocástica Existen
dos versiones tradicionales de los modelos de utilidad
estocástica. El primero proviene de Thurstone a partir de
la teoría sicológica de la elección
individual y el segundo proviene de Macfadden en la
versión económica de la elección discreta.
El modelo de Thurstone tiene su origen en una serie de
experimentos donde se les preguntaba a los individuos acerca de
comparar intensidades de estímulos físicos, por
ejemplo, el rango de tonos en términos del ruido. Dada la
variabilidad en las respuestas, Thurstone propone que un
estímulo provoca una "sensación" o un estado
sicológico que es la realización de una variable
aleatoria.
El consumidor representativo es un agente cuya utilidad nos
muestra un conjunto de preferencias diversas. Ya que en la
práctica los consumidores tienden a comprar, solamente
una, o en todo caso muy pocas de las variantes de un producto que
se les ofrece, el consumidor representativo ha sido bastante
criticado19. Como bien lo han señalado Archival, Eaton y
Lipsey (1986), la cuestión sobre cuándo el
consumidor representativo puede constituir una descripción
agregada válida de una población de consumidores
caracterizados por elecciones discretas en el ámbito
individual es un punto de discusión abierto. Sub.
Elecciones discretas con Productos Diferenciados Análisis
de Riqueza En un análisis continuo se puede encontrar el
excedente del consumidor a través deintegrar la curva de
demanda compensada entre dos precios. Sin embargo, en el
análisis discreto existirán puntos de
discontinuidad y no-diferenciación en la función
indirecta de utilidad y en la función de gasto, por lo
tanto existirán problemas al integrar las funciones. La
demanda se podría modelar, como observan Small y Rosen
(1981),
Suponga un consumidor que maximiza sujeto a la restricción
con una función de utilidad dos veces diferenciable y
estrictamente cuasicóncava. Asuma que U es finito siempre
que X1 o X2 sean cero, y que U es estrictamente creciente en Xn y
no decreciente en X1 y X2. Sea e(P1,P2 ,U) el mínimo gasto
requerido para alcanzar el nivel de utilidad U y sea ,Y) el valor
de la función indirecta de utilidad a los precios
iniciales y el ingreso; entonces la variación compensada
para un cambio de precios en p1 de a viene definido como: Sub. El
teorema de Small y Rosen Cuando un bien es comprado en unidades
discretas, pero existen no concavidades en la función de
utilidad, el consumidor elige entre soluciones alternativas de
esquina. Supongamos una canasta de 3 bienes donde las curvas de
indiferencia entre X1 , X2 y el bien numerario son convexas,
entonces en cada vector de precios el consumo tanto en X1 como en
X2 podría ser cero. Los supuestos del teorema de Small y
Rosen garantizan que los U(Xn,0,X2) y U(Xn,X1,0) sean funciones
bien definidas manteniéndose el excedente del consumidor.
Resumiendo, el excedente del consumidor se puede encontrar
siempre que exista una función de gasto dado que dicha
función es diferenciable en precios.
APLICACIONES DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR A LA
ELECCIÓN DE OCIO. El ingreso y el tiempo son restricciones
en una persona al momento de decidir comprar o producir un bien o
servicio, donde el dinero influye directamente en el tiempo de
elegir o adquirir algún activo
RESTRICCIONES NO ECONÓMICAS BIOLÓGICAS
HISTÓRICAS CULTURALES
DISTRIBUCIÓN DE LOS DÍAS TRABAJADOS Grafica 1:
Distribución de los días trabajados
FÓRMULA DE COMPRA DE BIENES
FUNCIÓN DE UTILIDAD PARA RESTRICCIONES
PRESUPUESTARIAS
GRÁFICA DE RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS Grafica 8.2.
Decisión de trabajar. Gráficamente se muestra
así: 8.5) px + wx0 = m + wT. Si x = 0 y no existe ingreso
adicional, entonces wx0 = wT ó x0 = T si x0 = T = 0, por
lo cual w = 0 y x = m / p. La cantidad de trabajo ofrecida se
mide por la distancia 0 – T. Las curvas tendrán diferentes
pendientes de acuerdo con la tasa de salario. La decisión
de cuántas horas ofrecer al individuo determinará
la decisión de participar en el mercado laboral. Un cambio
en w altera el ingreso y el efecto sustitución, la
cantidad m + wT representa el ingreso total disponible del
consumidor que será gastado en ocio y bienes.
GRÁFICA DE LAS DIFERENTES RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS
Grafica 8.3: el salario mínimo que induce a participar. De
acuerdo con las tasas de salario w1(CAT) y w2 (DAT), la curva de
indiferencia es tangente a la línea quebrada (E-F),
mientras la pendiente de (E-F) es w*/p, esto es, la tasa marginal
de sustitución la cual es un indicador de la tasa de
salario de reserva w* el punto A en la gráfica (8.3). Si
el salario es menor que w*, el individuo no participará en
el mercado, si el salario es w2 se ofrecerán horas
positivas. Si w = w* el trabajador es indiferente. Donde w* es el
salario de reserva, aquel valor de w que hace que x0 = T: T =
x0(µ + w*T. w*,p)
ESTA PRESENTACIÓN CONTIENE MAS DIAPOSITIVAS DISPONIBLES EN
LA VERSIÓN DE DESCARGA