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Transformada de Laplace y Transformada Z




  1. Introducción
  2. Transformada de Laplace
  3. Tipos de transformadas de Laplace
  4. Ejercicio de transformada de Lapalace
  5. Transformada Z
  6. Propiedades de la transformada Z
  7. Bibliografía

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Introducción

El contenido a desarrollar en el siguiente informe investigativo se basa en los distintos métodos de transformada de Laplace y Transformada Z, es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.

La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos = 0, es la función F(s), definida por:

  • Propiedades de La transformada de Laplace

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Tipos de transformadas de Laplace

Se pueden distinguir dos tipos de transformadas de Laplace: Bilateral y Unilateral.

  • Transformada de Laplace Bilateral: Se define la transformada de Laplace Bilateral de una señal continua x(t) como:

Donde s es una variable compleja. En sí, la transformada de Laplace bilateral de una señal continua es una función analítica en cierto dominio, que se denomina región de convergencia.

  • Transformada de Laplace Unilateral: Sea x(t) una señal continua. Sedefine la Transformada de Laplace Unilateral de x(t) como:

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Donde s es una variable compleja. En sí, la transformada de Laplace Unilateral de una señal continua es una función analítica en cierto dominio, que se denomina región de convergencia.

Ejercicio de transformada de Lapalace

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EJERCICIO DE TRANSFORMADA DE LAPALACE A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

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Transformada Z

La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

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Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para = 0, la transformada Z unilateral se define como

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Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z)suele escribirse como X(s), ya que s = z-1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

TRANSFORMADA Z INVERSA

La Transformada Z inversa se define

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La TZ con un rango finito de y un número finito de separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier(DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando para que coincida con el círculo unidad.

Región de convergencia (ROC)

La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita.

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  • Propiedades de la Región de Convergencia:

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n].

  • La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.

  • Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=8.

  • Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z].

  • Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z].

  • Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo.

Propiedades de la transformada Z

  • Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces:

Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]

siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.

  • Desplazamiento temporal. Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :

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Ejemplo:

Considere la ecuación en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y la condición inicial y[-1]=3. Halle y[n] para n³0.

Solución

Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuación, y usando la propiedad de desplazamiento temporal, se tiene:

Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]+y[-1]Z)=1

Por tanto,

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Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n

  • Multiplicación por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de anX[n] está dada por X[a-1Z].

Demostración

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En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para n<0.

Ejemplo

Halle la transformada Z de X[n]=anU[n].

Solución

Como la trasformada de U[n] es

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  • Diferenciación con respecto a Z. Si se deriva la expresión

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Ejemplo

Sea y[n]=n(n+1)U[n], halle y[Z].

Solución

y[n] se puede escribir como y[n]=n2U[n]+nU[n]

Aplicando el teorema anterior se tiene:

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  • Teorema del Valor inicial. Dada una secuencia causal X[n] se tiene que

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Ejemplo

Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya transformada Z es

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Se puede observar que X[n]=U[n]

  • Teorema del Valor final. Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor de X[n] a medida que tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión:

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siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.

La demostración se deja al lector.

Ejemplo

Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:

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Solución

Aplicando el Teorema del Valor final se tiene:

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  • Convolución. La convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es más que el producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]

En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que:

Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z]

donde H[Z] es la transformada de h[n].

Para obtener la salida y[n] bastará hallar la transformada inversa de y[Z] .

Ejemplo

Dadas las secuencias X[n]={1,3,-1,-2} y la respuesta la impulso h[n]={1,2,0,-1,1}en un sistema lineal invariante con el tiempo.

Hallar la salida y[n].

Solución

y[n]=X[n]*h[n]

Aplicando la propiedad de convolución se tiene que:

y[Z]=X[Z]H[Z] donde

X[Z]=1+3Z-1-Z-2-2Z-3

H[Z]=1+2Z-1-Z-3+Z-4

Por tanto y[Z]=1+5Z-1+5Z-2-5Z-3-6Z-4+4Z-5+Z-6-2Z-7

Por tanto, la secuencia de salida es: y[n]={1,5,5,-5,-6,4,1,-2}

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

http://neutron.ing.ucv.ve/electronica/materias/c2515/temas1_archivos/tema10.pdf

http://www.titounet.com/Material_Didactico/Transformada_Laplace_Diferenciales_Ejercicios_Resueltos.pdf

http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-circuitos/teoria-circuitos2.shtml

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/propiedadesTrans.html

 

Enviado por:

Sergio Tirado

DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

MATEMATICA APLICADA A LA INGENERIA II

VIII-ELE-UN

Ciudad Bolívar, NOV. 2012-Venezuela

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