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Introducción al Álgebra

Enviado por BELKIS SOLANO



Partes: 1, 2

  1. Introducción
  2. Funciones
  3. Restricción y extensión de una función
  4. Gráfica de funciones

Introducción

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Funciones

Una Función Es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado condominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del condominio. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del condominio, sin importar si los elementos del condominio puedan estar relacionados con dos o más del condominio.

Donde se dice que f : A B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado condominio B

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado condominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado condominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que está sujeta a los valores que puede tomar la otra

FUNCIÓN INYECTIVA

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Ejemplo de función inyectiva

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FUNCIÓN SOBREYECTIVA

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Ejemplo de función sobreyectiva

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Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:

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FUNCIÓN BIYECTIVA

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FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f-1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f-1(b) = a.

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Podemos observar que:

El dominio de f-1 es el recorrido de f.

El recorrido de f-1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f -1) (x) = (f -1 o f) (x) = x

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

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Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

3Se intercambian las variables.

Calcular la función inversa de:

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Vamos a comprobar el resultado para x = 2

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Restricción y extensión de una función

Son muy comunes en el contexto del análisis matemático. Primero los voy a definir y luego ilustrar con ejemplos para que quede más claro

Supongamos que tenemos una función f: X-> Y y A es un subconjunto de X. Entonces la restricción de f a A es la aplicación definida por (f|A)(x) = f(x) si x es un elemento de A, esto no se ve muy claro pero veamos un ejemplo. Definamos X = Y= R , siendo R los números reales. Tomemos f: R-> R definida mediante f(x) = sen(x). Es decir la función seno. Ahora consideremos el subconjunto A = (0, pi/2). Es claro que la función f: R-> R dada por f(x) = sen(x) NO siempre es creciente, sin embargo su restricción al subconjunto (0,pi/2) la hace una función creciente. La moraleja de esto es que la función original y su restricción son en general diferentes y por ello la restricción se usa para cuando se quiere aprovechar alguna propiedad de la función que solo se obtiene al restringirse a un un subconjunto del dominio general. En este caso sabemos que la función seno no es creciente en toda la recta real sin embargo si consideremos su restricción al intervalo (0,pi/2) ahi si ya es creciente y entonces podemos hacer uso de esta propiedad en este intervalo.

Otra idea en la que usa la restricción es por ejemplo cuando queremos invertir una función, sabemos que la función f dada por f(x) = x^2 no es invertible en todo R porque no es inyectiva sin embargo si podemos considerar su restricción a un intervalo donde si lo sea, por ejemplo la restricción en [1,2] , en este caso la función si es invertible pues f es estrictamente creciente en dicho intervalo.

Ahora veamos lo que es una extensión.  Sea f: X-> Y una función y sean A,B conjuntos tales que X es un subconjunto de A , Y es un subconjunto de B. Una extensión de f a A es una función g: A-> B tal que f(x) = g(x) para cada x en X. En otras palabras g es una extensión de f al conjunto A si f es la restricción de g a X. Un ejemplo muy básico. Sean X, Y = R. Voy a denotar a R\{0} al conjunto que consta de la recta real menos el cero, es decir (-infinito,0) union (0,infinito). Definamos f: R\ {0} -> R \ {0} mediante f(x) = 1/x. Entonces es claro que f no está definida en x=0 pues se obtiene una división por cero. La pregunta es ¿podemos extender f a todo R? , es decir podemos construir g tal que: g: R-> R y g(x) = f(x) para toda x en R \ {0} La respuesta es SÍ. Definamos g como función a trozos, g(x) = {1/x si x es distinto de 0, y 0 si x=0}. Entonces g es una extensión de f porque si x pertenece a R \ {0} se tiene que g(x) = 1/x = f(x). 

El concepto de extensión se utiliza mucho pero más cuando sea desea que la extensión sea continua, en el ejemplo anterior g no es una función continua pero muchas veces surgen problemas en matemáticas avanzadas sobre cuando dada una función esta se puede extender de manera continua, isométrica, única o uniformemente continua a todo el espacio. Esto ya pertenece más al área de análisis matemático y topología.

Gráfica de funciones

Dominio y recorrido

 El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas  en el eje y.   Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

 Ejemplo para discusión:

 Determina el dominio y el recorrido de la función f  cuya gráfica es: 

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Ejercicio de práctica:  Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica: 

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  Funciones crecientes, decrecientes y constantes

 Definición:  Sea I in intervalo en el dominio de una función f.  Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)a en I.

3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

 Ejemplos:

 

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 La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

 

2) Monografias.com

 La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

 

3) Monografias.com

 La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

 

4) Monografias.com

 

La función f(x) = x2  es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.

  Función constante

 Una función constante es una función de la forma f(x) = b.  Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto  de los  números reales  y  el recorrido el conjunto {b}.

 Ejemplo: 

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 En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}.  La pendiente (m)  es cero.

  Función identidad

 La función identidad es la función de la forma f(x) = x.  El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. 

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  Función lineal

 Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m  y  b son números reales.  La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal.  Tampoco su gráfica es una recta vertical.  El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. 

 Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales.  El intercepto en y es (0,b).

 Ejemplo: 

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En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales.  El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.  El intercepto en y es (0,4).

 Ejercicio:  Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de  f(x) = -3x + 6.  Luego dibuja la gráfica.

 Nota:  Una función de la forma f(x) = mx  también es una función lineal pero su intercepto en y es cero.  Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.

 Función cuadrática

 Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b  y  c son números reales.  La gráfica de una función cuadrática es una parábola.  Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a0.  El vértice es (0,0).  El dominio es el conjunto de los números reales  y  el recorrido es cero y los reales positivos.  La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2  es cóncava hacia arriba. 

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