Teoría del consumidor

Introducción

La utilidad es el nivel de la satisfacción de las
necesidades cuando se consumen bienes y servicios. Todas las
personas cuando consumen bienes y servicios satisfacen sus
necesidades. La teoría del consumidor define el nivel de
la satisfacción de las necesidades como la "utilidad".
Esta palabra tiene realmente muchos significado como por ejemplo
la utilidad que obtiene una empresa en sugestión propia.
En la teoría del consumidor la utilidad es una medida
abstracta para medir de manera cualitativa el nivel de la
satisfacción de las necesidades. Sin embargo, no es
posible tener una medida exacta de la utilidad así
como se mide la distancia, o el calor. La teoría del
consumidor nos brinda muchas alternativas de cómo se
comportaría un consumidor representativo y como
variaría su utilidad cuando se presentan variaciones
en los precios relativos, ingreso real, gustos y
preferencias, entre muchas variables que serán
desarrolladas en el presente documento. Esta teoría no nos
da respuestas exactas del comportamiento de las personas antes
variaciones en los precios, pero si es una guía para la
comprensión de cómo reaccionaría un grupo de
consumidores y sobretodo como se vería afectada su
utilidad. En tal sentido, la teoría del Consumidor nos
dará respuestas tales como: "el consumidor estará
mejor o peor", "aumentará o disminuirá el consumo
ante cambios en los precios relativos o el ingreso real", "el
consumidor va lora más un bien que el otro

CAPITULO I

Los modelos
económicos

Los modelos económicos son representaciones
abstractas de la realidad para estudiar algún
fenómeno económico y social. Ya que no se pueden
construir versiones del mercado laboral, del mercado del ocio,
etc., se acude a la representación abstracta del
fenómeno en cuestión*. Esta representación
no es otra cosa que un modelo matemático, en donde, las
ecuaciones desarrolladas representan características del
comportamiento de los agentes.

El avance en la economía experimental ha
permitido recrear el funcionamiento de los mercados mostrando la
distancia entre la presentación formal, su
estimación, y el verdadero funcionamiento de éstos.
Aunque muchos de los resultados provenientes de la
economía experimental usen pocos individuos, generalmente
son estudiantes de últimos semestres

Las ecuaciones del modelo, buscan aproximarse a las
interrelaciones en la economía, y a partir, del
planteamiento de las ecuaciones llegar a su estimación.
Además existen tres elementos identificables como lo
son:

• a- El conjunto de los supuestos (A), que tiene
  que ver con el comportamiento de una construcción
  teórica, y que en últimas, están
  relacionados con el mundo real. Los supuestos son
  proposiciones universales de la forma: todo x tiene la
  propiedad r. Ejemplos de tales proposiciones serán
  "todos los consumidores maximizarán su utilidad" o
  "todos los consumidores son tomadores de precios" o "todas
  las preferencias son separables".

• b- El conjunto de condiciones (C), las
  condiciones deberán incluir la forma de identificar
  los efectos sobre las variables. Por ejemplo, suponga que
  deseamos comprobar que un aumento en los costos de viaje a
  una zona recreativa disminuye la demanda por viajes a dicha
  zona en el año x. Esto requiere primero observar las
  razones por las cuales las personas viajan a dicha zona, en
  otras palabras, sus preferencias por una serie de actividades
  como navegar en vela, montar a caballo, acampar, etc.
  También debemos observar los costos de viajar en el
  año x incluyendo la depreciación del
  automóvil y los costos de oportunidad del salario en
  el año x. Este conjunto de condiciones
  específicas, sitúa a Juan demandando viajes a
  dicha zona en x.

• c- El último elemento consiste en los
  eventos (E) que son predecibles por la teoría. La
  teoría nos dice que el conjunto de supuestos A implica
  que si las condiciones C son válidas entonces el
  evento E podría ocurrir. Por ejemplo, si el
  comportamiento de Juan consiste en maximizar su
  función de utilidad sujeto a la restricción
  presupuestaria, lo cual se podría denotar como A,
  cuando las condiciones C se mantienen, entonces la
  disminución en la demanda de viajes a la zona en
  cuestión, el evento E, cuando aumentan los precios del
  viaje, será observado.

La estructura lógica se construye de tal forma
que el conjunto de supuestos A implica que si C es cierto,
entonces E deberá ser cierto. Esto es, ( A . C ) ? E,
donde el símbolo ® significa "implica". De esta forma,
los supuestos A y las consecuencias C implican la
observación de los eventos E.

Un elemento final consiste en la forma funcional
elegida. Suponga que usted desea considerar la ocurrencia de un
evento; para describir este evento, definiremos una variable
aleatoria Y. Asuma que la probabilidad del evento depende sobre
un vector de variables independientes x y un vector de
parámetros desconocidos q. El subíndice i denota el
i-ésimo individuo. De esta forma, el modelo general se
puede expresar como:

pi = p( Yi ) = G( xi , q ) ; i =
1,2,…., n.

Los Yi son distribuidos independientemente. Suponga que
Yi es la probabilidad de que ocurra el evento, entonces xi
representará aquellas variables que permiten que Y ocurra.
Dado que el "modelo" anterior es muy general, se deberá
escoger alguna función H( xi , q), la cual se conoce que
opera sobre un vector de parámetros q , y de esta
forma:

p( Yi ) = F[H( xi ,
q)].

Límites a
la elección

Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son
directamente observables

para cualquier consumidor, y cualquier variación
en las oportunidades deberá influir directamente sobre la
elección, lo cual muestra que los cambios en las
elecciones generalmente son debidos a la variación en el
conjunto de oportunidades.

Las oportunidades que el consumidor toma en cuenta para
la elección de un bien, son necesariamente las mismas por
las cuales está en la disponibilidad de obtenerlo,
más aun si sus condiciones económicas limitan sus
posibilidades y entra en consideración la normativa de
conservación no consumista. Es decir, Un consumidor presta
consideración a sus limitaciones y prioridades.

A partir de ciertas consideraciones es conveniente
mencionar:

1.1 El conjunto de oportunidades, son todas
aquellas en las que el consumidor promedio puede adquirir los
bienes en un lapso de tiempo establecido, de forma compuesta, tal
es el caso más común, cuando los hogares tienen un
ingreso Y, el cual gastan durante un período en
m bienes, o en algunos a un precio pi. Dado que los
bienes, o la cantidad de ellos, son positivos, a precios
positivos, la restricción puede escribirse
como:

Y=?pixi ; cuando i= 2 tendremos: Y
= p1x1+ p2x2

Donde Y es el ingreso,

pi los precios y

xi las cantidades del bien i.

1.2 Restricciones

Es el conjunto de impedimentos por los cuales los grupos
sociales están sujetos a un comportamiento de
optimización de sus disponibilidades.

Según sean las condiciones económicas
individuales o grupales, existen un conjunto de restricciones
notables de las cuales podemos nombrar:

Restricciones típicas, son aquellas por
las cuales el consumidor mantiene como mínimas para
sobrevivir y satisfacer sus necesidades.

Suponga que las cantidades mínimas de los dos
bienes anteriores para sobrevivir son: x1 Mínimo y
x2 Mínimo. La elección estará
determinada por el triángulo CDE de la anterior
gráfica. Un ingreso menor a Y= p1x1minimo+
p2x2 mínimo, no le daría oportunidad de elegir
al individuo.

Las restricciones pueden tomar diferentes formas:
Primero, muy pocos abrigos y más alimentos. Segundo,
muchos abrigos y pocos alimentos. Y tercero, un balance de
alimentos y abrigos respectivamente.

Suponga a continuación, que el consumidor
comienza el período 1 sin dinero, además ahorra o
pide prestado a una tasa de interés de cero, el ingreso se
distribuye en los períodos Y1 y Y2 y todo se gasta,
entonces la restricción presupuestaria
será:

Y1+Y2 = p1x1+ p2x2
con Y1+Y2=Y

En la anterior restricción existe como supuesto
implícito un mercado eficiente y cero costos de
transacción.

No siempre es posible derivar directamente el conjunto
de oportunidades; supongamos los siguientes casos:

• 1-  El primer bien es perfectamente divisible,
  pero el segundo es disponible en

cantidades discretas

• 2- El pan puede ser consumido al medio
  día por un individuo, ya sea en Santafé de
  Bogotá o en Santiago de Cali, pero no al mismo tiempo
  en ambas ciudades.

1.3 Restricciones no lineales, son aquellas en
las que no existe un medio único de intercambio de bienes
a través de un patrón monetario preestablecido,
surge el fenómeno de intercambio más antiguo
conocido como es el trueque, este se fundamenta en el intercambio
de bienes no controlados por un patrón
monetario.

µ + w(T – X0) =?pixi ;
i:1,2,3…n

Consideremos una economía de trueque y sea A la
dotación inicial de alimentos y vestidos. Ahora, suponga
la existencia de dos grupos: el grupo de los glotones y el grupo
de los bien vestidos; el grupo de los glotones tiene comida y
desea vestidos y el grupo de los bien vestidos tiene ropa y desea
comida. Los dos grupos viven en una isla y están aislados
uno del otro; dado que no existe un medio único de
intercambio, tampoco existirá una razón
única de intercambio. Como puede observar, sin un medio
general de intercambio, la información y los costos de
transacción evitan al grupo que desea intercambiar ropa
por alimentos a través de AC "iniciar un intercambio" con
aquellos que desean cambiar alimentos por ropa a través de
AB. De igual forma, sin un patrón monetario único,
la tasa de intercambio difiere en las dos direcciones, por lo
tanto, los grupos tienen diferentes tasas de intercambio. Una
economía totalmente monetizada, donde se utilice como
patrón de intercambio el dinero, eliminará las
divergencias entre dichas tasas de intercambio, lo que se puede
observar a través de la línea discontinua
BC.

Esta forma de intercambio comercial ha querido ser usado
por el gobierno de Venezuela con los países del sur
generando un desequilibrio en las economías ya
establecidas protegidas por un marco jurídico. Ejemplo de
intercambio mediante el trueque, ha sido el erróneo
negocio de saldar una deuda petrolera de Paraguay con nuestro
país dando como pago una gran cantidad de toneladas de
caraotas siendo nuestro territorio un gran productor de este
rubro.

La no linealidad es más común de lo que se
piensa. En las elecciones de trabajo es frecuente también
que existan no linealidades sobre todo en la elección de
ocio o en el comportamiento intertemporal. Otra forma de no
linealidades es introducida cuando en el conjunto de
oportunidades, la relación ocio-ingreso es diferente de
acuerdo con el período en el cual éstos son
consumidos, veamos:

Si el consumidor desea gastar más ingreso en el
período 1, deberá prestar a una tasa de
interés y pagar en el período 2. Cuando los
consumidores no pueden conseguir dinero prestado, las elecciones
se realizan en un mercado imperfecto de capitales, esto se puede
observar si la restricción presupuestaria no es ABC sino
ABD. Los consumidores en B gastan todo su ingreso. Si la
situación no es tan extrema y asumimos la existencia de la
tasa de interés, esto es, el consumidor paga una mayor
tasa por pedir prestado, la restricción será menos
severa y será descrita por la línea ABE. La
pendiente está determinada por el hecho de que la tasa de
interés de pedir prestado será diferente de la tasa
de interés para prestar.

Uno de los más importantes desarrollos, desde la
postguerra, en la teoría del consumidor, consiste en
aquellos modelos donde el hogar se ve como una función de
producción, esto es, cuando la combinación de los
bienes con el ocio se hace a través de una función
de producción de hogares. La función de
producción de hogares nos muestra la producción de
un número limitado de bienes básicos considerados
como el objeto real de la elección del
consumidor.

Otro ejemplo de no linealidades proviene de los modelos
que asignan una cantidad determinada de tiempo sobre un sitio en
modelos de demanda por recreación.

En resumen, la existencia de no linealidades en la
restricción presupuestaria es muy común y estas no
linealidades producirán variaciones diferentes en el
conjunto de oportunidades de elección del consumidor,
afectando así las elecciones realizadas por
éstos.

1.4 Múltiples restricciones, son aquellas
en que en algunas situaciones el consumidor no se enfrenta a una
sola restricción, sino a múltiples restricciones,
por lo cual estará restringido a un conjunto de bienes y
servicios.

Generalmente el consumidor se enfrenta a un sin
número de restricciones según sea el lugar, tiempo,
espacio y disponibilidad. Para cada individuo suelen presentarse
situaciones particulares, ya que, cada cual tiene condiciones
distintas de enfrentar y solventar su situación. Por
ejemplo, las personas de escasos recursos económicos
están restringidas a disponer de los pocos que perciben
para poder sobrevivir y sobrellevar sus responsabilidades
mínimas; de manera reciproca, los individuos, que poseen
un mejor poder adquisitivo, son capaces de disponer parte de sus
recursos económicos para la adquisición de bienes y
servicios extras, además del gusto y disfrute de viajes y
placeres sin que altere de forma alguna su estatus particular en
su entorno.

CAPITULO II

Preferencias
individuales

Un elemento fundamental en la teoría
microeconómica consiste en cómo los individuos
realizan sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de
un conjunto disponibles de las mismas. La teoría postula
que cada individuo ordena las alternativas de acuerdo con su
preferencia relativa. De esta forma, cuando el individuo realiza
una elección, éste selecciona la alternativa con
aquello que más tiene de todo lo posible.

En las preferencias individuales, también es
posible asumir la existencia de n alternativas, en las que
éstas pueden contener n bienes que usted puede poseer, n
posibles candidatos por los cuales votar, n empleos a optar, etc.
En general, cuando hay n alternativas en algún orden que
desea, usted podrá expresar un orden de preferencias por
las mismas. Cuando algunas alternativas tienen el mismo nivel en
su lista, usted tendrá indiferencia entre las
mismas.

Existen dos propiedades importantes en su lista:
Primera, es posible comparar dos alternativas diciendo
cuál de las dos es mayor; de esta forma, una es más
preferida que la otra, o cuando ella tiene el mismo nivel.
Segunda, dada la naturaleza de las preferencias ésta no es
cíclica2, es decir, si la primera alternativa es mayor que
la segunda, y también mayor que la tercera, entonces la
primera alternativa es mayor que la tercera. Ahora, usted puede
establecer un orden, y si solamente algunas de las alternativas
son posibles, entonces podrá seleccionar aquella
alternativa que más prefiera. Un orden más general
se establece para un infinito número de elementos y aun
cuando la lista con dicho orden sea complicada, el ordenamiento
se mantiene.

Sea X el conjunto de alternativas consideradas por un
individuo; el conjunto X puede ser un conjunto finito de
alternativas o representar el conjunto de canastas de bienes
disponibles. Una relación binaria sobre X, es una
relación R de X a X, con el conjunto de pares ordenados (x
, q) donde x € X y q € X. Los pares en la
relación de R se dicen que satisfacen esta
relación. Una relación de preferencia es un caso
especial y se escribe x ?q sí (x , q) € X x X
satisface esta relación. Sí x ?q entonces se dice
que x es preferido a q. Esta relación puede entenderse en
el sentido débil como "al menos es tan bueno como"
más que en el sentido de "es mejor que".

En orden a cualificar la relación de
preferencias, la relación deberá satisfacer las
siguientes propiedades fundamentales:

• 1- Reflexividad

Para todo x € X, x ?x. Este supuesto nos dice que
la canasta x, en el sentido débil, es preferida a
sí misma, es decir, que al menos es tan buena como ella
misma.

• 2-  Completitud

Para todos los elementos x, q en X se cumple que x ?q
ó q ?x o ambos. Este supuesto simplemente nos dice que dos
canastas pueden ser comparadas.

• 3- Transitividad

Para todo x , q y z en X, si x? q y q? z entonces x ?z.
La propiedad de transitividad plantea la coherencia en las
elecciones.

Las propiedades 1 a 3 definen un conjunto de
elección preordenado.

• a- Preferencias sobre Rm+

Las relaciones de preferencias se usan para caracterizar
los deseos de los consumidores, por varias combinaciones de
bienes. Los bienes son indexados de 1 hasta m.

Una canasta de bienes es una colección de varias
cantidades de esos m bienes, y la cantidad de cada bien en una
canasta es un número real positivo. También podemos
ver una canasta como la representación de un vector
m-dimensional de números no negativos.

• 4-  Continuidad

Una relación de preferencias sobre X= se dice que
es continua sí para cada x

€ X los conjuntos { y € X | y ?x } y { y
€ X | x ? y } son cerrados. Esto es, para alguna canasta x
defina:

A(x) como el conjunto donde x es "al menos tan bueno
como y " y

B(x) "no existe un mejor conjunto que x ".

• 5-  Insaciabilidad

Una relación de preferencia sobre X se dice que
no es saciada sí para todo x € X existe un q € X
siendo q ? x. Lo contrario a dicha afirmación es la
existencia de un elemento x0 en X que sea preferido a otro
elemento. Tal elemento se denominará "punto de
felicidad".

Existen otras propiedades relacionadas con la
insaciabilidad, a saber:

• a- Insaciabilidad local

Una relación de preferencia sobre X = satisface
la insaciabilidad local sí para algún x en X y
algún e > 0 existe algún q en X con tal que q ?
x. Esto significa, que para alguna canasta x, existen canastas
cercanas que son estrictamente preferidas a x, lo cual
podría entenderse siempre que es posible mejorar aunque
sólo se introduzcan pequeñas variaciones en la
canasta de bienes.

• b- Fuerte monotonicidad

Una relación de preferencia sobre X, es
fuertemente monótona sí x € X, q € X y q
? x, La fuerte monotonicidad implica insaciabilidad local. Si una
cesta de bienes contiene como mínimo la misma cantidad de
bienes que otra y más de alguno de ellos, esta cesta es
estrictamente mejor que la otra,

• c- Homotecia

Una relación de preferencias monótonas
sobre X= Rm + es homotética si todos los

conjuntos de indiferencia están relacionados por
un rayo de expansión proporcional, esto es, si x ~ q
entonces ax ~ aq para algún a ³ 0

• d- Convexidad

Una relación de preferencia sobre X= Rm+ es
convexa si dado algún x, q y z en

X tal que x ? q, x ? z , q ? z entonces para todo a,
0< a<1, se cumple que

ax + (1- a)q ? z y se dice que es estrictamente convexa
si x ????z , q ?? z y para todo a, 0< a<1, se cumple que ax
+ (1- a)q ?? z. De igual forma, esta propiedad podría
leerse como que la canasta media es preferida a los
extremos.

2.2 La función utilidad

Si la ordenación de preferencias es completa,
transitiva, reflexiva y continua, entonces las preferencias se
pueden representar a través de una función de
utilidad continua. La función de utilidad, u, es una
función con valores reales, definida sobre el conjunto X,
de tal forma que el orden de las preferencias sobre X se preserva
por la magnitud de u. De esta forma, una función de
utilidad tiene la propiedad de que dados dos elementos x y q en X
se cumple que u(q) = u(x) sí y solo sí q ?
x.

No todas las relaciones de preferencias pueden ser
representadas por funciones de utilidad, pero si la
relación de preferencias es continua sobre entonces
ésta puede ser representada por una función de
utilidad. Por lo tanto, sí las preferencias son
reflexivas, transitivas, completas y continuas, u(x) representa
dichas preferencias y deberá cumplirse: Primero, u(x) es
estrictamente creciente sí y sólo sí las
preferencias son monótonas. Segundo, u(x) es cuasiconcava
sí y solo sí las preferencias son convexas y
tercero u(x) es estrictamente cuasiconcava sí y solo
sí las preferencias son estrictamente convexas.

De todas las anteriores afirmaciones
matemáticamente descritas, surgen un conjunto de
relaciones de invarianzas asociadas que se desprenden de las
mismas:

Invarianza de la función de
utilidad

Si una relación de preferencia es representada
por una función de utilidad sobre R , entonces una
función de la forma v(x) = f(u(x)), donde f es
estrictamente creciente en el rango de v sobre u, será
también una función que represente la misma
relación de preferencia. Si f y u son continuas entonces v
también es continua.

• a- Invariancia en la
  descripción

• b- Invariancia en el procedimiento

• c- Invariancia en el contexto

Cada una de ellas expresa una función
matemática teórica abstracta, de la cual podemos
ver el origen filosófico contextual llevado a situaciones
reales.

2.3 El problema básico del
consumidor

Al momento de hacer la escogencia para la
adquisición de bienes y servicios, el consumidor siempre
se ve limitado respecto a su decisión priorioritaria
según sus necesidades. Cualquier consumidor ha
experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados
cuando decide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Dicha
frustración no es más que la confirmación de
que aun cuando se tienen preferencias por los bienes,
éstas por sí solas no bastan, esto es, existen
restricciones como la cantidad de dinero que poseemos en nuestros
bolsillos para comprar dichos bienes. De una manera más
formal, asumamos que existen m bienes, los cuales son
infinitamente divisibles, consecuentemente vemos como surgen de
allí las restricciones múltiples, que no son
más que el conjunto de bienes por adquirir pero con un
cierto grado de restricción en cuanto a la facilidad para
obtenerlos.

2.4 Dualidad

Uno de los aspectos importantes en la teoría del
consumidor, consiste en la dualidad. La dualidad es una de las
"herramientas" más usadas en la estimación de
modelos. Básicamente la dualidad expresa la
relación entre los bienes por un lado y los precios por el
otro. De esta forma, el consumidor podrá elegir entre
maximizar la función de utilidad sujeto a la
restricción de presupuesto o, minimizar su gasto en una
serie de bienes siempre y cuando, la función de utilidad
permanezca constante.

La función de gasto y la función indirecta
de utilidad están íntimamente relacionadas, pues a
partir de invertir C(u,p) = x se encuentra u en función de
x y p. Similarmente la inversión de u = v (y,p) nos lleva
directamente a x = C(u,p).

Propiedades de la función indirecta de
utilidad

Entre las propiedades usuales de la función
indirecta de utilidad, tenemos:

• a- Es homogénea de grado cero en (p,y),
  esto es, v( tp, ty)= v(p,y) " t >0.

• b- No es creciente en p y es estrictamente
  creciente en y.

• c- Es cuasi convexa con respecto a p, esto es
  el conjunto {p: v(p,y) £ c} es convexo para cada y >
  0 y algún c.

• d- La derivada de la función indirecta
  de utilidad con respecto a los precios e ingreso se conoce
  también como la Identidad de Roy y es una forma
  conveniente de recuperar la demanda Marshalliana,

• e- Es continua en p e y.

Propiedades de la función de
gasto

Entre las propiedades usuales de la función de
gasto, se encuentran:

• a- La función de gasto es
  homogénea de grado uno en precios, formalmente para
  algún escalar q >0 : C(u, qp) = q C(u,p). Esto es,
  si los precios se doblan se deberá desembolsar dos
  veces más cantidad de dinero para estar en la misma
  curva de indiferencia.

• b- La función de gasto es creciente en
  m, no decreciente en p y creciente en al menos un precio.
  Esto se deriva del axioma de insaciabilidad ya que dados unos
  precios, el consumidor tiene que gastar más para estar
  mejor, debido a que un incremento en precios requiere
  más cantidad de dinero para permanecer
  mejor.

• c- La función de gasto es cóncava
  en precios. Cuando el precio de un bien cambia, mientras los
  otros precios y la utilidad permanecen constantes, la
  concavidad implica que el costo aumenta no más que
  linealmente, esto es esencial, porque el consumidor minimiza
  sus gastos reacomodando sus compras en orden a tomar las
  ventajas de la estructura de precios.

• d- La función de gasto es continua en p
  y la primera y la segunda derivada con respecto a los precios
  existe.

• e- Cuando ellas existan, las derivadas
  parciales de las funciones de gasto con

respecto a los precios serán las funciones de
demandas Hicksianas.

Propiedades de las funciones de demandas
Marshallianas y Hicksianas

Como se ha encontrado anteriormente, de la
solución a (2.5) se obtiene la demanda Marshalliana
mientras de la solución a (2.6) se obtiene la demanda
Hicksiana. Ahora derivaremos algunas de las propiedades para
dichas demandas.

• a- Adición

El valor total de las demandas Hicksianas y
Marshallianas serán los gastos totales.

• b- Homogeneidad

Las demandas Hicksianas son homogéneas de grado
cero en precios; las demandas Marshallianas en el gasto total y
en los precios también lo son, esto es, para algún
escalar q > 0, se cumple:

hi (u, q p) = hi (u, p)= gi (qy, qp) = gi
(y, p)

• c- Simetría

Las derivadas transversales de los precios, en las
demandas Hicksianas son simétricas. Esta propiedad
además se deriva del teorema de Young.

• d- Negatividad

La matriz de n x n formada de los elementos es
semidefinida negativa.

2.5 Trayectorias de expansión

Usualmente la función de demanda cambia ante un
cambio en precios o ingreso; este cambio puede observarse en
términos de la estática comparativa: Suponga que
los precios están fijos pero el ingreso del consumidor
lentamente se incrementa, entonces a partir de la
colección de puntos resultantes se podría trazar
una trayectoria en el ortante no negativo que se denomina
trayectoria de expansión del ingreso. Esta trayectoria
puede ser proyectada en un plano definido por dos bienes,
mostrando dicha trayectoria la expansión del ingreso
relativo a estos dos bienes.

Cuando la demanda de un bien se grafica como una
función del ingreso, el resultado se conoce como la curva
de Engel para dicho bien. Deberá además observarse
que en el caso de que las preferencias sean homotéticas,
se cumple que u(tx)= tu(x) "t > 0, entonces, la trayectoria de
expansión y la curva de Engel será una línea
de trazo continuo.

2.6 La tasa marginal de
sustitución

La tasa marginal de sustitución es la pendiente
de la curva de indiferencia, y su

sentido económico no es otro que la cantidad que
se está dispuesto a renunciar del consumo del bien 1 por
consumir unidades adicionales del bien 2, por esta razón
la tasa marginal de sustitución definida de esta forma
decrece cuando x1 crece. La pendiente de la línea de
restricción presupuestaria se asume que la solución
anterior ocurre en un punto x con x > 0, esto es posible
incluso para uno o más componentes de x que sean
cero.

2.7 Elasticidad

Cuando se discute la sensibilidad de la demanda del
consumidor ante cambios en variables como el precio o el ingreso,
se puede medir directamente dicha sensibilidad, a través
de la elasticidad, en el caso de la sensibilidad en el ingreso.
Una de las desventajas de esta medida, es la dependencia sobre
las unidades usadas. Es común usar la elasticidad ingreso
de la demanda, como un resultado adicional, se deberá
observar que la elasticidad ingreso promedio deberá ser
unitaria.

2.8 Algunas formas funcionales

2.8.1 El sistema Lineal de Gasto

El sistema lineal de gasto (LES) es una
generalización de la función de utilidad
Cobb-Douglas. Fue desarrollado por Klein y Rubin (1947-48) y
Samuelson (194748). Investigado empíricamente por Stone
(1954) y Geary (1950), por lo cual se le da el nombre
Stone-Geary. El sistema lineal de gasto es básicamente una
Cobb-Douglas trasladada en el origen al punto (B1 ,B2), en el
cuadrante positivo.

2.8.2 La función de Utilidad
CES

La función de utilidad CES surge como una
analogía directa a la teoría de la
producción (Arrow et-al 1961) y tiene la forma:

u(x1,x2 ) =(a1 x1n+a2 x2n)¹/n, con
n= 1

2.8.3 La función de Utilidad Indirecta
Addilog

Como se ha podido observar, es posible derivar las
funciones de demanda de los bienes a través de maximizar
la utilidad, sujeta a la restricción de gasto. Sin
embargo, la solución no siempre es estimable. La
teoría de la dualidad sugiere que una alternativa es
especificar una función indirecta de utilidad, una
función que es no decreciente en el ingreso, no
decreciente y cuasi convexa en precios, continua y
homogénea de grado cero en precios e ingreso. De esta
forma, a partir de la función de utilidad indirecta que
corresponda a algún tipo de preferencias del consumidor
puede recuperarse la demanda con la identidad de Roy. Una forma
funcional es la función "addilog" de utilidad indirecta
introducida por Houthakker (1965):

V(p1,p2,Y) = a1(Y/P1)^ß1 +
a2(Y/P2)^ß2.

2.8.4 Las especificaciones
Translogarítmicas

La función de utilidad translogarítmica
proviene de Christensen, Jorgenson y Lau

(1971,1975). Esta ha sido la forma funcional más
usada en análisis empíricos de demanda. Una de las
ventajas de la translogarítmica es su forma funcional
flexible, ya que puede ser aproximada de una función de
segundo orden por Taylor a una función de utilidad
indirecta arbitraria.

2.8.5 El sistema Casi – Ideal de Gasto
AIDS

El sistema de ecuaciones de demanda puede ser derivado a
partir de la función de gasto. Suponiendo que éste
es continuo y no-decreciente precios y utilidad, y además
cóncavo y homogéneo de grado cero,
entonces:

El sistema AIDS (Almost Ideal Demand Sistem) cumple las
restricciones de adición, homogeneidad y simetría.
Para satisfacer las condiciones de negatividad se requiere que la
matriz de Slutzky sea semidefinida negativa:

cij= gij +bi bj Log (Y/ p) – xipi dij +
xjpj xipi

Donde d es el producto de kronecker que será
igual a 1 sí i=j y 0 de lo contrario.

Los resultados más importantes del AIDS consisten
en que es lineal y puede ser estimado por mínimos
cuadrados ordinarios. Las restricciones sobre a y g aseguran que
p sea lineal, aunque en muchas estimaciones p pueda resultar
colineal, si se usa algún índice de precios se
elimina dicho problema. Los b´s del AIDS determinan
cuándo los bienes son de lujo o necesarios: si bi > 0
el gasto (xipi ) se incrementa con x, por lo cual, el bien i
será de lujo, de forma similar bi < 0 el bien i
será necesario. Los gij miden el cambio en la i-
ésima parte del gasto siguiendo un cambio proporcional en
pj con (Y/ P) permaneciendo constante.

CAPITULO III

La
demanda

La demanda indica la cantidad que un consumidor desea
comprar de una serie de bienes, ya sea expresada como una
función de los precios y el ingreso o como una
función de la utilidad y de los precios.

3.1 Unicidad y continuidad

La demanda que corresponde a un vector de precios e
ingreso podría no ser única, como se observa en la
gráfica (3.1); allí existen dos soluciones xA y xB
correspondientes a la restricción de
presupuesto

Si un orden de preferencias es continuo, satisface la
insaciabilidad local, y es estrictamente convexo,
entonces para todo p >> 0, y > 0 la demanda x( p, y)
es única, define un valor singular, y es una
función continua

3.2 El excedente del consumidor y disponibilidad a
pagar

Consideremos a un consumidor con preferencias
racionales, continuas y localmente no saciadas. Asumiremos
también que las funciones de gasto y utilidad indirectas
son diferenciables, y concentraremos nuestro interés en
los cambios de precios.

Suponga que la riqueza del consumidor permanece
constante a un nivel y > 0 y el vector inicial de
precios es p0. Nosotros deseamos evaluar el impacto sobre
la riqueza del consumidor, de un cambio de p0 a un
nuevo vector de precios p1. Dicho cambio no debe parecernos
extraño. Por ejemplo, si el gobierno decide aumentar los
impuestos esto se traducirá directamente en los
precios.

La función de utilidad derivada es suficiente
para realizar alguna comparación.

Sin embargo existe una función de utilidad
indirecta que lleva a una medida del cambio de la riqueza en
unidades monetarias (pesos) que se puede denominar utilidad
indirecta métrica monetaria y que se construye a
través de la función de gasto. En particular, se
parte de la función de utilidad indirecta v(.,. ),
eligiendo un vector de precios arbitrarios estrictamente
positivo, y a partir de la función e(,v(p, y)), se puede
obtener la riqueza necesaria para alcanzar el nivel de utilidad
v(p, y) cuando los precios son p. Observe también que la
función de gasto es estrictamente creciente, ya que
depende del nivel de v(p, y). Así, una medida del cambio
de la riqueza expresada en pesos vendrá determinada
por:

De esta forma, la utilidad indirecta métrica
monetaria puede ser construida para algún vector de
precios. Estas elecciones llevan a dos medidas en torno al cambio
de la riqueza: la primera conocida como la variación
equivalente ( VE ) y la segunda como la variación
compensatoria (VC).

La variación equivalente será la cantidad
de pesos ante la cual el consumidor es indiferente,
en lugar de aceptar un cambio en precios. Esto es, el cambio en
su riqueza que es equivalente al cambio en precios
en términos del impacto de riqueza (éste es
negativo si el cambio en precios hace que el consumidor se
encuentre peor).

Deberá observarse que e(p0,u1) es el nivel de
riqueza al cual el consumidor alcanza exactamente el
nivel de utilidad u1, es decir, el nivel generado por el cambio
en precios desde p0. Además e(p0,u1) – y es
el cambio neto en la riqueza de tal forma que el consumidor
alcanza la utilidad u1 a precios p0.

La variación compensatoria medirá el
ingreso neto que debe compensar al consumidor por el cambio en
precios una vez éste ha ocurrido, de tal forma que el
consumidor recobre su nivel original de utilidad u0. Como
menciona Mascollel et-al, "ésta puede ser pensada como la
cantidad negativa que el consumidor justamente estaría
dispuesto a aceptar del planeador que ha asignado el nuevo cambio
de precios

Las variaciones equivalentes y compensatorias
podrían diferir si el vector de precios (que asume la
compensación) difiere. Esto significa, como observa
Azqueta (1994) que en el caso de una caída en los precios
VC < VE y ante una elevación en el precio del bien VC
> VE.

El cambio en la riqueza producido por una
variación en el precio del bien 1 puede ser medido a
través de la curva de demanda marshallian.

3.3 La disponibilidad a pagar

Suponga que un consumidor tiene la oportunidad de
comprar una cantidad x de un bien. Se desea
determinar cuánto de esta oportunidad corresponde
al "esfuerzo", medido en unidades de gasto sobre
otros ítems. Para determinar este

valor, usar la gráfica (3.3), pero ahora la curva
muestra la curva inversa de la demanda del consumidor compensada.
Esta curva resulta de fijar la utilidad u0 al valor original
(x=0) y calcular su forma inversa. Imagine entonces una curva que
se devuelve una unidad, comprando cada unidad al precio indicado.
El consumidor estará dispuesto a pagar más por cada
unidad y la utilidad permanecerá constante durante este
proceso. De esta forma, la cantidad total que se estaría
dispuesto a pagar será:

La compensación exigida

La compensación exigida CE, refleja lo que se
demandaría con el fin de aceptar un cambio que empeore su
situación, o renunciar a un cambio que mejore su
situación.

Cuando el precio cae la CE es equivalente a la VE y
cuando el precio aumenta la CE es equivalente a la VC. Por otro
lado la CE no está limitada por la renta, por lo cual su
principal efecto será en términos de
sustitución

3.4 Comparación entre la disponibilidad a
pagar y la compensación exigida

Aunque ambas medidas teóricamente representan los
mismos resultados, los estudios de Hahneman (1991), Kahnemann,
Knetsh y Thaler (1990) han mostrado que estas medidas difieren.
Por un lado, Hahneman señala que existen diferencias
cuando el cambio en la renta es debido a un cambio en las
cantidades, sobre todo en la provisión de bienes
públicos. Por otro lado, existen asimetrías entre
lo que un individuo está dispuesto a aceptar y entre lo
que un individuo estaría dispuesto a renunciar (Kahnemann,
Knetsh y Thaler, 1990). En últimas, si existe un punto
de referencia entre ambas medidas, las propiedades
de la función de utilidad subyacente hacia dichas medidas
diferirán en convexidad y dirección, esto
significaría dependencia con respecto al punto de
referencia (pérdidas y ganancias), aversión al
riesgo (la pendiente de la función del ortante positivo
tiene un valor mayor con relación al ortante
negativo, lo que significa que las pérdidas tienen un
valor superior que las ganancias) y, por
último, el valor marginal de las pérdidas y las
ganancias disminuye con su tamaño.

3.5 Agregación

Un punto de singular importancia consiste en la
agregación sobre los individuos, ya que el comportamiento
agregado de los consumidores, en muchas situaciones, es
más importante que el comportamiento de un consumidor en
particular. Y desde un punto de vista econométrico,
deberán existir restricciones en la agregación
cuando se estimen las funciones de demanda.

En torno a la demanda agregada se deberá discutir
en primer lugar si ésta puede ser expresada como una
función de los precios y de la riqueza agregada. En
segundo lugar, si las restricciones individuales sobre las
preferencias se sostienen en el agregado; y en tercer lugar,
cómo se medirían dichos cambios
agregados.

Una agregación perfecta en un período,
depende de que todos los precios sean los mismos para todos los
individuos. Así, las variaciones provienen por parte de la
riqueza que cada individuo posee. Por otro lado, en modelos de
elecciones intertemporales no sólo existen
diferencias en el ingreso, también existen diferencias en
la edad y en las expectativas acerca de los precios

CAPITULO IV