Dinámica, movimiento rectilineo uniforme y variado, desplazamiento angular
– – – – Alexander Sarmiento DEFINICIÓN DE FÍSICA
DEFINICIÓN DE FÍSICA Ciencia, fundamental en la
comprensión de los fenómenos naturales de universo
Griego ? “Physics” Observaciones experimentales
Mediciones y cuantitativos Objetivo es desarrollar teorías
físicas y leyes fundamentales En función o
está el científico explica las propiedades de la
Interacción ente materia y energía desde sus
componentes básicos materia Desde esto se estudio
Propiedades generales de cuerpos Transferencia de energía
Fuerzas modificadores Interacción entre partículas
5
Física Alexander Sarmiento TIPOS DE FENÓMENOS TIPOS
DE FENÓMENOS Físico Interacción ente materia
y energía desde sus componentes básicos
Químico Cambian las substancias de los cuerpos y
permanecen desde de la causa que los produce y son irreversibles
Fisiológico Se da solo en ejes orgánicos y se da
mediante a la acción de fenómenos físicos y
químicos Mecánica.- Reposo y movimiento de los
cuerpos Ondas.- Perturbaciones periódicas de
energía Termodinámica.- Calor y sus
transformaciones FÍSICA CLÁSICA FÍSICA
MODERNA APLICACIONES DE LA FÍSICA Electromagnetismo.-
Relación entre fenómenos eléctricos y
magnéticos. Óptica.- Comportamiento de la luz
Física cuántica.- Teorías y fenómenos
del átomo Física atómica.- Estudia el
comportamiento de átomo Física nuclear.-
Núcleos atómicos, especialmente radioactivos
Relatividad.- Comportamiento de los cuerpos a velocidad de luz.
Astrofísica.- Naturaleza y estructura de los cuerpos
celestes. Geofísica.- Fenómenos relacionados con la
estructura y condiciones de la Tierra. Biofísica.-
Fundamentos de la vida en base a leyes físicas.
Física y Química.- Interacciones entre
átomos y moléculas desde el punto, física y
química. 6
Alexander Sarmiento MAGNITUD Por su origen Por su naturaleza
Fundamentos Derivadas Escalares vectoriales No se expresan Se
expresan Posee Posee: en términos de estas magnitudes. Se
usan para expresar otras. mediante la combinación de
magnitudes fundamentales y otras derivadas módulo No posee
dirección No posee sentido Módulo Dirección
(ángulo) Sentido (flecha) SISTEMA INTERNACIONAL (SI) En
1960 científicos de todo el mundo decidieron y llegaron a
la necesidad de plantear a todo el mundo un solo sistema de
unidades. Magnitud Longitud Unidad Metro – – Masa Tiempo
Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminoso Intensidad
de – – Kilogramo Segundo Kelvin Mol Candela Amperio corriente
7
Alexander Sarmiento SISTEMA DE MEDIDAS CGS Gravitacional o
técnico Inglés Cegesimal se basa en: Sus unidades
Es utilizado en Centímetro Gramo Segundo fundamentales
son: Longitud el metro Fuerza el kilopondio Tiempo es segundo
anglosajones: Longitud el pie (ft) Fuerza es libra – peso
Tiempo es segundo SI CGS TÉCNICO INGLÉS LONGITUD
MASA TIEMPO Metro (m) Kilogramo (Kg) Segundo (s)
Centímetro (cm) Gramo (g) Segundo (s) Metro (m) Unidad
técnica de masa (utm) Segundo (s) Pie (ft) Slug Segundo
(s) 8
s Alexander Sarmiento FÍSICA SISTEMA INTERNACIONAL (S.I)
Magnitud Longitud Masa Tiempo Temperatura Unidad Metro Kilogramo
Segundo Kelvin m Kg ºK Símbolo L M T ?
Dimensión ANÁLISIS DIMENSIONAL Nos permite saber
cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las
fundamentales, además nos permite verificar si una
fórmula física es correcta o no mediante el
principio de homogeneidad dimensional. ECUACIONES DIMENSIONALES
Son expresiones matemáticas que nos permiten colocar las
magnitudes derivadas en función de las fundamentales a
través de procesos algebraicos excepto la suma y la resta.
PROPIEDADES 1. Principio de homogeneidad dimensional o principio
de FOURIER Nos indica que cada uno de los términos
(monomios) de una ecuación serán iguales
dimensionales. En la práctica debemos cambiar los signos
de suma o resta de una ecuación por el igual. 2.
Términos adimensionales 9
2 2 2 Alexander Sarmiento Los ángulos, los números,
las KSTES numéricas, los logaritmos, las funciones
trigonométricas son considerados términos sin
dimensión por lo que se asume que su dimensión es
igual a la unidad siempre que sean cocientes o coeficientes, caso
contrario se conserva su valor. 3. Suma o resta No se cumple la
suma o resta algebraica. ?L? ? ?L? ? ?L? ?M ? ? X ? ?M ? 4. Todas
las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y no
como cocientes ML T MLT 2 EJERCICIOS F ? G m1m 2 r 2 Determinar
las dimensiones de G F= Fuerza MLT 2 ? ML3T ? 2 M 2 ?G ?M .M L ?
?G ? G= Konstante m1, m2 = masa r= distancia. ?G ? ? M ?1 L3T ? 2
m1 m2 ? M r ? L 10 F ? Kg m s ? MLT 2
P ? D V ? ?1 ?2 1 x ?1 y F Kgm A m s P ? 2 s 2 m ? F Kg m A m s
Alexander Sarmiento Determinar el valor de x y y 1 x y 3 ML T ? M
.L?3 3 ? ?LT ? P ? Pr esión D ? Densidad V ? Velocidad
ML?1T ?2 M x L?3 x Ly T ? y ML?1T ?2 M x L?3 x Ly T ? y ? 2 2 ?
ML?1T ? 2 M ? M x X ? 1 T -2 ? T ? y Y ? 2 D ? V ? m V m s ? M
.L?3 ? L.T ?1 Determinar ?X ? at 2 ? 3e?m ? x?4 como no hay datos
M ? ?X ? Determinar Ax A B E ? AV 2 BP E ? AV 2 ? BP AV ? BP E=
Energía V= Velocidad P= Presión A?LT '? ? B?ML?1T ?
2 ? A ML?1T 2 B LT ?1 E ? Kg V ? LT ?1 m ? ML2T ?2 A B ? ML? 2T
?1 P ? ? 2 2 ? ML?1T ?2 11
Alexander Sarmiento CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cifras concretas.- Son
aquellas que resultan de la medición directa de las marcas
del instrumento de medida. Cifras estimadas.- También son
llamadas cifras dudosas, aproximadas o inciertas y se obtienen de
la aproximación razonable de una fracción de la
división, más pequeña de instrumento.
Tolerancia (?) 103 ? 0,7 (102,3) (103.7) Las cifras
significativas están conformadas por las cifras estimadas
y concretas. Reglas para determinar el número de cifras
significativas a. Todo dígito diferente de cero es una
cifra significativa 456, 728 6 CS b. Si el cero o los ceros
aparecen entre 2 dígitos distintos de cero se les
considera como cifra significativa 9 000 56, 768 560.0789 9 CS 7
CS c. Si el cero o los ceros aparecen para indicar la
posición decimal de un número mayor o igual a la
unidad se le considera como cifras significativas. 56 000 Km 1.00
Kg 5 CS 3 CS 12
cifras a Alexander Sarmiento d. Si el cero o lo ceros aparecen
para indicar posición decimal en un número menor
que la unidad no se la considera cifra significativa. 0.034 0.009
2 CS 1 CS e. Si el cero o los ceros aparecen a la derecha de la
posición decimal después de dígitos
distintos de cero en un número menor que la unidad se los
considera significativas. 0.340 0.009000 3 CS 4 CS f. Si el cero
o los ceros aparecen después de dígitos distintos
de cero en un número mayor que la unidad a veces se los
considera como cifras significativas. 340 50 000 2o3 1o5 REGLA DE
REDONDEO Para poder aplicar el redondeo en ciertas cantidades
solamente se lo puede hacer en la parte decimal. 1. Regla Si el
dígito o los dígitos decimales a eliminar son
mayores o iguales a 5.500,50, etc. la cifra que le antecede
aumenta en 1. Ejemplo Redondear Redondear 456,1 8,00 456.0557 ? a
7,999 ? 13 4 CS 2 CS
Alexander Sarmiento 2. Regla Si el dígito o los
dígitos a eliminar son menores a 5, 50, 300, etc. La cifra
que le antecede queda igual. Redondear 789,0477 ? 4 CS 788,0
Redondear 789,047 ? a 1 CS 789 ? 7,89 x 102 ? 8 x 102
TEORÍA DE LOS ERRORES 1. Cuando realizamos un experimento
y medimos varias veces una misma magnitud no obtenemos un mismo
resultado, esto se debe no solo a las condiciones físicas
de la medida sino a la temperatura, presión y humedad. 2.
También se deben los errores cometidos por el observador
3. Las medidas realizadas no son totalmente confiables muchas
veces se limitan a la exactitud y la precisión. La
magnitud a medida que se obtiene de un aparato o instrumento se
llaman DIRECTA y las que se obtienen de una formula se llaman
INDIRECTA. Ejemplo V ? IR A V ? 110V R ? 1? I ? ? I ? I ? V R
110V 1? I ? 110 A 14 I ? 110 ? 0,6 A I1 ? 109.1A I1 ? 110,6
ó ? ? ? Alexander Sarmiento Toda medida debe estar formada
por el valor estimado, el valor de la medida y la unidad de
medida usada. Medida= (Valor estimado ? error) ?
CONVERSIÓN DE UNIDADES Un factor de conversión es
una fracción cuyo numerador y denominador son la misma
cantidad expresada en diferentes unidades. Ejemplo 2,54 y 1 in ya
que no una pulgada es 2, 54 cm. Esta relación nos permite
escribir 2 factores de conversión. 2,54cm 1in 1 in 2,54 cm
Ejemplo Convertir 23,50 cm a in. 23,5cm 1in 2,54cm ? 9,251 in ?
9,3 in Convertir 3 toneladas 3 Tm 1000 Kg 1 Tm 6.85 ? 10 2 slug 1
Kg ? 205,5 slug Convertir 78 unidades técnicas de masa a
toneladas 78 utm 9,81 Kg 1Tm 1 utm 1000Kg ? 0.76tm // 15
b c c s Alexander Sarmiento VECTORES Se lo representa con un
segmento dirigido a la recta, la magnitud y la dirección
de vector están representadas por la longitud y la
dirección respectivamente del segmento dirigido de la
recta. Resolución de triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es una figura formada por 3
segmentos que unen 3 puntos no colÍneales y uno de sus
ángulos no interiores mide 90º y los otros 2
ángulos son complementarios. Funciones
trigonométricas Sen? ? Cos? ? a c c 2 ? b 2 ? a 2 Ejemplos
Hallar b y c tg? ? b a Cos 30º ? Sen 30 ? b 5,77 c ? 5 3 2 b
? 1 2 5.77 c ? 10 3 3 b ? 2,88m // c ? 5,77m 16
Alexander Sarmiento SISTEMA DE COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA
Está formado por 2 ejes perpendiculares entre si, es decir
forman 4 ángulos rectos, su punto de intersección
se denomina origen de coordenadas y es designado por la letra O,
el eje horizontal se llama eje de las abscisas y el eje vertical
se llama eje de las coordenadas. La posición de un punto
en el plano xy es la intersección de la abscisa x y la
ordenada y. A este punto se la denomina coordenadas
rectangulares. COORDENADAS RECTANGULARES Grafique los siguientes
puntos A= (3, 4) B= (-2, 5) C=(-4, -3) D= (6, -5) 17
Alexander Sarmiento COORDENADAS POLARES Están formados por
un eje de referencia x llamado eje polar que en un punto
cualquiera de este se encuentra el eje de coordenadas (0) llamado
origen o polo. r es el radio vector y representa al modulo de la
coordenada, es decir la distancia positiva desde el origen hasta
el punto final de la coordenada. T es el ángulo polar y
corresponde a la medida del ángulo formado entre el eje
polar y el radio vector en sentido anti horario. Ejemplos
Grafique las siguientes coordenadas A ? ?3m,40º ? B ?
?2,150º ? 2 vectores son iguales si tienen igual magnitud y
dirección esto implica que un vector puede ser trasladado
siempre que se conserve su magnitud y dirección. 18
Alexander Sarmiento Transporte de vectores libres al plano
Coordenadas geográficas Están formadas por 2 ejes
perpendiculares entre si, el punto de intersección divide
al plano en 4 puntos en el plano, queda determinado por un par
ordenado (r, rumbo) r es la distancia o módulo y el rumbo
representa la dirección. Para representar rumbo, primero
se menciona la palabra Norte o Sur y luego el ángulo agudo
y finalmente la posición Este u Oeste. Ejemplo Representar
las siguientes coordenadas geográficas a. A= (150 ?; N
20º O) b. B= (100 ?; 560º E) c. C= (150?; O) d.
D=(150?; 50) 19
? ? ? ? Alexander Sarmiento Componentes vectoriales de un vector
Existe un número infinito de descomponer un vector en 2 o
tres etc. vectores cualquiera sin embargo solo existe una forma
de descomponer un vector A en 2 vectores de modo que el uno sea
paralelo al eje x y el otro paralelo al eje, a estos 2 vectores
se los llama componentes vectoriales rectangulares de vector A o
simplemente componentes vectoriales que se denotaran Ax y Ay y se
obtendrán al proyectar el vector sobre los ejes Ax, Ay.
Cos? ? Ax A Sen? ? Ay A tg? ? Ay Ax Ax ? ACos? Ay ? ASen? A 2 ?
Ax 2 ? Ay 2 Nota: La magnitud de un vector es siempre positiva
pero sus componentes Ax y Ay pueden ser positivos o negativos o
cero. EXPRESIÓN DE UN VECTOR A TÉRMINOS DE LOS
VECTORES UNITARIOS Las direcciones positivas de los ejes x, y
están definidos por los vectores unitarios ?i , j ? . Los
vectores ?i , j ? siempre son menores que 1 ? ? A ? Axi ? Ayj
20
Ax Ay 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ó Alexander Sarmiento COSENOS
DIRECTORES Los cosenos o ángulos directores son aquellos
que forma el vector con los ejes positivos x,y de sistema de
coordenadas rectangulares y varían entre 0 y 180º;
los ángulos directores en el plano son a, es el vector que
se forma con el eje positivo (x) y ß es el que se forma con
el eje positivo (y). ? ?x ? ? ? y ? Cos? ? A (1) Ax ? A.Cos? Cos?
? A (2) Ay ? A.Cos? (3) A ? Ax ? Ay 1, 2 en (3) A2 ? ?A.Cos? ? ?
?A.Cos? ? A2 ? A2 .Cos 2? ? A2 Cos 2 ? 1 ? Cos 2? ? Cos 2 ? El
Unitario El vector unitario es igual al vector en sus vectores
base dividido a su modelo ? A ? ?Axi ? Ayj ? A ? A ? ? ? Axi Ayj
A A ? ? ? ? A ? Cos?i ? Cos?j VECTORES EN EL ESPACIO En el
espacio son válidos todos los conceptos vistos para
vectores en el plano, cambia la forma de indicar la
dirección se aumenta una componente y se añade el
vector unitario que da la dirección del vector A en el eje
positivo Z. 21
AQ A2 ? ? Alexander Sarmiento Cos? ? Ay A xy ? xz OA ? AQ Sen? ?
Ax OQ Ay ? A.Cos? Sen? ? A OQ ? A.Sen? Cos? ? OQ A2 ? OQ Cos.Q A2
? A.Sen?.Cos? ? ? ? ? Aj ? Axi ? Ayj ? A2k 22 Ax ? Sen? .OQ Ax ?
A.Sen?.Sen?
2 2 2 ? ? ? ? ? i ? j ? ? a b c Alexander Sarmiento
También se puede indicar la dirección de un vector
en el espacio con los ángulos a,ß,d en forma que el
vector tendrá en los ejes x positivo, y positivo y z
negativo, estos ángulos se los denomina ángulos
directores. Cos? ? Ax A Cos? ? Ay A Cos? ? Az A Ax ? A.Cos? Ay ?
A.Cos? Az ? A.Cos? A ? Ax 2 ? Ay 2 ? Az 2 A 2 ? Ax 2 ? Ay 2 ? Az
2 A 2 ? ?A.Cos? ? ? ?A.Cos? ? ? ?A.Cos? ? ? A ? ? A ? ? A ? ? A A
? ? ? ? x i Ay j AZ k A A A A.Cos? ? A.Cos? ? A.Cos? ? k A A A ?
? ? u A ? Cos?i ? Cos?j ? Cos?k TEOREMA DE SENOS ? ? SenA SenB
SenC El teorema de senos dice que los lados de un triangulo no
rectángulo son proporcionales con los senos de sus
ángulos opuestos. 23
? ? ? ? 2 2 4 2 Alexander Sarmiento TEOREMA DE COSENOS a 2 ? b 2
? c 2 ? 2bc.CosA b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac.CosB c 2 ? a ? b 2 ?
2ab.CosC EJERCICIOS Encontrar los lados a y c mediante el teorema
de senos y cosenos SenC SenB C b Sen 45 Sen 71 c 71 a SenA b SenB
a Sen 64 71 Sen 71 c ? 0.707?71? 0.945 a ? 71?Sen 64? Sen 71 c ?
53.1 a ? 67,5 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab.Cos.c c 2 ? ?67.5? ? ?71? ?
2?67.5??71?Cos 45 c ? 53.1 Si el Cos ? ? y el vector forma un
ángulo de 45º con el eje y. determinar: a. Los
cosenos directores b. Si el módulo de vector es de 5u.
encontrar el vector en función de los unitarios
normalizados. 24
4 2 ? ? ? ? 2 ? Cos ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? A i ? ? ? j ? k ? ? 2 ? 1
? 2 ? ? 2 ? ? 4 j ? k ? ? 2 ? ? ? A ? ? ? ? ? Alexander Sarmiento
Datos Cos ? ? ? ? ? 69.29º ? ? 45º a) ? , ? , ? ? ? ? ?
? ? b) A ? Axi ? Ayj ? Azk a. 1 ? cos ? ? Cos 2 ? ? Cos 2? b. ? ?
? ? A ? Cos?i ? Cos?j ? Cos?k Cos 2? ? 1 ? Cos 2? ? Cos 2 ? 2 ? 2
? ? 4 ? ? Cos ?45? Cos ? ? 1 ? ? ? ? 16 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 4 ? A ?
A? A A ? 5? i ? ? 2 ? 2 2 ? 2 16 ? ? 4 ? 16 ? ? 4 ? Cos 2? ? 1 ?
2 1 16 2 ? ? 5 2 ? 5 2 ? 5 16 ? ? ? 4 i ? 2 j ? 4 k ? Cos 2? ?
Cos 2? ? Cos 2? ? 16 ? 2 ? 8 16 6 16 6 4 25
? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 2 ? b. c. ? ? ? 1 2 ? 1 ? Alexander
Sarmiento ? Dado el siguiente vector en el espacio A ? ? ? ? 3ai
? 2aj ? 3ak . Determinar a. Los cosenos directores b. El vector
unitario paralelo al vector proyección en el plano xz c.
El ángulo que forma el vector con su proyección en
el eje y Datos ? ? ? ? A ? 3ai ? 2aj ? 3ak a. Cos? ? ? Cos? ? ?
Cos? ? ? ? AXZ ? ? ? ? y a. A ? Ax ? Ay ? Az A 2 ? ? 3a ? ? ?2a ?
? ?? 3a ? A ? 3a 2 ? 4a 2 ? 9a 2 A ? 16a 2 A ? 4a Cos? ? Cos? ?
Cos? ? Ax 3 A 4 Ay 1 A 2 Az ? 3 A 4 ? b. Axz ? ? Axz ? ? Axz ? ?
3ai? ? 3ak?? ? Axz Axz ? ? 3ai 3ak 2a 3 2a 3 Axz ? Ax 2 ? Az 2
Axz ? 3a 2 ? 9a 2 Axz ? 12a 2 c. Cos? ? ? ? 60 ? Axz ? i ? 2 3 ?
k 2 Axz ? 2a 3 26
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Alexander Sarmiento SUMA Y
RESTA VECTORIAL Suma de vectores Método paralelogramo.- La
resultante de 2 vectores cuyas direcciones forman un
ángulo que se presentan con un vector cuya
dirección es la diagonal de paralelogramo formado por los
vectores dados cuyo origen coincide con el punto de ambos.
Método analítico.- Cuando los vectores se
encuentran expresados en función de sus vectores base. ? ?
? ? A ? Axi ? Ayj ? Azk ? ? ? ? B ? Bxi ? Byj ? Bzk A ? B ? ?Ax ?
Bx ?i ? ?Ax ? Bx ? j ? ?Ax ? Bx ?k Resta de vectores ? ? ? Para
restar el vector B del vector A basta con sumar
geométricamente el vector A con el ? opuesto al B (todos
sus signos cambiados) es decir: ? ? ? ? A ? B ? A ? ? B A ? B ?
?Ax ? Bx ?i ? ?Ay ? By ? j ?? ? ?Az ? Bz ?k EJERCICIOS Hallar el
vector resultante de 2 vectores Fuerza de 2kp y 3kp aplicados en
un punto O y formando un ángulo de: a. 90º b.
60º C ? A 2 ? B 2 C ? ?4?2 ? ?3?2 C ? 5kp Cos? ? Cos? ? A C
4 5 ? ? 36.9º 27
? b x Sen? ? 2 2 ? Alexander Sarmiento C ? ?5kp;36.9º ?
Datos ? A ? 4kp ? B ? 3kp ? C ? ? ? SenB SenC 3?Sen120º ?
6,08 ? ? 25.19º c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab.CosC c 2 ? ?4? ? ?3? ?
2?4??3?Cos120 c 2 ? 16k `p 2 ? 9kp2 ? 24kp2 Cos 120 c 2 ? 37kp c
? 6.08kp c ? ?6.08Kp;25.29º ? 28
? x ? 2 2 ? ? Alexander Sarmiento Hallar el ángulo que
deben formar 2 vectores de igual módulo para que su
resultantes sea la mitad del valor de uno de ellos. Datos ? ? ? A
? B ? X c 2 ? A 2 ? B 2 ? 2 AB.Cos? 2 ? ? ? ?x ? ? ?x ? ? 2?x ??x
?Cos? ? 2 ? C ? A B X 2 2 2 x 2 4 ? 2 x 2 ? ?2 x 2 Cos? ? 7 x 2 4
? ?2 x 2 .Cos? 7 x 2 4.2 x 2 ? Cos? Cos? ? 7 8 ? ? 29º Dos
vectores forman entre si un ángulo de 53º uno de
ellos es de 75u y su resultante es de 300u. Hallar la magnitud
del otro vector y la dirección resultante. Datos ? ?
53º A ? 75u B ? ? C ? 300u 29
c a ? 2 2 Alexander Sarmiento ? Sen C Sen A 300 75 Sen 127 Sen?
Sen? ?300? ? 75.Sen127 Sen? ? 75.Sen127 300 Sen? ? 0,199 ? ?
11,52º ? ? 180 ? 11.52º ?127 ? ? 41.48º B 2 ? C 2
? A2 ? 2 AC.Cos? B 2 ? ?300u ? ? ?75u ? ? 2?300??75?Cos?41.48? B
2 ? 90000u 2 ? 5625u 2 ? 45000?0.749? B 2 ? 61920 B ? 248.83u
30
? ? ? ? 2 2 ? ? ?20i ??34,64 j ?Km ? ? ? ? ? Alexander Sarmiento
Un excursionista inicia un viaje caminando primero 25 km SE desde
su base. Al segundo día camina 40 km. En una
dirección N30° E en cuyo punto descubre la torre de
guardabosque. Determinar: a. Establezca las componentes del
establecimiento del excursionista en el primero y segundo
día. b. Establezca las componentes de desplazamiento total
de excursionista para el viaje. c. Determine la magnitud y
dirección del desplazamiento desde la base Datos A ?
?25Km; SE ? B ? ?40Km : M 30º E ? a. A ? ?Ax, Ay ? B ? ?Bx,
By ? ? b. C ? ? a.) Ax ? A.Cos? Ax ? 25Km?Cos 45? Ax ? 17,68 Ay ?
A Sen? Ay ? ?17,68Km c. ?c,? ? b.) Bx ? B.Cos? Bx ?
40km.Cos60º Bx ? 20º By ? B.Sen ? By ? 40Km.Sen60º
By ? 34.64 c.) C ? Cx ? Cy C ? 37,68 2 ? 16,69 2 C ? 41,32Km ? A
? ? ? B ? ? ? A ? B ? 17.68i ? 17,68 j ?Km ?37,68i ? 16,69 j ?Km
Cos ? º ? Cos ? º ? Cx X 37.68 41.2 ? ? 24.22º C ?
?41,32Km;24,22º ? 31
? ? ? ? ?? 164.?54i ? 95 j ?Km ? ? ? Alexander Sarmiento Un
avión vuela desde su campamento base hasta el lago A a una
distancia de 280 Km en dirección N 70º E
después de dejar caer provisiones vuela hacia el lago B
ubicado a 190 Km N 60º O de lago A. Determine
gráficamente la distancia y a la dirección del lago
B al campamento base. Datos A ? ?280Km; N 70º E ? B ?
?190Km; N 60º O ? Ax ? A.Cos?1 Ax ? 280.Km.Cos 20? Ax ?
263,11Km Bx ? A.Cos? 2 Bx ? 190.Km.Cos150 ? Bx ? 164.54Km Ay ?
ASen?1 Ay ? 280.Km.Sen 20 ? Ay ? 95.77 Km By ? ASen?1 By ?
190.Km.S en150 ? By ? 95.Km ? A ? ? B ? ? ? A ? B ? ?263,11i ?
95.77 j ?Km ?98,57i ? 190,77 j ?Km 32 C ? Cx 2 ? Cy 2 C ?
?98,57?2 ? ?190,77?2 C ? 214.73Km Cy tg?1 ? Cx 190,77 Km tg? 2 ?
98,57 Km ? 3 ? 62.67 ? //
? ? ? ? ? ?200i ??0 j ?ft ? ?116,91i? ? 67,5 j ??ft j ?103,42i? ?
86,78 ? ?ft ? ? ? ? Alexander Sarmiento Una montaña rusa
se mueve 200 ft horizontalmente en el eje positivo de los x y
después viaja 135,77 en un ángulo de 30º sobre
la horizontal. Luego recorre 135 ft. En un ángulo de
40º debajo de la horizontal. ¿Cuál es su
desplazamiento desde su punto de partida?. Utilice
técnicas gráficas. Datos A ? ?200 ft ;0º ? B ?
?135 ft ;30º ? C ? ?135 ft ;320º ? B ? Bx; By A ? Ax;
Ay A ? ?200 ft ;0 ft ? Bx ? B.Cos30º Bx ? 135 ft ? Cos
30º Bx ? 116,91 ft C ? Cx; Cy Cx ? C.Cos320º Cx ? 135
ft ? Cos 320º Cx ? 103,42 ft By ? B.Sen30º By ? 135 ft
? Sen 30º By ? 67,5 ft Cy ? C.Sen320º Cy ? 135 ft ? Sen
320º Cy ? ?86.78 ft ? A ? B ? C ? D ?400,33i ? 19,28 j ?ft D
? Dx 2 ? Dy 2 D ? ?420.33?2 ? ?? 19.28?2 D´? 420.77 tg? ?
tg?1 ? Dy Dx ? 19.28 420.33 ?1 ? ?2.63? ?1 ? 357.37 ? 33
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0i ??75 j ?? ?250i ??0
j ? ? j ?108,25i? ? 62,5 ? ? ? ? ? ? ? ? C B D A ? ? ? ? ? ? ? ?
Alexander Sarmiento Al explorar una cueva una arqueóloga
aficionada comienza en la entrada y recorre las siguientes
distancias. Se desplaza 75 mts al Norte, 250 mts al Este, 125 mts
en un ángulo de N60ºE y 150 mts al Sur. Encuentre el
desplazamiento resultante. Datos A ? ?75m;90º ? B ?
?250m;0º ? C ? ?125m;30º ? ? D ? ? ? ? ? A ? Axi ; Ayj
A ? ?0i ;75 j ?m C ? ?Cxi ; Cyj ? Cx ? C.Sen60º Cx ?
125m.Sen60º B ? ?Bxi ; Byj ? B ? ?250i ;0 j ? Cy ?
C.Cos60º Cy ? 125m.Cos60º Cy ? 62.5m Cx ? 108,25m C ?
?108,25i ;62,5 j ?m ?358,25i ? 12.5 j ?m D ? ?Dxi ; Dyj ? D ?0i
;?150 j ?m Ey tg? ? Ex ? 12.5 tg?1 ? 358.25 ?1 ? ?1.99 ? ?1 ?
358? 34 E ? ?358,25?2 ? ?? 12.5?2 E ? 358.46m