? ? ? ? ? ? ? ? 1/2 ? ? ? ? ? ? ? ? Ecuación
General de Movimiento Alejandro A. Torassa Licencia Creative
Commons Atribución 3.0 (2013) Buenos Aires, Argentina
atorassa@gmail.com Resumen En mecánica clásica,
este trabajo presenta una ecuación general de movimiento,
que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia
(rotante o no rotante) (inercial o no inercial) sin necesidad de
introducir fuerzas ?cticias. Introducción La
ecuación general de movimiento es una ecuación de
transformación entre un sistema de refe- rencia S y un
sistema de referencia no cinético S. Según este
trabajo, un observador S utiliza un sistema de referencia S y un
sistema de referencia no cinético S. La posición no
cinética ra , la velocidad no cinética va y la
aceleración no cinética aa de una partícula
A de masa ma respecto a un sistema de referencia no
cinético S, están dadas por: ra = (Fa /ma ) dt dt
va = (Fa /ma ) dt aa = (Fa /ma ) donde Fa es la fuerza resultante
que actúa sobre la partícula A. La velocidad
angular no cinética ?S y la aceleración angular no
cinética aS de un sistema de referencia S ?jo a una
partícula S respecto a un sistema de referencia no
cinético S, están dadas por: ?S = (F1 /ms – F0 /ms
)/(r1 – r0 ) aS = d(?S )/dt donde F1 es la fuerza resultante que
actúa sobre el sistema de referencia S en un punto 1, F0
es la fuerza resultante que actúa sobre el sistema de
referencia S en un punto 0, r1 es la posición del punto 1
respecto al sistema de referencia S (el punto 1 no pertenece al
eje de rotación) r0 es la posición del punto 0
respecto al sistema de referencia S (el punto 0 es el centro de
masa de la partícula S y el origen del sistema de
referencia S) y ms es la masa de la partícula S (?S es
colineal con el eje de rotación) 1
?r ? ? ? ?v ? ? ? ? ?a ? ? ? ? ?a ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ?a ? ? ? ?
Ecuación General de Movimiento La ecuación general
de movimiento para dos partículas A y B respecto a un
observador S es: ma mb (ra – rb ) – ma mb (? a – rb ) = 0 donde
ma y mb son las masas de las partículas A y B, ra y rb son
las posiciones de las partículas A y B, ra y rb son las
posiciones no cinéticas de las partículas A y B.
Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo, se
obtiene: ma mb (va – vb ) + ?S × (ra – rb ) – ma mb (? a –
vb ) = 0 Derivando nuevamente con respecto al tiempo, se obtiene:
ma mb (aa – ab ) + 2 ?S × (va – vb ) + ?S × (?S
× (ra – rb )) + aS × (ra – rb ) – ma mb (? a – ab ) =
0 Sistema de Referencia Aplicando la ecuación anterior a
dos partículas A y S, se tiene: ma ms (aa – as ) + 2 ?S
× (va – vs ) + ?S × (?S × (ra – rs )) + aS
× (ra – rs ) – ma ms (? a – as ) = 0 Si dividimos por ms y
el sistema de referencia S ?jo a la partícula S (rs = 0,
vs = 0 y as = 0) es rotante respecto al sistema de referencia no
cinético S (?S = 0), entonces se obtiene: ma aa + 2 ?S
× va + ?S × (?S × ra ) + aS × ra – ma (?
a – as ) = 0 Si el sistema de referencia S es no rotante respecto
al sistema de referencia no cinético S (?S = 0), entonces
se obtiene: ma aa – ma (? a – as ) = 0 Si el sistema de
referencia S es inercial respecto al sistema de referencia no
cinético S (?S = 0 y as = 0), entonces se obtiene: ma aa –
ma aa = 0 o sea: ma aa – Fa = 0 donde esta ecuación es la
segunda ley de Newton. 2
? a ?r ? ? cm cm ° mi mj ° i j>i Mij r ? ° ° r
? ° ° Ecuación de Movimiento Desde la
ecuación general de movimiento se deduce que la
aceleración aa de una partícula A de masa ma
respecto a un sistema de referencia S ?jo a una partícula
S de masa ms , está dada por: aa = Fa ma F a – 2 ?S
× va – S ms donde FS es la fuerza resultante que
actúa sobre el sistema de referencia S en el punto A (ra )
Este trabajo considera que el principio de inercia es falso. Por
lo tanto, en este trabajo no hay ninguna necesidad de introducir
fuerzas ?cticias. Posición Universal Aplicando la
ecuación general de movimiento a una partícula A de
masa ma y al centro de masa del universo de masa mcm , se tiene:
ma mcm (ra – rcm ) – ma mcm (? a – rcm ) = 0 Dividiendo por mcm y
considerando que rcm es siempre cero, entonces se obtiene: ma (ra
– rcm ) – ma ra = 0 o sea: ma ra – Fa dt dt = 0 donde ra es la
posición de la partícula A respecto al centro de
masa del universo. Principio General Desde la ecuación
general de movimiento se deduce que la posición total Rij
de un sistema de bipartículas de masa Mij (Mij = ?i ?
j>i mi mj ), está dada por: Rij = ? ? (ri – rj ) – (? i
– rj ) = 0 Desde la ecuación general de movimiento se
deduce que la posición total Ri de un sistema de
partículas de masa Mi (Mi = ?i mi ) respecto a un
observador S ?jo a una partícula S, está dada por:
Ri = ? i mi Mi (ri – rs ) – (? i – rs ) = 0 Por lo tanto, la
posición total Rij de un sistema de bipartículas y
la posición total Ri de un sistema de partículas
están siempre en equilibrio. 3
? ? ? ? ° ? ? ? ? ? ? ? ? ?a S ? ? r ° ? Fuerza
Cinética La fuerza cinética FC ejercida sobre una
partícula A de masa ma por otra partícula B de masa
mb respecto a un observador S, está dada por: FC = ma mb
mcm (aa – ab ) + 2 ?S × (va – vb ) + ?S × (?S ×
(ra – rb )) + aS × (ra – rb ) donde mcm es la masa del
centro de masa del universo. Desde la ecuación anterior se
deduce que la fuerza cinética resultante FCa que
actúa sobre una partícula A de masa ma ,
está dada por: FCa = ma (aa – acm ) + 2 ?S × (va –
vcm ) + ?S × (?S × (ra – rcm )) + aS × (ra –
rcm ) donde rcm , vcm y acm son la posición, la velocidad
y la aceleración del centro de masa del universo. La
fuerza cinética resultante FCab y la fuerza no
cinética resultante FNab , ambas actuando sobre una
bipartícula AB de masa ma mb , están dadas por:
FCab = ma mb (FCa /ma – FCb /mb ) FNab = ma mb (FNa /ma – FNb /mb
) -? FCab = ma mb (aa – ab ) + 2 ?S × (va – vb ) + ?S
× (?S × (ra – rb )) + aS × (ra – rb ) FNab = ma
mb (? a – ab ) -? FCab – FNab = 0 -? Fab = 0 Por lo tanto: La
aceleración cinética d 2 (ra – rb )/dt 2
cinética. de una bipartícula AB está
relacionada con la fuerza La aceleración no
cinética d 2 (? a – rb )/dt 2 S de una bipartícula
AB está relacionada con las fuerzas no cinéticas
(fuerza gravitatoria, fuerza electromagnética, etc.) La
fuerza total Fab que actúa sobre una bipartícula AB
está siempre en equilibrio. 4
? ? x x ?r ?r ? z ? x x ?r ?r ? S ? Apéndice Desde el
principio general se obtienen las siguientes ecuaciones: 12
ecuaciones para una bipartícula AB respecto a un
observador S: 1 x (ra – rb )y × d z (ra – rb ) dt z S – 1 x
(? a – rb )y × d z (? a – rb ) dt z S = 0 12 ecuaciones
para una partícula A respecto a un observador S ?jo a una
partícula S: 1 x (ra – rs )y × d z (ra – rs ) dt z S
– 1 x (? a – rs )y × d z (? a – rs ) dt S = 0 Donde: x toma
el valor 1 ó 2 (1 ecuación vectorial y 2
ecuación escalar) y toma el valor 0 ó 1 (0
ecuación lineal y 1 ecuación angular) z toma el
valor 0 ó 1 ó 2 (0 ecuación posición,
1 ecuación velocidad y 2 ecuación
aceleración) Observaciones: rs = 0, vs = 0 y as = 0
respecto al sistema de referencia S. Si y toma el valor 0
entonces el símbolo × debe ser eliminado de la
ecuación. d z (…)/dt z indica z-ésima derivada
temporal respecto al sistema de referencia no cinético S.
Por otra parte, estas 24 ecuaciones serían válidas
incluso si la tercera ley de Newton fuera falsa.
Bibliografía A. Einstein, Sobre la Teoría de la
Relatividad Especial y General. E. Mach, La Ciencia de la
Mecánica. R. Resnick y D. Halliday, Física. J. Kane
y M. Sternheim, Física. H. Goldstein, Mecánica
Clásica. L. Landau y E. Lifshitz, Mecánica. 5