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Mecánica racional




Enviado por Josimar Gonzalez



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    La terna a) b) c) f) g) PROBLEMA Nº1: DINAMICA DEL CUERPO
    RIGIDO El disco delgado uniforme gira alrededor del eje OG a
    medida que rueda sin deslizar por el plano p. El extremo O del
    eje esta soldado a un collarín deslizante que gira
    alrededor de una varilla vertical fija. Datos: m es fija referida
    al marco de referencia y la terna (X, Y, Z) es móvil, al
    cual referiremos todos los valores de cálculo a excepto
    que indiquemos lo contrario. Esta terna se encuentra rotada
    respecto a la dirección negativa de de la terna fija.
    HALLAR: Invariantes vectorial y escalar. Tipo de movimiento.
    Velocidad de un punto P en función del tiempo.
    Aceleración angular de la rueda. d) e) Aceleración
    de P. Energía cinética. Tensor de inercia en O y
    graficarlo. Reacciones dinámicas en O y C. Mecánica
    Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
    Página 1

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    A Desarrollo a) Invariantes vectorial y escalar. Tipo de
    movimiento El INVARIANTE VECTORIAL del sistema se lo define como
    al vector rotación que es la resultante de todas las
    rotaciones que afectan al sistema y esa resultante será la
    misma cualquiera sea el centro de reducción adoptado. Con
    lo cual tenemos que Para poder calcular el invariante vectorial
    necesitamos descomponer en la terna móvil (X, Y, Z) y
    determinar la velocidad de rotación con que gira la rueda,
    que lo llamaremos . lo obtenemos aplicando la forma impropia de
    la ley de distribución de velocidades (FILDV), en la cual
    necesitamos conocer la velocidad de un punto, que en nuestro
    sistema conocemos la del punto C y O, al punto O lo llamaremos
    CENTRO DE REDUCCION del movimiento. Por lo tanto la velocidad de
    O es cero debido a que las rotaciones del sistema se intersecan
    en ese punto. Con lo cual tenemos: (FILDV) [1] Las velocidades de
    O y C son nulas. La velocidad de O por lo explicado
    anteriormente, y la del punto C porque, entre el disco y el plano
    p no hay deslizamiento. En tanto que representa el vector
    posición con origen en O y extremo en C. Siempre referido
    a la terna móvil. = + = De la ecuación [1] nos
    queda: Reemplazando obtenemos Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 2

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    ). Donde Igualando los términos en la dirección
    despejamos la magnitud de la velocidad de rotación de la
    rueda ( Una vez encontradas las velocidades de rotación
    que actúan en el sistema (referida a la terna
    móvil), podemos expresar el INVARIANTE VECTORIAL
    Reemplazando los correspondientes valores en la expresión
    anterior, tenemos: El INVARIANTE ESCALAR (µ) expresa que
    los vectores velocidades de un sistema material rígido
    proyectados en un determinado instante sobre la dirección
    del vector rotación son constantes. La expresión
    nos queda de la siguiente manera: (Producto escalar) [2]
    representa la velocidad de cualquier punto y el versor en la
    dirección de que va cambiando a cada instante (gira a la
    misma velocidad que la terna móvil). Para calcular , vamos
    a utilizar la velocidad del punto G (utilizando FILDV).
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel Página 3

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    Por lo tanto reemplazando en la ecuación [2], nos queda:
    TIPO DE MOVIMIENTO: Los invariantes escalar y vectorial
    suministran importante información, como el tipo de
    movimiento del sistema. En el caso que tenemos dos posibilidades,
    que la velocidad del punto G sea nula (Movimiento de
    rotación y G es un punto del eje de rotación), que
    en nuestro caso no lo es y la otra es que sea perpendicular a ,
    que es lo que sucede en nuestro caso y por lo tanto el tipo de
    movimiento es de ROTACION INSTANTANEA. Otra forma de darse cuenta
    es a través de las rotaciones concurrentes, en el que se
    obtiene una rotación instantánea con polo en el
    punto O. b) Velocidad de un punto P en función del tiempo
    Para determinar la velocidad del punto P en función del
    tiempo, tomemos una vista del disco en el plano ZX, y analicemos
    como varia el vector posición del punto P visto desde G (
    ). Para esto llamemos ? al ángulo que hay entre y una de
    las direcciones, en nuestro caso es en la dirección
    positiva de Z (referido a la terna móvil). A su vez ? va a
    depender de la velocidad de rotación del disco, es decir .
    Z X G P R r GP Apreciando de la grafica podemos determinar , por
    lo tanto tenemos: Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 4

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    Como ; Aplicando FILDV podemos determinar la velocidad del punto
    P, referido siempre a la terna móvil. [3] Donde: Por lo
    tanto, tenemos que: De la ecuación [3] la velocidad del
    punto P nos queda: c) Aceleración angular de la rueda La
    aceleración angular ( ) representa la variación de
    la velocidad angular ( ) con respecto al tiempo. Por lo tanto
    tenemos: Siendo; Los primeros dos términos son cero,
    debido que la velocidad angular no tiene componente en la
    dirección de X, el tercero y quinto también son
    nulos, porque tanto son constantes y no varía en el
    tiempo. Ahora lo único que queda determinar de la
    expresión anterior es como varían los versores (
    tiempo. Mecánica Racional – Rodríguez,
    Jonathan Exequiel ) con respecto al Página 5

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    ) es Utilizando la formula de POISSON que permite expresar las
    derivadas de los versores en función de un producto
    vectorial entre la velocidad angular impuesta a la terna
    móvil y el mismo versor. Con lo dicho anteriormente la
    velocidad angular que hace variar a los versores ( . Por lo tanto
    la formula de poisson nos quedan: Reemplazando estas ultima
    expresiones en la ecuación Ahora comprobémosla
    referida a un sistema de referencia paralelas a la terna fija, la
    cual también estará en movimiento. La
    expresión de la aceleración angular nos queda:
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel Página 6

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    Donde; Por lo tanto: De esta última expresión tanto
    son contantes y no varían en el tiempo, lo mismo pasa con
    el versor . Lo cual nos queda: Con la expresión de poisson
    determinamos la variación del versor respecto del tiempo.
    Remplazando en la expresión anterior; ; Donde Como se
    puede apreciar, por las dos formas llegamos al mismo resultado,
    es decir, que la aceleración angular no depende de la
    terna que hayamos elegido. Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 7

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    d) Aceleración del punto P Para determinar la
    aceleración de un punto P del disco en función del
    tiempo, utilizaremos la forma impropia de la ley de
    distribución de aceleraciones (FILDA). Teniendo en cuenta
    las mismas consideraciones que planteamos para la velocidad. [4]
    Basándonos en el mismo grafico en el cual determinamos la
    velocidad del punto P, obtenemos el vector posición . La
    aceleración del punto O es nula, debido a que las
    rotaciones concurren en ese punto y a dicho punto se lo llama
    polo. Trabajaremos con las expresiones numéricas, por lo
    tanto tenemos: Calculemos los términos por separados;
    Reemplazando estas expresiones en la ecuación [4] y
    operando, determinamos la aceleración del punto P.
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel Página 8

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    . es nulo e) Energía cinética La energía
    cinética para un sólido en movimiento
    rototraslatorio viene dada por la siguiente expresión: [5]
    Como se puede observar la energía cinética
    está compuesta de tres términos, vamos a explicar
    qué significado tiene cada uno de ellos. El primer termino
    llamémoslo , éste recibe el nombre de
    energía cinética de arrastre o de traslación
    y es la que tendía el sistema en el supuesto que toda la
    masa estuviera concentrada en el centro de reducción,
    siendo generada por la velocidad de éste ultimo. Al
    segundo término , se lo denomina energía
    cinética relativa o de rotación y está
    originada por el movimiento relativo de cada punto respecto del
    centro de reducción Tercer y último término
    , recibe el nombre de fuerzas viva compuesta y su valor depende
    del centro de reducción. Esta puede anularse si se toma
    como centro de reducción a un punto fijo, es decir,
    perteneciente al eje de rotación, en lo que también
    anularíamos . Para nuestro caso vamos a elegir como centro
    de reducción el baricentro del sistema, es decir, al punto
    G (la masa del brazo OG es despreciable). Con lo cual de la
    ecuación [5] anulamos el tercer término ( ), debido
    a que (vector posición del punto de reducción al
    baricentro del sistema, que en nuestro caso coinciden por haber
    tomado como centro de reducción al baricentro). Por lo
    tanto la expresión se reduce a: Desarrollaremos los
    cálculos por separado. La velocidad del punto G la hemos
    hallado en el inciso valor. Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel , colocaremos su
    expresión y Página 9

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    . La masa del sistema es dato, con lo que nos queda: [Joule]
    ó [Nm] Para determinar , calcularemos primero el tensor de
    inercia del cuerpo respecto del punto G, sobre las direcciones (
    ), para luego hallar el momento de inercia del cuerpo sobre un
    eje paralelo a la velocidad angular ( ) que pasa por el centro de
    reducción (G), es decir Al tensor de inercia lo obtenemos
    de tabla; Cada elemento de este tensor tiene un significado, los
    elementos de la diagonal principal representan los momentos de
    inercia polar, y están referidos respecto a cada uno de
    los ejes. Mientras los demás elementos ubicado a los lados
    de la diagonal principal representan los momentos
    centrífugos, y están referidos respecto de los
    planos coordenados. Ahora para calcular , observemos el siguiente
    grafico: Mecánica Racional – Rodríguez,
    Jonathan Exequiel Página 10

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    ; , , Z1 20° G y1 Proyectando la inicia de cada eje en la
    dirección de [6] Donde los son los cosenos directores
    entre el eje pasante por el punto G y los correspondientes ejes .
    Con lo cual tenemos Observando de la grafica se puede determinar
    el ángulo entre llamaremos . A su vez; Aplicando el
    teorema del coseno determinamos : y el eje Z al que Despejando de
    esta última expresión obtenemos: Mecánica
    Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
    Página 11

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    Donde: [ ] [ ] [ ] Por lo tanto: Con lo cual Ahora calculemos los
    cosenos directores: Reemplazando estos valores en la
    expresión numero [6] Por lo tanto la energía
    cinética relativa o de rotación, nos queda de la
    siguiente manera. Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 12

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    que lo [Joule] La energía cinética es: [Joule] f)
    Tensor de inercia en O y graficarlo Para encontrar el tensor de
    inercia en el punto O, necesitamos trasladar el tensor de inercia
    centroidal del punto G hacia el O sobre unos ejes paralelos a
    llamaremos (X, Y, Z). Con lo que utilizaremos el teorema de
    Steiner y sus expresiones son la siguiente: Del primer grafico se
    puede observar que el vector posición de O a G es:
    Reemplazando en las expresiones anteriores, tenemos; [ ] [ ]
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel [ ] Página 13

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    Formemos el tensor [ ] Grafica del tensor de inercia en el punto
    O: Analicemos la siguiente expresión; Esta
    expresión es la de una superficie cuadrática
    centrada en O, llamada ELIPSOIDE. También se denomina a
    esta superficie elipsoide de inercia relativo al punto O del
    cuerpo regido dado. La geometría del elipsoide define por
    completo las propiedades inerciales del cuerpo respecto de O, es
    decir, representa gráficamente el tensor de inercia en
    dicho punto. En general a cada punto del cuerpo irá
    asociado un elipsoide diferente. El elipsoide en nuestro caso
    tiene tres ejes de simetría; siempre será posible
    orientar las direcciones coordenadas de manera que coincida con
    dichos ejes, obteniéndose la ecuación
    canónica. Los momentos de inercia respecto a estos ejes
    reciben el nombre de momentos principales de inercia y a los ejes
    se les llama ejes principales de inercia. Para esta
    orientación de los ejes se anulan los productos de inercia
    y la ecuación cuadrática se convierte en: [7]
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel Página 14

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    La ecuación canónica de un elipsoide es: [8] Donde:
    , representan los semiejes del mismo. Por comparación de
    la ecuación [7] e [8] determinamos los semiejes del
    elipsoide de inercia, que están dado por; Por lo tanto la
    ecuación del elipsoide de inercia en el punto O nos queda:
    Remplazando los valores obtenemos: Para realizar la grafica de
    esta ecuación, utilizaremos un software como por ejemplo
    MATHEMATICA 6. Colocando la siguiente sintaxis. Mecánica
    Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
    Página 15

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    e=ContourPlot3D[0.45 x^2+0.024 y^2+0.45
    z^2?1,{x,-1.5,1.5},{y,-6.5,6.5},{z,-2,2}, AxesLabel?{
    "X","Y","Z"},Axes-> True , ContourStyle ??Directive [Orange,
    Opacity[0.8] , Specularity[White,30]]] Veamos tres vista del
    elipsoide en los siguientes planos: PLANO YZ:
    Show[e,ViewPoint?{20,0,0}] Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 16

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    PLANO XZ: Show[e,ViewPoint?{20,0,0}] PLANO XY:
    Show[e,ViewPoint?{20,0,0}] Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 17

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    , , y g) Reacciones dinámicas en O y C Para poder hallar
    las reacciones dinámicas ; aplicaremos las ecuaciones
    cardinales de la mecánica. Ellas son: Ecuación de
    NEWTON Donde: Representan las fuerzas exteriores o las fuerzas
    totales, es decir estáticas y dinámicas, se la
    expresa como la suma de las fuerzas activas y reactivas.
    Representan las fuerzas reactivas, que son las reacciones que
    debemos encontrar. Representa la variación de la cantidad
    de movimiento respecto de la terna móvil como si
    ésta estuviese detenida. Es la velocidad angular de la
    terna móvil (impresa a ella). Que en nuestro caso es
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel Página 18

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    : Ecuación de EULER: Donde: Es el momento de todas las
    fuerzas exteriores respecto del centro de momento O1. Representa
    la variación del momento cinético respecto de la
    terna móvil como si ésta estuviese detenida. Como
    primer paso determinemos todo los términos por separado de
    las ecuaciones cardinales. Cantidad de movimiento Esta
    expresión nos dice que la cantidad de movimiento total del
    sistema es la que tendría su baricentro en el supuesto de
    que toda la masa estuviese concentrada en él. La velocidad
    del punto G la determinamos en el inciso (a); Por lo tanto nos
    queda: Por otro lado; Debido a que no varía respecto a la
    terna móvil. Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 19

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    : Calculemos el término , donde representa la velocidad
    angular Por lo tanto de la primera ecuación cardinal
    (NEWTON) tenemos: Calcularemos ahora el momento cinético
    en el punto O. Donde es la posición del baricentro
    respecto al centro de momento O y es la velocidad de ese punto,
    que en nuestro sistema es un punto fijo por lo tanto su velocidad
    es nula. El primer sumando del término de la derecha de la
    última expresión, expresa que una parte del momento
    cinético respecto del punto O sería el que
    tendría toda la masa como si ésta estuviese
    concentrada en el punto G y con la velocidad de O. Recibe el
    nombre de momento cinético ¨de arrastre u
    orbital¨. El segundo sumando es el debido a las velocidades
    relativas a O y se denomina momento cinético relativo o
    propio. Mecánica Racional – Rodríguez,
    Jonathan Exequiel Página 20

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    Realizando la operación matricial nos queda: Siendo Con lo
    cual de la expresión anterior nos queda: Por lo tanto; El
    termino ; el momento cinético no varía con respecto
    a la terna móvil. Por lo tanto de la segunda
    ecuación cardinal (EULER) nos queda: Mecánica
    Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
    Página 21

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    : Observando del grafico anterior y con ayuda del diagrama de
    abajo, aplicando la expresión de newton logramos obtener
    un sistema de ecuaciones. Reemplazando en ella y separando en sus
    respectivas componentes surge (Para el cálculo de las
    reacciones dinámicas no se considera el peso del sistema).
    Aplicando la ecuación de euler y procediendo como en el
    caso anterior, teniendo las mismas consideraciones, pero antes de
    determinar el momento sobre el eje O , analicemos el siguiente
    diagrama, que es una vista simplificada sobre el plano 20°
    20° 20° El momento sobre el eje O y teniendo en cuenta la
    ecuación de euler es: Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 22

    Monografias.com
    y De la ecuación de sumatorias de fuerzas en la
    direcciones y , ecuaciones despejamos las otras reacciones y ;
    Ahora descompongamos estas reacciones en unos ejes paralelos al
    sistema de referencia , que llamaremos que estará en
    movimiento con el sistema. Para ello analicemos el siguiente
    grafico; 20° 20° 20° Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 23

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    . Las reacciones , corresponden al sistema de referencia , lo que
    queremos determinar son las reacciones producidas en el sistema
    de referencia , o sea Proyectando cada componente en sus
    respectivos ejes nos queda; Bibliografía: ?
    Monografía de la cátedra, Mecánica Racional,
    Prof. Ing. Liberto Ercoli, 2005. ? Dinámica 3ra
    Edición, Mecánica para ingenieros; Meriam J.L/ L.G.
    Kraige ? Mecánica Vectorial; Beer-Johnston. Softwares
    utilizados: ? ?Microsoft Word 2007 ? ?Mathematica 6 ? ?Microsoft
    Paint ? ?Solid Edge Academic V14 ? AutoCad 2008 Mecánica
    Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
    Página 24

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    PROBLEMA Nº2: VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS El motor de
    la figura está montado sobre dos resortes, cada uno de
    constante . El amortiguador posee un coeficiente incluyendo la
    base de montaje y la masa desbalanceada , pesa . El motor, . La
    masa pesa y se localiza a ? e O B del centro del eje O. ?t En
    régimen, el motor rota a k/2 c k/2 .hallar: a) utilizando
    el diagrama de fuerzas actuantes durante el movimiento, encontrar
    la amplitud y fase del mismo. b) Determinar la fuerza
    máxima y mínima ejercida sobre la base por los
    resortes e amortiguador; y la fuerza combinada de ambos. c)
    Hallar la velocidad de resonancia y la amplitud del movimiento en
    esta condición. Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 25

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    DESARROLLO Determinemos la fuerza de excitación
    periódica que hace que el motor vibre. Esta es la fuerza
    centrifuga debida a la masa desbalanceada del motor. Dicha fuerza
    tiene una magnitud constante de: Donde: ; Es la masa
    desbalanceada ; Es la aceleración normal en donde la
    podemos expresar como: Por lo tanto tenemos: Pasemos la
    frecuencia circular del motor a La oscilación en la
    dirección vertical puede expresarse en la forma
    periódica como: Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 26

    Monografias.com
    Donde Realizamos el diagrama de cuerpo libe (DCL) del sistema
    para poder determinar la ecuación diferencial del
    movimiento que satisface al mismo. El sistema de referencia se
    coloca cuando el cuerpo está en equilibrio
    estático. F R F A y O F E Donde: ; Es la fuerza resultante
    de ambos resortes y es proporcional al desplazamiento vertical. ;
    Es la fuerza del amortiguador y es proporcional a la velocidad.
    representa la derivada primera de la posición respecto del
    tiempo, es decir, la velocidad. En movimiento aplicamos la
    segunda ley de newton, es decir determinar la ecuación
    diferencial del sistema. Dividimos m.a.m. por Mecánica
    Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel . Para poder
    Página 27

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    Reemplazamos por sus respectivos valores: Reacomodando la
    ecuación diferencial nos queda: Plantearemos la
    solución de la ecuación diferencial solamente para
    el estado estacionario o permanente, que es el que persiste
    durante el movimiento. Proponemos como solución a:
    Derivamos dos veces la función anterior y la
    expresión obtenida la reemplazamos en la ecuación .
    Agrupamos los términos de los cosenos y senos Para poder
    determinar las constantes A y B, igualemos los coeficientes de
    los senos y cosenos. Armamos un sistema de dos ecuaciones con dos
    incógnitas, problema resoluble. Ahora podemos determinar
    las constantes A y B, utilizando un programa de cálculo
    como el MATHEMATICA. Con lo cual las constantes nos quedan:
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel Página 28

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    Vamos a darle otra expresión a la ecuación [10],
    teniendo en cuenta las ecuaciones [11] y [12]. Observando del
    grafico tenemos que: Reemplazando estas expresiones en la
    ecuación [10] y operando; Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 29

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    y Al término entre corchetes lo sustituimos por una
    identidad Donde lo determinando del grafico anterior; [14] [15]
    Sustituyendo estos valores en la expresión [14]
    determinamos la ecuación de movimiento del sistema. En
    donde: ; Representa la amplitud de oscilación del sistema
    para el estado permanente o estable. ; Es el ángulo de
    fase, es decir, el ángulo existente entre el movimiento
    (respuesta) y la fuerza exterior (entrada). Antes de realizar el
    diagrama de fuerzas actuantes, expresemos las fuerzas que
    actúan Mecánica Racional – Rodríguez,
    Jonathan Exequiel Página 30

    Monografias.com
    ): es ): es en : : FUERZA ELASTICA O DEL RESORTE ( Como: La
    amplitud de en la dirección de negativa. FUERZA DE
    AMORTIGUAMIENTO ( Para encontrar su amplitud derivemos la
    expresión [13] con respecto al tiempo; Démosle otra
    forma a la expresión anterior; Por lo tanto la amplitud de
    , que se encuentra adelantada a FUERZA DE INERCIA Derivemos la
    ecuación [14] con respecto al tiempo; La amplitud de es
    adelantada a en . FUERZA EXTERIOR De amplitud adelantada a en .
    Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
    Exequiel Página 31

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    . . Para poder realizar el diagrama de fuerzas actuantes,
    analicemos como es la frecuencia forzada con respecto a la
    frecuencia natural del sistema En este caso como el ángulo
    de fase se encuentra Expresemos estas fuerzas en un
    polígono funicular: Analizando el diagrama de fuerzas
    actuantes tenemos; Mecánica Racional –
    Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 32

    Monografias.com
    Podemos expresar que: Por lo tanto Con esto podemos comprobar el
    ángulo de fase que determinamos con la expresión
    [15] a través de la ecuación diferencial. Lo mismo
    vamos hacer para la amplitud. Para determinar la amplitud del
    movimiento planteamos b) Fuerzas máximas y mínimas
    ejercidas por los resortes y amortiguador sobre la base y
    combinación de ellas. Resortes: Donde: : Peso total del
    sistema : representa la amplitud del resorte; va ser positiva
    cuando la fuerza sea máxima y negativa cuando sea
    mínima. Mecánica Racional – Rodríguez,
    Jonathan Exequiel Página 33

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    Amortiguador: Donde: : representa la velocidad de
    deformación del resorte; positivo cuando se encuentre
    comprimido en la dirección de “ ”positiva y
    negativo cuando se encuentre traccionado. Fuerza combinada:
    Analicemos el siguiente diagrama; Mecánica Racional
    – Rodríguez, Jonathan Exequiel Página
    34

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    . La fuerza combinada es: c) Velocidad de resonancia del sistema
    y amplitud de movimiento en esta condición. La velocidad
    de resonancia se produce cuando la frecuencia forzada tiende a
    igualar a la natural del sistema, es decir (se omiten los
    cálculos ya que fueron hallados anteriormente). Para
    hallar la amplitud en esta condición lo analizaremos con
    el polígono funicular pero para este caso Por lo tanto nos
    queda; Mecánica Racional – Rodríguez,
    Jonathan Exequiel Página 35

    Monografias.com
    Bibliografía: ? Monografía de la cátedra,
    Mecánica Racional, Prof. Ing. Liberto Ercoli, 2005. ?
    Dinámica 3ra Edición, Mecánica para
    ingenieros; Meriam J.L/ L.G. Kraige ? Mecánica Vectorial;
    Beer-Johnston. Softwares utilizados: ? ?Microsoft Word 2007 ?
    ?Mathematica 6 ? ?Microsoft Paint ? ?Solid Edge Academic V14 ?
    AutoCad 2008 Mecánica Racional – Rodríguez,
    Jonathan Exequiel Página 36

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