La terna a) b) c) f) g) PROBLEMA Nº1: DINAMICA DEL CUERPO
RIGIDO El disco delgado uniforme gira alrededor del eje OG a
medida que rueda sin deslizar por el plano p. El extremo O del
eje esta soldado a un collarín deslizante que gira
alrededor de una varilla vertical fija. Datos: m es fija referida
al marco de referencia y la terna (X, Y, Z) es móvil, al
cual referiremos todos los valores de cálculo a excepto
que indiquemos lo contrario. Esta terna se encuentra rotada
respecto a la dirección negativa de de la terna fija.
HALLAR: Invariantes vectorial y escalar. Tipo de movimiento.
Velocidad de un punto P en función del tiempo.
Aceleración angular de la rueda. d) e) Aceleración
de P. Energía cinética. Tensor de inercia en O y
graficarlo. Reacciones dinámicas en O y C. Mecánica
Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
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A Desarrollo a) Invariantes vectorial y escalar. Tipo de
movimiento El INVARIANTE VECTORIAL del sistema se lo define como
al vector rotación que es la resultante de todas las
rotaciones que afectan al sistema y esa resultante será la
misma cualquiera sea el centro de reducción adoptado. Con
lo cual tenemos que Para poder calcular el invariante vectorial
necesitamos descomponer en la terna móvil (X, Y, Z) y
determinar la velocidad de rotación con que gira la rueda,
que lo llamaremos . lo obtenemos aplicando la forma impropia de
la ley de distribución de velocidades (FILDV), en la cual
necesitamos conocer la velocidad de un punto, que en nuestro
sistema conocemos la del punto C y O, al punto O lo llamaremos
CENTRO DE REDUCCION del movimiento. Por lo tanto la velocidad de
O es cero debido a que las rotaciones del sistema se intersecan
en ese punto. Con lo cual tenemos: (FILDV) [1] Las velocidades de
O y C son nulas. La velocidad de O por lo explicado
anteriormente, y la del punto C porque, entre el disco y el plano
p no hay deslizamiento. En tanto que representa el vector
posición con origen en O y extremo en C. Siempre referido
a la terna móvil. = + = De la ecuación [1] nos
queda: Reemplazando obtenemos Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 2
). Donde Igualando los términos en la dirección
despejamos la magnitud de la velocidad de rotación de la
rueda ( Una vez encontradas las velocidades de rotación
que actúan en el sistema (referida a la terna
móvil), podemos expresar el INVARIANTE VECTORIAL
Reemplazando los correspondientes valores en la expresión
anterior, tenemos: El INVARIANTE ESCALAR (µ) expresa que
los vectores velocidades de un sistema material rígido
proyectados en un determinado instante sobre la dirección
del vector rotación son constantes. La expresión
nos queda de la siguiente manera: (Producto escalar) [2]
representa la velocidad de cualquier punto y el versor en la
dirección de que va cambiando a cada instante (gira a la
misma velocidad que la terna móvil). Para calcular , vamos
a utilizar la velocidad del punto G (utilizando FILDV).
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel Página 3
Por lo tanto reemplazando en la ecuación [2], nos queda:
TIPO DE MOVIMIENTO: Los invariantes escalar y vectorial
suministran importante información, como el tipo de
movimiento del sistema. En el caso que tenemos dos posibilidades,
que la velocidad del punto G sea nula (Movimiento de
rotación y G es un punto del eje de rotación), que
en nuestro caso no lo es y la otra es que sea perpendicular a ,
que es lo que sucede en nuestro caso y por lo tanto el tipo de
movimiento es de ROTACION INSTANTANEA. Otra forma de darse cuenta
es a través de las rotaciones concurrentes, en el que se
obtiene una rotación instantánea con polo en el
punto O. b) Velocidad de un punto P en función del tiempo
Para determinar la velocidad del punto P en función del
tiempo, tomemos una vista del disco en el plano ZX, y analicemos
como varia el vector posición del punto P visto desde G (
). Para esto llamemos ? al ángulo que hay entre y una de
las direcciones, en nuestro caso es en la dirección
positiva de Z (referido a la terna móvil). A su vez ? va a
depender de la velocidad de rotación del disco, es decir .
Z X G P R r GP Apreciando de la grafica podemos determinar , por
lo tanto tenemos: Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 4
Como ; Aplicando FILDV podemos determinar la velocidad del punto
P, referido siempre a la terna móvil. [3] Donde: Por lo
tanto, tenemos que: De la ecuación [3] la velocidad del
punto P nos queda: c) Aceleración angular de la rueda La
aceleración angular ( ) representa la variación de
la velocidad angular ( ) con respecto al tiempo. Por lo tanto
tenemos: Siendo; Los primeros dos términos son cero,
debido que la velocidad angular no tiene componente en la
dirección de X, el tercero y quinto también son
nulos, porque tanto son constantes y no varía en el
tiempo. Ahora lo único que queda determinar de la
expresión anterior es como varían los versores (
tiempo. Mecánica Racional – Rodríguez,
Jonathan Exequiel ) con respecto al Página 5
) es Utilizando la formula de POISSON que permite expresar las
derivadas de los versores en función de un producto
vectorial entre la velocidad angular impuesta a la terna
móvil y el mismo versor. Con lo dicho anteriormente la
velocidad angular que hace variar a los versores ( . Por lo tanto
la formula de poisson nos quedan: Reemplazando estas ultima
expresiones en la ecuación Ahora comprobémosla
referida a un sistema de referencia paralelas a la terna fija, la
cual también estará en movimiento. La
expresión de la aceleración angular nos queda:
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel Página 6
Donde; Por lo tanto: De esta última expresión tanto
son contantes y no varían en el tiempo, lo mismo pasa con
el versor . Lo cual nos queda: Con la expresión de poisson
determinamos la variación del versor respecto del tiempo.
Remplazando en la expresión anterior; ; Donde Como se
puede apreciar, por las dos formas llegamos al mismo resultado,
es decir, que la aceleración angular no depende de la
terna que hayamos elegido. Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 7
d) Aceleración del punto P Para determinar la
aceleración de un punto P del disco en función del
tiempo, utilizaremos la forma impropia de la ley de
distribución de aceleraciones (FILDA). Teniendo en cuenta
las mismas consideraciones que planteamos para la velocidad. [4]
Basándonos en el mismo grafico en el cual determinamos la
velocidad del punto P, obtenemos el vector posición . La
aceleración del punto O es nula, debido a que las
rotaciones concurren en ese punto y a dicho punto se lo llama
polo. Trabajaremos con las expresiones numéricas, por lo
tanto tenemos: Calculemos los términos por separados;
Reemplazando estas expresiones en la ecuación [4] y
operando, determinamos la aceleración del punto P.
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel Página 8
. es nulo e) Energía cinética La energía
cinética para un sólido en movimiento
rototraslatorio viene dada por la siguiente expresión: [5]
Como se puede observar la energía cinética
está compuesta de tres términos, vamos a explicar
qué significado tiene cada uno de ellos. El primer termino
llamémoslo , éste recibe el nombre de
energía cinética de arrastre o de traslación
y es la que tendía el sistema en el supuesto que toda la
masa estuviera concentrada en el centro de reducción,
siendo generada por la velocidad de éste ultimo. Al
segundo término , se lo denomina energía
cinética relativa o de rotación y está
originada por el movimiento relativo de cada punto respecto del
centro de reducción Tercer y último término
, recibe el nombre de fuerzas viva compuesta y su valor depende
del centro de reducción. Esta puede anularse si se toma
como centro de reducción a un punto fijo, es decir,
perteneciente al eje de rotación, en lo que también
anularíamos . Para nuestro caso vamos a elegir como centro
de reducción el baricentro del sistema, es decir, al punto
G (la masa del brazo OG es despreciable). Con lo cual de la
ecuación [5] anulamos el tercer término ( ), debido
a que (vector posición del punto de reducción al
baricentro del sistema, que en nuestro caso coinciden por haber
tomado como centro de reducción al baricentro). Por lo
tanto la expresión se reduce a: Desarrollaremos los
cálculos por separado. La velocidad del punto G la hemos
hallado en el inciso valor. Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel , colocaremos su
expresión y Página 9
. La masa del sistema es dato, con lo que nos queda: [Joule]
ó [Nm] Para determinar , calcularemos primero el tensor de
inercia del cuerpo respecto del punto G, sobre las direcciones (
), para luego hallar el momento de inercia del cuerpo sobre un
eje paralelo a la velocidad angular ( ) que pasa por el centro de
reducción (G), es decir Al tensor de inercia lo obtenemos
de tabla; Cada elemento de este tensor tiene un significado, los
elementos de la diagonal principal representan los momentos de
inercia polar, y están referidos respecto a cada uno de
los ejes. Mientras los demás elementos ubicado a los lados
de la diagonal principal representan los momentos
centrífugos, y están referidos respecto de los
planos coordenados. Ahora para calcular , observemos el siguiente
grafico: Mecánica Racional – Rodríguez,
Jonathan Exequiel Página 10
; , , Z1 20° G y1 Proyectando la inicia de cada eje en la
dirección de [6] Donde los son los cosenos directores
entre el eje pasante por el punto G y los correspondientes ejes .
Con lo cual tenemos Observando de la grafica se puede determinar
el ángulo entre llamaremos . A su vez; Aplicando el
teorema del coseno determinamos : y el eje Z al que Despejando de
esta última expresión obtenemos: Mecánica
Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
Página 11
Donde: [ ] [ ] [ ] Por lo tanto: Con lo cual Ahora calculemos los
cosenos directores: Reemplazando estos valores en la
expresión numero [6] Por lo tanto la energía
cinética relativa o de rotación, nos queda de la
siguiente manera. Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 12
que lo [Joule] La energía cinética es: [Joule] f)
Tensor de inercia en O y graficarlo Para encontrar el tensor de
inercia en el punto O, necesitamos trasladar el tensor de inercia
centroidal del punto G hacia el O sobre unos ejes paralelos a
llamaremos (X, Y, Z). Con lo que utilizaremos el teorema de
Steiner y sus expresiones son la siguiente: Del primer grafico se
puede observar que el vector posición de O a G es:
Reemplazando en las expresiones anteriores, tenemos; [ ] [ ]
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel [ ] Página 13
Formemos el tensor [ ] Grafica del tensor de inercia en el punto
O: Analicemos la siguiente expresión; Esta
expresión es la de una superficie cuadrática
centrada en O, llamada ELIPSOIDE. También se denomina a
esta superficie elipsoide de inercia relativo al punto O del
cuerpo regido dado. La geometría del elipsoide define por
completo las propiedades inerciales del cuerpo respecto de O, es
decir, representa gráficamente el tensor de inercia en
dicho punto. En general a cada punto del cuerpo irá
asociado un elipsoide diferente. El elipsoide en nuestro caso
tiene tres ejes de simetría; siempre será posible
orientar las direcciones coordenadas de manera que coincida con
dichos ejes, obteniéndose la ecuación
canónica. Los momentos de inercia respecto a estos ejes
reciben el nombre de momentos principales de inercia y a los ejes
se les llama ejes principales de inercia. Para esta
orientación de los ejes se anulan los productos de inercia
y la ecuación cuadrática se convierte en: [7]
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel Página 14
La ecuación canónica de un elipsoide es: [8] Donde:
, representan los semiejes del mismo. Por comparación de
la ecuación [7] e [8] determinamos los semiejes del
elipsoide de inercia, que están dado por; Por lo tanto la
ecuación del elipsoide de inercia en el punto O nos queda:
Remplazando los valores obtenemos: Para realizar la grafica de
esta ecuación, utilizaremos un software como por ejemplo
MATHEMATICA 6. Colocando la siguiente sintaxis. Mecánica
Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
Página 15
e=ContourPlot3D[0.45 x^2+0.024 y^2+0.45
z^2?1,{x,-1.5,1.5},{y,-6.5,6.5},{z,-2,2}, AxesLabel?{
"X","Y","Z"},Axes-> True , ContourStyle ??Directive [Orange,
Opacity[0.8] , Specularity[White,30]]] Veamos tres vista del
elipsoide en los siguientes planos: PLANO YZ:
Show[e,ViewPoint?{20,0,0}] Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 16
PLANO XZ: Show[e,ViewPoint?{20,0,0}] PLANO XY:
Show[e,ViewPoint?{20,0,0}] Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 17
, , y g) Reacciones dinámicas en O y C Para poder hallar
las reacciones dinámicas ; aplicaremos las ecuaciones
cardinales de la mecánica. Ellas son: Ecuación de
NEWTON Donde: Representan las fuerzas exteriores o las fuerzas
totales, es decir estáticas y dinámicas, se la
expresa como la suma de las fuerzas activas y reactivas.
Representan las fuerzas reactivas, que son las reacciones que
debemos encontrar. Representa la variación de la cantidad
de movimiento respecto de la terna móvil como si
ésta estuviese detenida. Es la velocidad angular de la
terna móvil (impresa a ella). Que en nuestro caso es
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel Página 18
: Ecuación de EULER: Donde: Es el momento de todas las
fuerzas exteriores respecto del centro de momento O1. Representa
la variación del momento cinético respecto de la
terna móvil como si ésta estuviese detenida. Como
primer paso determinemos todo los términos por separado de
las ecuaciones cardinales. Cantidad de movimiento Esta
expresión nos dice que la cantidad de movimiento total del
sistema es la que tendría su baricentro en el supuesto de
que toda la masa estuviese concentrada en él. La velocidad
del punto G la determinamos en el inciso (a); Por lo tanto nos
queda: Por otro lado; Debido a que no varía respecto a la
terna móvil. Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 19
: Calculemos el término , donde representa la velocidad
angular Por lo tanto de la primera ecuación cardinal
(NEWTON) tenemos: Calcularemos ahora el momento cinético
en el punto O. Donde es la posición del baricentro
respecto al centro de momento O y es la velocidad de ese punto,
que en nuestro sistema es un punto fijo por lo tanto su velocidad
es nula. El primer sumando del término de la derecha de la
última expresión, expresa que una parte del momento
cinético respecto del punto O sería el que
tendría toda la masa como si ésta estuviese
concentrada en el punto G y con la velocidad de O. Recibe el
nombre de momento cinético ¨de arrastre u
orbital¨. El segundo sumando es el debido a las velocidades
relativas a O y se denomina momento cinético relativo o
propio. Mecánica Racional – Rodríguez,
Jonathan Exequiel Página 20
Realizando la operación matricial nos queda: Siendo Con lo
cual de la expresión anterior nos queda: Por lo tanto; El
termino ; el momento cinético no varía con respecto
a la terna móvil. Por lo tanto de la segunda
ecuación cardinal (EULER) nos queda: Mecánica
Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
Página 21
: Observando del grafico anterior y con ayuda del diagrama de
abajo, aplicando la expresión de newton logramos obtener
un sistema de ecuaciones. Reemplazando en ella y separando en sus
respectivas componentes surge (Para el cálculo de las
reacciones dinámicas no se considera el peso del sistema).
Aplicando la ecuación de euler y procediendo como en el
caso anterior, teniendo las mismas consideraciones, pero antes de
determinar el momento sobre el eje O , analicemos el siguiente
diagrama, que es una vista simplificada sobre el plano 20°
20° 20° El momento sobre el eje O y teniendo en cuenta la
ecuación de euler es: Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 22
y De la ecuación de sumatorias de fuerzas en la
direcciones y , ecuaciones despejamos las otras reacciones y ;
Ahora descompongamos estas reacciones en unos ejes paralelos al
sistema de referencia , que llamaremos que estará en
movimiento con el sistema. Para ello analicemos el siguiente
grafico; 20° 20° 20° Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 23
. Las reacciones , corresponden al sistema de referencia , lo que
queremos determinar son las reacciones producidas en el sistema
de referencia , o sea Proyectando cada componente en sus
respectivos ejes nos queda; Bibliografía: ?
Monografía de la cátedra, Mecánica Racional,
Prof. Ing. Liberto Ercoli, 2005. ? Dinámica 3ra
Edición, Mecánica para ingenieros; Meriam J.L/ L.G.
Kraige ? Mecánica Vectorial; Beer-Johnston. Softwares
utilizados: ? ?Microsoft Word 2007 ? ?Mathematica 6 ? ?Microsoft
Paint ? ?Solid Edge Academic V14 ? AutoCad 2008 Mecánica
Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel
Página 24
PROBLEMA Nº2: VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS El motor de
la figura está montado sobre dos resortes, cada uno de
constante . El amortiguador posee un coeficiente incluyendo la
base de montaje y la masa desbalanceada , pesa . El motor, . La
masa pesa y se localiza a ? e O B del centro del eje O. ?t En
régimen, el motor rota a k/2 c k/2 .hallar: a) utilizando
el diagrama de fuerzas actuantes durante el movimiento, encontrar
la amplitud y fase del mismo. b) Determinar la fuerza
máxima y mínima ejercida sobre la base por los
resortes e amortiguador; y la fuerza combinada de ambos. c)
Hallar la velocidad de resonancia y la amplitud del movimiento en
esta condición. Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 25
DESARROLLO Determinemos la fuerza de excitación
periódica que hace que el motor vibre. Esta es la fuerza
centrifuga debida a la masa desbalanceada del motor. Dicha fuerza
tiene una magnitud constante de: Donde: ; Es la masa
desbalanceada ; Es la aceleración normal en donde la
podemos expresar como: Por lo tanto tenemos: Pasemos la
frecuencia circular del motor a La oscilación en la
dirección vertical puede expresarse en la forma
periódica como: Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 26
Donde Realizamos el diagrama de cuerpo libe (DCL) del sistema
para poder determinar la ecuación diferencial del
movimiento que satisface al mismo. El sistema de referencia se
coloca cuando el cuerpo está en equilibrio
estático. F R F A y O F E Donde: ; Es la fuerza resultante
de ambos resortes y es proporcional al desplazamiento vertical. ;
Es la fuerza del amortiguador y es proporcional a la velocidad.
representa la derivada primera de la posición respecto del
tiempo, es decir, la velocidad. En movimiento aplicamos la
segunda ley de newton, es decir determinar la ecuación
diferencial del sistema. Dividimos m.a.m. por Mecánica
Racional – Rodríguez, Jonathan Exequiel . Para poder
Página 27
Reemplazamos por sus respectivos valores: Reacomodando la
ecuación diferencial nos queda: Plantearemos la
solución de la ecuación diferencial solamente para
el estado estacionario o permanente, que es el que persiste
durante el movimiento. Proponemos como solución a:
Derivamos dos veces la función anterior y la
expresión obtenida la reemplazamos en la ecuación .
Agrupamos los términos de los cosenos y senos Para poder
determinar las constantes A y B, igualemos los coeficientes de
los senos y cosenos. Armamos un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, problema resoluble. Ahora podemos determinar
las constantes A y B, utilizando un programa de cálculo
como el MATHEMATICA. Con lo cual las constantes nos quedan:
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel Página 28
Vamos a darle otra expresión a la ecuación [10],
teniendo en cuenta las ecuaciones [11] y [12]. Observando del
grafico tenemos que: Reemplazando estas expresiones en la
ecuación [10] y operando; Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 29
y Al término entre corchetes lo sustituimos por una
identidad Donde lo determinando del grafico anterior; [14] [15]
Sustituyendo estos valores en la expresión [14]
determinamos la ecuación de movimiento del sistema. En
donde: ; Representa la amplitud de oscilación del sistema
para el estado permanente o estable. ; Es el ángulo de
fase, es decir, el ángulo existente entre el movimiento
(respuesta) y la fuerza exterior (entrada). Antes de realizar el
diagrama de fuerzas actuantes, expresemos las fuerzas que
actúan Mecánica Racional – Rodríguez,
Jonathan Exequiel Página 30
): es ): es en : : FUERZA ELASTICA O DEL RESORTE ( Como: La
amplitud de en la dirección de negativa. FUERZA DE
AMORTIGUAMIENTO ( Para encontrar su amplitud derivemos la
expresión [13] con respecto al tiempo; Démosle otra
forma a la expresión anterior; Por lo tanto la amplitud de
, que se encuentra adelantada a FUERZA DE INERCIA Derivemos la
ecuación [14] con respecto al tiempo; La amplitud de es
adelantada a en . FUERZA EXTERIOR De amplitud adelantada a en .
Mecánica Racional – Rodríguez, Jonathan
Exequiel Página 31
. . Para poder realizar el diagrama de fuerzas actuantes,
analicemos como es la frecuencia forzada con respecto a la
frecuencia natural del sistema En este caso como el ángulo
de fase se encuentra Expresemos estas fuerzas en un
polígono funicular: Analizando el diagrama de fuerzas
actuantes tenemos; Mecánica Racional –
Rodríguez, Jonathan Exequiel Página 32
Podemos expresar que: Por lo tanto Con esto podemos comprobar el
ángulo de fase que determinamos con la expresión
[15] a través de la ecuación diferencial. Lo mismo
vamos hacer para la amplitud. Para determinar la amplitud del
movimiento planteamos b) Fuerzas máximas y mínimas
ejercidas por los resortes y amortiguador sobre la base y
combinación de ellas. Resortes: Donde: : Peso total del
sistema : representa la amplitud del resorte; va ser positiva
cuando la fuerza sea máxima y negativa cuando sea
mínima. Mecánica Racional – Rodríguez,
Jonathan Exequiel Página 33
Amortiguador: Donde: : representa la velocidad de
deformación del resorte; positivo cuando se encuentre
comprimido en la dirección de “ ”positiva y
negativo cuando se encuentre traccionado. Fuerza combinada:
Analicemos el siguiente diagrama; Mecánica Racional
– Rodríguez, Jonathan Exequiel Página
34
. La fuerza combinada es: c) Velocidad de resonancia del sistema
y amplitud de movimiento en esta condición. La velocidad
de resonancia se produce cuando la frecuencia forzada tiende a
igualar a la natural del sistema, es decir (se omiten los
cálculos ya que fueron hallados anteriormente). Para
hallar la amplitud en esta condición lo analizaremos con
el polígono funicular pero para este caso Por lo tanto nos
queda; Mecánica Racional – Rodríguez,
Jonathan Exequiel Página 35
Bibliografía: ? Monografía de la cátedra,
Mecánica Racional, Prof. Ing. Liberto Ercoli, 2005. ?
Dinámica 3ra Edición, Mecánica para
ingenieros; Meriam J.L/ L.G. Kraige ? Mecánica Vectorial;
Beer-Johnston. Softwares utilizados: ? ?Microsoft Word 2007 ?
?Mathematica 6 ? ?Microsoft Paint ? ?Solid Edge Academic V14 ?
AutoCad 2008 Mecánica Racional – Rodríguez,
Jonathan Exequiel Página 36