Modelo de demanda de dinero bajo el enfoque de inventarios de Baumol-Tobin

Este modelo fue desarrollado con los aportes de William J.
Baumol1 (1952) y James Tobin2 (1956). En este modelo el dinero,
que se mantiene para futuras transacciones, se considera como un
inventario del cual el agente representativo dispone de manera
gradual. Sin embargo, el dinero que no es usado genera costos,
los que un agente racional debe reducir lo mas posible. De esta
manera se considera al agente representativo como un agente
racional que busca minimizar costos. Baumol y Tobin partieron de
la hipotesis de que cada familia mantenia parte de su riqueza
como existencias de dinero, mientras que la otra parte podrian
tenerlos en activos financieros que rindan intereses, como por
ejemplo, los bonos. Cada familia tiene parte de su riqueza en
dinero disponible para realizar sus compras programadas o
imprevistas. Si gran parte de su riqueza en dinero los tienen
disponible a la mano podran realizar transacciones con mucha
facilidad ya que el dinero goza de gran liquidez y, ademas, no
tendran que perder tiempo visitando repetidas veces al banco a
retirar dinero. Sin embargo, el dinero no genera intereses por lo
que se estaria perdiendo rendimientos que si generan los bonos,
acciones y ahorros en una entidad bancaria. Asi, cuanta mayor
porcion de la riqueza de cada familia se encuentre, por ejemplo,
en bonos, mayor sera los intereses ganados. Por lo tanto, cada
familia entra en un trade-off ya que por un lado pierden
intereses al tener una fraccion de sus riquezas en dinero y, por
otro lado, las familias reducen sus costos de transaccion que
provienen de tener que convertir sus bonos en dinero cada vez que
quieran realizar compras de bienes o servicios3(Sachs y Larrain,
2002). 2. Los costos Para desarrollar el modelo se considera
algunos supuestos. Una familia recibe ingresos mensuales
nominales y constantes cada inicio de mes igual a q depositados
en una cuenta de ahorros por el que recibe intereses4. Ademas,
tambien se supone que la familia consume todo su ingreso hasta
fin de mes, es decir, al inicio del mes recibe q y a fin del mes
terminara de consumir el valor de q. Sin embargo, la familia, al
recibir q,no retirara de golpe todo su dinero, sino, lo hara por
partes iguales mientras que las otras partes ganan intereses. Por
otro lado, si la proporcion del gasto en consumo se mantiene
constante en el tiempo, siempre que retire parte de sus ahorros
ostos seran constantes e igual a M . Asi, esta familia tendra que
ir al banco de forma periodica a retirar parte de su ingreso del
mes en un monto fijo y equivalente a M . Por lo tanto, el saldo 1
New York (1922). Es Profesor emerito de Princeton University y
del C.V. Starr Center for Applied Economics de New York
University. 2 Champaign (1919). Premio Nobel de Economia. Fue
miembro del Consejo de Asesores Economicos de la Presidencia de
los Estados Unidos y de la Junta de gobierno del Sistema de
Reserva Federal. 3 Estos costos serian: gastos de movilizacion al
banco, costo de oportunidad del tiempo entre otros. 4 Para
efectos de facilitar el entendimiento del modelo se esta
suponiendo que la familia tiene un flujo de ingresos mensuales,
por ejemplo, el depositado por su empleador en una cuenta sueldo
o de ahorro. La familia mantiene su dinero solo en efectivo o en
una cuenta de ahorro.

promedio requerido durante el mes sera igual a M . En la figura
1.a, al inicio de cada mes, la familia recibe un ingreso nominal
igual al q y en el transcurso del mes va retirando, de forma
periodica, una parte de su ingreso igual a M de manera constante.
Suponiendo que la familia retira tres veces y a fin del mes ya no
le queda nada de lo que fue su ingreso q, entonces M + M + M = q.
Sin embargo, por la parte de su ingreso que se mantiene en forma
de ahorro en el banco, la familia recibe una tasa de interes
constante i. Figura 1: Analisis del ingreso nominal En la figura
2.b, se observa que a inicio del mes, la familia retira la
primera porcion M para que los gaste de manera gradual durante el
primer tercio del mes. Una vez agotado, vuelve a ir al banco a
retirar un tercio adicional. El ciclo continua hasta que al fin
de mes ya no le queda nada de su ingreso. Ademas, dado que
consume de manera gradual, el saldo promedio requerido durante el
mes para sus gastos es de M . Esta cifra no varia, incluso cuando
la familia desea retirar su dinero muchisimas veces en un monto
constante, el saldo promedio requerido siempre sera M como se
observa en la figura 2.b5. Ahora, se requiere determinar el valor
de M tal que minimice los costos totales CT que es la suma de los
costos de transacciones CT por tener que ir al banco y hacer
efectivo el retiro de dinero y los costos de oportunidad Ci en el
que incurre la familia por tener dinero en la mano y no en el
banco ganando intereses. A continuacion se definen estos dos
tipos de costos. 5 Suponiendo que la familia recibe S/. 30 y
gasta S/. 1 por dia . A inicio del retiro (t) tendra S/. 30, en
el siguiente dia (t+1) tendra S/. 29 ya que gasto S/. 1. De esta
manera, casi al final del mes tendra S/. 1 y, finalmente, S/. 0.
Ahora el promedio es (30+29+28+…+1+0)/31. Esto es igual a S/.
15 que es la mitad de S/. 30.

Si la familia siempre retira un monto de dinero M y tiene un
ingreso total de q, el numero de visitas, logicamente, sera el
cociente, es decir q . Ahora, considerando el supuesto adicional
de la existencia de un costo fijo B en el que se incurre por cada
unidad de transaccion, el costo total de retirar dinero o el
costo de transacciones sera: CT = B q M (1) Note que B es un
precio constante, es decir, se esta suponiendo que a la familia
siempre le cuesta B u.m todo un proceso de ir y retirar dinero
del banco. Esta ecuacion muestra una relacion negativa entre el
taman~o del monto de dinero a retirar y el costo de transaccion.
Es decir, a medida que se incrementa el monto de dinero que la
familia debe sacar del banco en cada retiro se reducira el costo
de transaccion. 2.2. Costos de oportunidad El otro costo en el
que la familia debe incurrir son los costos de oportunidad del
dinero mantenido en efectivo Ci . Este costo es recogido por los
intereses que la familia deja de percibir por tener el dinero en
sus manos y no en el banco. Asi la cantidad de dinero promedio
mantenido por la familia durante el mes M debe multiplicarse por
un precio que es la tasa de interes nominal. Ci = i M 2 (2) Esta
ecuacion muestra una relacion positiva entre en taman~o del monto
de dinero a retirar y el costo de oportunidad. Es decir, a medida
que se incrementa el monto de dinero que la familia debe sacar
del banco en cada retiro tambien se incrementara los costos de
oportunidad. 2.3. Optimizacion de costos totales Finalmente, el
costo nominal total de mantener dinero en efectivo es la suma de
ambos costos: CT = CT + Ci (3) Reemplazando las ecuaciones 1 y 2
en 3: CT = B q M M + i 2 (4) La ecuacion nos indica que si la
familia incrementa el retiro del monto de dinero M y, por lo
tanto, realiza menos visitas al banco (pocas transacciones
durante el mes), entonces sus costos de transaccion disminuiran
CT , sin embargo, la misma ecuacion nos indica que sus costos de
oportunidad se incrementaran. Entonces, ¿que debe hacer la
familia? Normalmente, la familia optimizara sus costos, en este
caso, buscara el monto adecuado que debe retirar tal que sus
costos totales sean lo menos posible.

Estos costos se pueden representar en la figura 2. Figura 2:
Monto de retiro optimo Costos nominales A CT * CT (B, q, i) = Ci
+ Ct Ci (i) i / 2 M * CT (B, q) M Monto de retiro En el eje de la
ordenada se encuentran el costo total, el costo de transacciones
y el costo de oportunidad del dinero. En el eje de la abscisa se
encuentra la cantidad de dinero que la familia retira en cada
visita al banco. Cuando los costos de transacciones son mayores a
los costos de oportunidad del dinero, la curva de costos totales
tiene una pendiente negativa por lo que, a medida que la familia
incrementa la cantidad de dinero que retirara, los costos totales
disminuyen. Sin embargo, en el punto A de la curva de los costos
totales, se registra el costo minimo CT en el que la familia
podria incurrir si es que eligiera retirar una cantidad de dinero
M . Por otro lado, cuando los costos de oportunidad son mayores a
los costos de transaccion, el costo total empieza a incrementarse
por cada monto de dinero M mayor que el anterior. Aplicando
derivadas parciales a la ecuacion 4 se obtendra el monto de
dinero optimo que debe retirar la familia tal que sus costos sean
lo menos posible6. aCT aM aCT aM q B M 2 = 0 = -B q M 2 i = 2 i +
= 0 2 Finalmente se obtiene el monto de dinero optimo que debe
retirar la familia 6 Este es posible debido a que la funcion de
costo total tiene la forma de U y, por lo tanto, registra un solo
punto minimo.

cada vez que vaya al banco: M = 2Bq i (5) Ademas, note que la
cantidad optima de retiros durante el mes que la familia debe
efectuar es igual a q . Matematicamente, a medida que M se
incrementa de manera indefinida, las curvas de costos totales y
costos de oportunidad tienden a converger: lim M q M CT = B + i M
2 M CT = i 2 , para M CT = Ci , para M ? 8 3. La demanda de
dinero 3.1. Ecuacion de la demanda de dinero Para Sachs y Larrain
(2002) "La demanda de dinero se define como la cantidad de dinero
promedio que se mantiene durante el mes", es decir, la demanda de
dinero nominal M d es igual a M . De esta manera, la demanda de
dinero por parte de la familia optimizadora sera aquella cantidad
de M que minimiza sus costos de tener dinero. Ahora, dado que la
demanda de dinero M d es igual a ( M , entonces si se multiplica
por 1 2 a ambos lados de la ecuacion 5 se obtendra la demanda de
dinero optimo M d,. M 1 = 2 2 2Bq i 1/2 1/2 M d, = 1 2 2Bq i Para
encontrar la demanda de dinero real optimo M d, se dividen a
ambos lados de la ecuacion entre el nivel de precios P y, ademas,
se multiplica y divide por P a las variables B y q: 1 2 P P M d,
= 1 2P 2 ( B q . P 2P i En esta ecuacion, ( B es el costo real
fijo por unidad de transaccion y se puede representar por b y q
es el ingreso real de la familia al que se puede representar por
q. Finalmente, se obtiene la demanda de dinero optimo en terminos
reales:

Para confirmar que la demanda de dinero real optimo es producto
de un proceso optimizador, exprese la ecuacion 4 de costo total
nominal en terminos reales simplemente dividiendo entre el nivel
de precios P : bq ct = 2md + imd (7) Donde ct es el costo total
real y ct es el costo total real optimo. De la ecuacion 7 se
puede afirmar que a la familia solo le interesa el poder
adquisitivo del dinero y no el valor nominal. A esta
caracteristica de la demanda de dinero se le conoce como la
ausencia de ilusion monetaria (Sachs y Larrain, 2002). Asi, si el
nivel de precios se duplica, mantenido constate el resto de
variables, la demanda de dinero nominal tambien se duplicara para
mantener la igualdad de dicha ecuacion. Minimizando los costos
reales en la ecuacion 7 se Figura 3: Demanda de dinero optimo
Costos reales

Esta ultima ecuacion es igual que la ecuacion 6 obtenida
anteriormente. De esta manera se confirma que la demanda real de
dinero optimo es producto de un proceso optimizador. La figura 3
muestra la demanda de dinero real optimo ubicado en el eje de la
abscisa y los costos reales en el eje de la ordenada. A medida
que el costo total de transaccion real sea mayor que el costo de
oportunidad, la familia incrementara su demanda real de dinero.
Finalmente, si el costo de oportunidad supera los costos totales
de transaccion la familia reducira su demanda real de dinero. La
demanda de dinero real optimo para la familia sera cuando ambos
costos sean iguales. Finalmente, se puede concluir la siguiente
funcion de la demanda de dinero: md, = M d, M d, = b , q , i P P
+ + – Donde la cantidad de demanda real de dinero por parte de la
familia resulta de un proceso optimizador. Esta depende de manera
positiva de las variaciones de costo real por unidad de
transaccion y las variaciones del ingreso real y depende de
manera negativa de las variaciones de la tasa de interes. Note
que la demanda real de dinero depende de manera negativa de la
tasa de interes nominal y no del real. 3.2. Elasticidad de la
demanda de dinero Para evaluar el efecto cuantitativo que tienen
las variables determinantes sobre la demanda real de dinero, la
ecuacion 6 se puede expresar en terminos de logaritmos: ln (md, =
1 ln(b) + 1 ln(q) 1 ln(i) 1 ln 2. 2 2 2 2 De la ecuacion se puede
inferir que la elasticidad ingreso real de la demanda de dinero
es de 0, 5. Asi, un incremento del ingreso real provoca una
disminucion de la razon dinero-ingreso y un incremento en la
demanda real de dinero en 50 % del incremento del ingreso real.
La elasticidad interes de la demanda de dinero es de -0,5. 3.3.
Velocidad de circulacion del dinero La velocidad de circulacion
del dinero v, entendido como el numero de veces que cambia de
mano una unidad monetaria en un determinado periodo puede ser
representada como el numero de veces que la familia acude a la
entidad

bancaria a retirar dinero, es decir, q . Asi, el numero de veces
que vaya al banco sera tambien el numero de veces que recibe
dinero en el banco, es decir, el dinero llega a manos de la
familia. Ahora q, que es el ingreso mensual de la familia, puede
ser interpretado como el valor del nivel de produccion en
terminos nominales que puede adquirir la familia. Ademas de ello,
M es la cantidad de dinero que hay disponible para la familia
toda vez que retira su ingreso en partes iguales a M . Entonces
inicialmente se puede plantear la siguiente ecuacion: q v = = M
q/P M/P (8) Remplazando la ecuacion 6 de demanda de dinero optimo
en la ecuacion 8 se obtiene la velocidad de circulacion del
dinero que es un optimo. v = q/P = 2q 2q ( 2bq 1/2 2( B q 1/2 =
2Bq 1/2 2 P 1/2 P )( P ) i 1/2 -1/2 i 1/2 1/2 v = 2q(i) 2q(i)
(2q) (2q) (i) (2Bq)1/2 = 1/2 B1/2 = B1/2 v = 2qi B De esta manera
la velocidad del dinero en el modelo de Boumol-Tobin se obtiene
como parte del proceso optimizador de la familia. 4. Estatica
comparativa 1.Evalua los efectos del incremento de la tasa de
interes en la demanda real de dinero y los costos totales reales
optimos: El incremento de la tasa de interes afecta, en primer
lugar, al costo de oportunidad del dinero de manera positiva. Por
lo tanto, la pendiente de la curva de Ci se vuelve mas positiva
pasando de Ci (i1) a Ci (i2) como se aprecia en la siguiente
figura. Luego, la curva de costos se traslada hacia arriba
ubicando un nuevo punto minimo. Finalmente, la demanda de dinero
optimo disminuye, mientras que el costo total real optimo se
incrementa. Matematicamente se puede demostrar la evaluacion
grafica. Aplicando diferenciales a la funcion de la demanda real
de dinero se obtiene la siguiente ecuacion: md = md (b, q, i) dmd
= md db + md dq + md di b q i Si b y q se mantienen constantes
para evaluar el efecto de i, entonces db = 0 y dq = 0, por lo
tanto dm = md < 0. Esto es posible ya que md, es el valor de
di i equilibrio de ambos costos.

De manera mas particular podemos resolver partiendo de la
ecuacion de demanda de dinero real: md, = bq 2i md, = bq 2i 1/2
Aplicando derivadas parciales se obtiene el resultado esperado:
amd, ai = 1 2 bq 1/2 2 i1/2 < 0 Esta ultima ecuacion indica
que el efecto es negativo, es decir, la demanda de dinero real
disminuye conforme la tasa de inetes aumenta. Para observar los
cambios en los costos reales se puede utilizar directamente la
funcion de costo total real: Reemplazando ct = bq 2md + imd 1/2
md, = bq 2i en la ecuacion anterior y, luego, utilizando las
derivadas parciales se obtiene el resultado esperado: act = ai bq
1/2 2 1 2i1/2 ib2q2 + 8 > 0. Esta ultima ecuacion indica que
el impacto es positivo, es decir, los costos totales reales se
incrementan conforme se eleva la tasa de interes nominal.

Bibliografia [1] Baumol, William J., The Transactions Demand for
Cash: An Inventory Theoretic Approach.,The quarterly Journal of
Economics,Vol. 66,No. 4, pp. 545-556, 1952. [2] Tobin, James, The
isterest-Eslasticity of Transactions Demand for Cash., The Review
of Economics and Statistics, 38(3), pp. 241-247, 1956. [3] Sachs,
Jeffrey y,Larrain, Felipe, Macroeconomia en la Economia Global.
2da edit. Buenos Aires, Pearson Education, 2002.