La planeación de las actividades para obtener un resultado optimo
Trabajo a
desarrollar
Desarrolle el proceso completo de
formulación, modelación, solución y toma
de decisiones con dos ejercicios aplicándole a cada
uno de ellos las metodologías SIMPLEX, DUAL y la
prueba de sensibilidad, el ejercicio de carácter
Practico, debe ser desarrollado teniendo en
cuenta:
1.1 Construcción del Modelo
1.2. Elección y Formulación de las
Variables
1.3. Evaluación y Formulación de las
Restricciones
1.4 Formulación de la Función
Objetivo
1.5 Desarrollo del Método
1.6 Obtención de Resultados y Toma de decisiones
orientado a la organización.
Desarrollar un informe en el que se vinculen los
incisos anteriores, el mismo debe contar con los siguientes
elementos:
2.1 Portada
2.2 Introducción
2.3 Problemas asociados a Modelos SIMPLEX, DUAL y
sensibilidad
2.4 Conclusiones generales.
2.5 Bibliografía.
La programación lineal dentro de su marco
teórico tiene como objetivo el de formular, obtener y
analizar soluciones a problemas como apoyo a la ingeniería
y a la industria, con el fin de optimar recursos de los cuales se
dispone. Además, proporciona herramientas para la
construcción de modelos matemáticos y la
conceptualización de las distintas formas de
presentación de un problema.
Estos problemas pueden surgir cuando deba elegirse el
nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos
para realizarlas. En términos definitivos, trata de la
planeación de las actividades para obtener un resultado
optimo.
Solución
EJERCICIO 1
Si introducimos las variables de holgura en nuestro
ejemplo, nos queda:
Prueba de optimalidad:
Iteración 1: determinación de la
dirección de movimiento (paso 1 de una
iteración):
Se la denomina variable básica
entrante.
Iteración 1: Determinación de donde
detenerse (paso 2):
Iteración 1: Solución
(paso3)
El propósito de este paso es convertir el sistema
de ecuaciones a una forma más conveniente para llevar a
cabo la prueba de optimalidad. El sistema de ecuaciones que
tenemos es:
Para convertir los coeficientes de –5 y 2 en
ceros, es necesario usar el segundo tipo de operación
algebraica elemental. En este caso, se suma a la ecuación
(0) esta nueva ecuación (2*) multiplicada por 5, y se
resta de la ecuación (3) esta nueva ecuación (2*)
multiplicada por 2.
El nuevo sistema de ecuaciones
resulta:
Iteracion2: solución óptima que
resulta:
Esto lleva al siguiente sistema de
ecuaciones:
Restricciones
En estos casos se utilizara la técnica de la
variable artificial, que se mostrara con el siguiente
ejemplo.
Como en la ecuación (3) no hay variable de
holgura para usar como variable básica inicial y obtener
la BF inicial, habrá que construir un problema
artificial que tenga la misma solución óptima
que el problema real.
Se aplica la técnica de la variable artificial:
se introduce una variable artificial en la ecuación (3)
como si fuera una de holgura:
Análisis de
sensibilidad.
El propósito principal del análisis de
sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, es
decir aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la
solución óptima.
¿Como se identifican los parámetros
sensibles? En el caso de las bi, esta información esta
dada por los precios sombra que proporciona el método
Simplex. Cuando yi* > 0, entonces la solución optima
cambia si bi lo hace; por lo que bi es un parámetro
sensible. Si yi* = 0 la solución optima no es sensible a
cambios pequeños de bi. De esta manera, si el valor que se
utiliza para los bi es una estimación de la cantidad de
recurso que se tendrá disponible, los valores de bi que se
deberán controlar con sumo cuidado son aquellos
precios sombra positivos, en especial aquellos que
tengan precios sombra grandes.
Cuando el problema tiene dos variables, la sensibilidad
de los distintos parámetros se puede analizar con una
gráfica. Por ejemplo en la figura 7.2 se puede observar
que c1= 3 puede cambiar a cualquier valor dentro del intervalo 0
a 7.5 sin que cambie la solución optima (2,6). Esto se
debe a que cualquier valor de c1 dentro de ese intervalo mantiene
la pendiente de Z = c1x1 + 5×2, entre las pendientes de las
líneas 2×2 = 12, y 3×1 +2×2 = 18.
De la misma manera si c2 = 5, es el
único parámetro que se cambia, puede tomar
cualquier valor mayor que 2 sin que afecte a la solución
optima. Entonces ni c1 ni c2 son parámetros
sensibles.
La manera mas fácil de analizar la sensibilidad
de los aij es verificar si su restricción correspondiente
es de atadura en la solución optima.
EJERCICIO 1
Minimizar Z = 4X1 + 12X2 + 18X3
X1 + 3X3 = 3
2X2 + 2X3 = 5
X1, X2, X3 = 0
Multiplicando todo por -1
Solución: Max. Z = -4×1 – 12×2
– 18×3
-X1 – 3X3 = -3
-2X2 – 2X3 = -5
X1, X2, X3 = 0
Se convierten las inecuaciones en
ecuaciones.
Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0
-X1 – 3X3 + S1 = -3
-2X2 – 2X3 + S2 = -5
Se determinan las variables básicas
y no básicas:
Variables Básicas: S1 y
S2
Variables no Básicas: X1, X2 y
X3
Nuevas filas = Fila anterior –
coeficiente de la columna pivote x nueva fila pivote
No hay más iteraciones cuando no
existan soluciones con coeficientes negativos
El valor mínimo se alcanza para un
X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36
Conclusiones
La programación lineal enmarca el desarrollo de
nuevos métodos que respondan de manera rápida y
confiable, a problemas que se puedan presentar en la
cotidianidad. Una técnica como la investigación de
operaciones la cual pase a ser una base en la toma de decisiones,
dado que proporciona un conjunto de métodos altamente
efectivos para la consecución de un gran numero de
soluciones viables para un caso cualquiera.
Entonces, la programación lineal es simplemente
sacar de una situación (problema) ecuaciones lineales, y
convertirlas en desigualdades o inecuaciones para poder
graficarlas. De esta manera, sacar la región mas optima
dependiendo del signo de la desigualdad, esa área se
sombreará, y será la solución optima del
problema.
Bibliografía
METODO SIMPLEX: SOLUCION DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACION LINEAL.
http://davinci.ing.unlp.edu.ar/produccion/catingp/Capitulo%207%20METODO%20SIMPLEX.pdfGuía didáctica: Métodos
Determinísticos. Autor. Ing. Oscar Javier
Hernández Sierra. Agosto 24 de 2012. Universidad
Nacional Abierta y a Distancia
Autor:
Inocencio Meléndez Julio.
Magíster en Administración
Magíster en Derecho
Doctorando en Derecho Patrimonial: La
Contratación Contemporánea.