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Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes




Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes - Monografias.com

Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

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En donde si Monografias.comla ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si Monografias.comentonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.

Principio de Superposición o linealidad

Sean Monografias.comsoluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces la combinación lineal de estas es:

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También es solución de dicha ecuación diferencial

Dependencia e Independencia lineal

Se dice que las funciones Monografias.comson linealmente independientes si la única solución de la ecuación

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Donde Monografias.com

En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.

Wronskiano

Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones Monografias.composeen al menos Monografias.comderivadas, entonces el Wronskiano está dado por:

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Para el caso de tres funciones

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Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.

Dado un conjunto de soluciones Monografias.comde una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que

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Ejemplo ilustrativo

Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo Monografias.com

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Remplazando valores en

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Se tiene

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Resolviendo el determinante de orden 3 por el método de Sarrrus

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ComoMonografias.comentonces, las funciones son linealmente independientes

Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:

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Y tiene como solución general la función Monografias.compor lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:

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Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.

1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir Monografias.comentonces la solución general tiene la forma

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2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir Monografias.comentonces la solución general tiene la forma

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3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,

Monografias.comes una raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz conjugada Monografias.comtambién es una raíz compleja de multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se tiene como solución general

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Ejemplos ilustrativos

1) Resolver Monografias.com

Solución:

La ecuación auxiliar es: Monografias.com

Factorando se tiene

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Las raíces son

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Entonces la solución general es

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Graficando para valores arbitrarios Monografias.comse obtiene:

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2) Comprobar que Monografias.comes la solución de Monografias.com

Solución

Calculando la primera derivada de Monografias.com

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Calculando la segunda derivada

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Calculando la tercera derivada

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Remplazando valores en

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Como se quería comprobar

3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es: Monografias.com

Solución:

Se observa que

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Entonces

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Por lo tanto al eliminar los paréntesis se obtiene la ecuación auxiliar

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Entonces la ecuación pedida es Monografias.com


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