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Ecuaciones diferenciales de segundo orden




Ecuaciones diferenciales de segundo orden - Monografias.com

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

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Si Monografias.com

se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo

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Si Monografias.com

se llama Ecuación no homogénea, como por ejemplo

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1) DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA LINEAL

Se dice que las funciones Monografias.comson linealmente independientes si la única solución de la ecuación

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Donde Monografias.comEn caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.

Ejemplos:

1) Las funciones Monografias.com; Monografias.compara ser linealmente independientes debe cumplir

Monografias.com

Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Monografias.com

Como los únicos valores posibles de Monografias.compara que cumpla la igualdad es Monografias.comentonces las funciones Monografias.com; Monografias.comson linealmente independientes

2) Las funciones Monografias.com; Monografias.compara ser linealmente independientes debe cumplir

Monografias.com

Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Monografias.com

Como uno de los posibles valores de Monografias.compara que cumpla la igualdad pueden ser Monografias.comentonces las funciones Monografias.com; Monografias.comson linealmente dependientes

Si Monografias.comson soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

Monografias.com, entonces, la solución general es

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Donde Monografias.comson las constantes

Además por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma

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Entonces

Monografias.com

Remplazando en Monografias.comse tiene

Monografias.com

Factorando

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Como Monografias.comnunca se anula, Monografias.comes una solución si y solo si Monografias.com

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación diferencial Monografias.com

Solución:

Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye Monografias.compor Monografias.com, Monografias.compor Monografias.com, e Monografias.compor 1 para obtener una ecuación de la forma Monografias.com

Por lo tanto la ecuación característica de Monografias.comes Monografias.com

Resolviendo la ecuación se tiene Monografias.com

Entonces

Monografias.com

Monografias.com

Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

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Graficando para valores arbitrarios Monografias.comse tiene

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Para comprobar la respuesta, se deriva la función, para lo cual en GeoGebra

a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas opciones.

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b) Se escoge la opción Derivada[(Función)]

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c) Escribir f(x)

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d) Enter. Clic en la círculo de g(x) para que se borre la gráfica de g(x).

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Para calcular la segunda derivada de f(x), se deriva g(x) y se obtiene Monografias.com

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Para comprobar que Monografias.comes la solución de Monografias.com

Reemplazando valores en Monografias.com

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Eliminando denominadores

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Eliminando paréntesis

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Reducción de términos semejantes

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Como se quería comprobar

2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:

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La ecuación característica o auxiliar es de la forma

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Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general

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Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.

1) Primer caso: raíces reales y diferentes

Discriminante positivo Monografias.comEntonces Monografias.comson raíces reales y diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones particulares o fundamentales

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La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones fundamentales

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Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial Monografias.com

Solución:

La ecuación característica o auxiliar es

Monografias.com

Al resolver la ecuación auxiliar se tiene

Monografias.com

Luego las soluciones particulares son

Monografias.com

Monografias.com

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

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Ejemplo 2

Resolver la ecuación Monografias.compara Monografias.com

Solución

La ecuación auxiliar es

Monografias.com

Resolviendo la ecuación anterior

Monografias.com

Luego las soluciones particulares son

Monografias.com

Monografias.com

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

Monografias.com

Remplazando la primera condición Monografias.comen la solución general

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Para remplazar la segunda condición Monografias.comse deriva la solución general

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Resolviendo el sistema

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular

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Graficando la solución particular se tiene

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2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales

Discriminante cero Monografias.comEntonces Monografias.comson raíces reales e iguales. En este caso la solución general es

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Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial Monografias.com

Solución:

La ecuación característica o auxiliar es Monografias.com

Al resolver la ecuación auxiliar se tiene

Monografias.com

Luego la solución general es

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3) Tercer caso: raíces complejas

Discriminante negativo Monografias.comEntonces Monografias.comson raíces complejas conjugadas.

Remplazando en Monografias.comtenemos:

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Multiplicación de igual base

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Factor Común

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Como Monografias.comy Monografias.com

Remplazando

Monografias.com

Operando

Monografias.com

Factorando

Monografias.com

Como Monografias.comy Monografias.com

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Finalmente se obtiene la solución general

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Ejemplo 1:

Resolver la ecuación diferencial Monografias.com

Solución:

La ecuación característica o auxiliar es Monografias.com

Resolviendo la ecuación auxiliar

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Como

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La solución general es Monografias.com

Monografias.com

Graficando para un valor arbitrario de Monografias.comse tiene

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Ejemplo 2

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Solución:

La ecuación auxiliar es Monografias.com

Resolviendo la ecuación auxiliar

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando en

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando la primera condición Monografias.comen la solución general

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Para remplazar la segunda condición Monografias.comse deriva la solución general

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando en la solución general

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3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma

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La solución general es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria Monografias.comy una solución particular Monografias.com

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La solución complementaria Monografias.comsatisface la ecuación homogénea

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Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes

La solución particular Monografias.comsatisface la ecuación no homogénea

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Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados.

En estas condiciones, de acuerdo a la forma de Monografias.comla solución particular Monografias.comtiene los siguientes casos

1) Si Monografias.comentonces,

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Ejemplos:

Si Monografias.comentonces,

Monografias.com

Si Monografias.comentonces,

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2) Si Monografias.comentonces,

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Ejemplos:

Si Monografias.comentonces,

Monografias.com

Si Monografias.comentonces,

Monografias.com

Si Monografias.comentonces,

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3) Si Monografias.com, entonces

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Ejemplos:

Si Monografias.com, entonces,

Monografias.com

Si Monografias.com, entonces,

Monografias.com

Si Monografias.com, entonces,

Monografias.com

Si Monografias.comentonces,

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Ejemplos ilustrativos

Ejemplo 1

Hallar la solución general de Monografias.com

Solución:

La solución general es de la forma Monografias.com

a) Resolviendo Monografias.com

La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,

Monografias.com

La ecuación auxiliar es Monografias.com

Resolviendo la ecuación auxiliar

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando en Monografias.com

Monografias.com

b) Resolviendo Monografias.com

Como Monografias.comentonces Monografias.com

La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

Monografias.com

Calculando la primera y segunda derivada para Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando en Monografias.com

Monografias.com

Eliminando paréntesis

Monografias.com

Agrupando

Monografias.com

Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces

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Resolviendo el sistema. Despejando de la primera ecuación Monografias.com

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Remplazando el valor de A en la segunda ecuación Monografias.com

Monografias.com

Remplazando valores en la tercera ecuación Monografias.com

Monografias.com

Por lo tanto al remplazar en Monografias.comse tiene

Monografias.com

Finalmente la solución general es

Monografias.com

Ejemplo 2

Hallar la solución general de

Monografias.com

Solución:

La solución general es de la forma Monografias.com

a) Resolviendo Monografias.com

La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,

Monografias.com

La ecuación auxiliar es Monografias.com

Resolviendo la ecuación auxiliar

Monografias.com

Monografias.com

Luego las soluciones particulares son

Monografias.com

Monografias.com

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

Monografias.com

b) Resolviendo Monografias.com

Como Monografias.comentonces Monografias.com

La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

Monografias.com

Calculando la primera y segunda derivada para Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando en Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Igualando los coeficientes se tiene

Monografias.com

Monografias.com

Resolviendo el sistema

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Remplazando los valores encontrados en

Monografias.com

Monografias.com

Finalmente la solución general es

Monografias.com

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