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Ejercicios de probabilidad






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A) 1 3 Ejericicios de probabilidad TALLER II. Solución ejercicios de Probabilidad 1) Eventos: A: cumple especificaciones de llenado B: Por debajo del llenado establecido C: Por encima del llenado esperado Si P(B) ? 0.001 , y P(A) ? 0.990 entonces a) Como P(AóBóC) ? P(A) ? P(B) ? P(C) ? 1 Entonces P(C) ? 1 ? P(A) ? P(B) ? 1 ? 0.990 ? 0.001 ? 0.009 b) P(AóC) ? P(A) ? P(C) ? 0.990 ? 0.009 ? 0.999 c) P(BóC) ? P(B) ? P(C) ? 0.001 ? 0.009 ? 0.01 2) 100 estudiantes. 24: Matemáticas, 68 Sicología, 54 Historia 22: Matemáticas y Historia 25: Matemáticas y Sicología 7: Historia pero no matemáticas ni sicología 10: Las tres asignaturas 8: ninguna de las tres asignaturas Diagrama de Venn para los datos: P(M y H dado S) ? 10 68 ? 0.147 ? 14.7% B) P(M y H dado S) ? 12 5 ? 12 ? 7 ? 0.5 ? 50% 3) Aplicación del Teorema de Bayes. Sean: M: turno matutino, FH: fallas humanas, Datos: V: turno vespertino, N: turno nocturno CI: condiciones inseguras P(M ) ? P(V ) ? P( N ) ? , P(CI dado M) ? 0.05 , P(FH dado M) ? 0.32

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b) 1 1 1 1 1 ? 1 3 1 1 2 5) , , 1 2 3 y 1 7 a) 1 3 2 2 1 5 ? ? 3 4 4 1 P(CI dado V) ? 0.06 , P(FH dado V) ? 0.25 P(CI dado N) ? 0.02 P(FH dado N) ? 0.30 a) P(M ) ? 1 3 P( FH ) ? P( FH dado M) ? P(M) ? P(FH dado V) ? P(V) ? P(FH dado N) ? P(N) ? 0.32 ? ? 0.25 ? ? 0.30 ? ? 0.29 ? 29% 3 3 3 c) P(V y CI) ? P(CI dado V) ? P(V ) ? 0.06 ? ? 0.02 ? 2% 3 d) P(M dado FH) ? P( FH dado M) ? P(M) P( FH ) 0.32 ? 3 ? 0.3678 ? 36.78% 0.29 4) Marcas de Té: A, B, y C Sean los eventos: D: catador o probador M: la marca A es la más deseable M : la marca A es la menos deseable Los eventos A , B y C son mutuamente excluyentes e independientes al evento D ya que el catador no diferencia entre una marca y otra, en tal caso todas las marcas de Té tienen la misma probabilidad de ser escogidas y por lo tanto: P( A dado D) ? P( A) ? a) P(M ) ? 1 3 b) P(M ) ? P(B ó C) ? P(B) ? P(C) ? ? ? 3 3 3 Tres virus A, B y C Sea E: el evento enfermedad Datos: 3 tubos con virus A, 2 tubos con virus B y 5 tubos con virus C Entonces P( A) ? 3 10 P(B) ? 2 10 y P(C) ? 5 10 además se sabe que P(E dado A) ? , 3 P(E dado B) ? P(E dado C) ? Luego: P( E ) ? P( E dado A) ? P( A) ? P( E dado B) ? P(B) ? P(E dado C) ? P(C) ? ? ? ? ? ? ? 0.3047 ? 30.47% 3 10 3 10 7 7 b) P(C dado E) ? 1 5 P( E dado C) ? P(C) 7 10 P( E ) 0.3047 ? 0.2344 ? 23.44% 6) Luis dice la verdad: LV Luis dice mentira: LM P(LV) ? P(LM) ?

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5 1 ? ? ? ? 7) ? 8 15 7 25 ? ? 15 40 25 40 ? a) ? , 15 8 11C3 ) ) 38 69 a) Toño dice la verdad: TV P(TV) ? y P(TM) ? 6 6 P?(LV y TM) ó (LM y TV)? ? P(LV y TM) ? P(LM y TV) ? P(LV) ? P(TM) ? P(LM)? P(TV) ? 3 1 1 5 8 4 6 4 6 24 ? 33.33% 40 alumnos. 25 hombres de los cuales 7 hablan inglés 15 mujeres de las cuales 8 hablan inglés. Eventos: H: hombre , M: mujer , P(H) ? 25 40 , P(M) ? 15 40 I: habla inglés I : No habla inglés P(I) ? 1 ? P(I) ? 1 ? ?P(I dado M) ? P(M) ? P(I dado H) ? P(H)? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 0.625 ? 6.25% b) P(M) ? 15 40 c) P(H y I ) ? P(I dado H) ? P(H) ? 7 25 25 40 ? 0.175 ? 1.75% d) P(I dado M ) ? ? 0.5333 ? 53.33% 8) De 16 radios. 5 de ellos defectuosos y 11 buenos, se escoge una muestra de 3. Es un problema de distribución hipergeometrica a) P(ningunodefectuoso ? P(3 buenos ? ? 0.2946 ? 29.46% 16C3 b) P(1bueno y 2 defectuoso ) ? ?5C1?? ?11C2? ? 0.491 ? 49.1% 16C3 9) Completar la tabla con totales por filas y por columnas Analgésico Capsulas Tabletas Total % de ventas 57 43 100 % dosis fuerte 38 31 69 Total 95 74 169 Sean. DF: dosis fuerte , C: capsulas y T: tabletas a) P(DF ) ? 69 169 ? 0.4082 ? 40.82% b) P(C dado DF ) ? ? 0.55 ? 55% 10) Aplicación del Teorema de Bayes. Sean los eventos: S: el despertador suena , S : El despertador no suena T: Llegar tarde Datos: , t: llegar temprano P(S ) ? 0.8 , P(S ) ? 0.2 , P(T dado que S) ? 0.2 , P(t dado que S) ? 0.8 P(T dado que S) ? 0.9 , P(t dado que S) ? 0.1 P(T y S) ? P(T dado S) ? P(S) ? (0.2)(0.8)? 0.16 ? 16%

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b) c) ? ? ? d) , , ? ? a) ? ? a) ? a) ? P(t ) ? P(t dado S) ? P(S) ? P(t dado S) ? P(S) ? 0.8(0.8)? 0.1(0.2) ? 0.66 ? 66% P(S dado que T) ? 0.2(0.8) 0.2(0.8) ? 0.9(0.2) P(T dado S) ? P(S) P(T) ? 0.47 ? 47% 0.2(0.8) P(T dado S) ? P(S) ? P(T dado S ) ? P(S ) P(S dado que t ) ? P(t dado S ) ? P( S ) 0.1(0.2) P(t) 0.66 ? 0.030 ? 3% 11) Viajan 120 personas: 48 hablan inglés, 36 hablan francés y 12 hablan los dos idiomas. Sean los eventos: I : Habla inglés I : No habla inglés, F: habla francés Datos: P(I) ? 48 120 P(F) ? 36 120 P(F y I) ? 12 120 P(I ó F) ? P(I) ? P(F) - P(F y I) ? 12 48 36 12 120 120 120 ? 0.6 ? 60% b) P(F dado I) ? P(F y I) 120 12 P(I) 48 48 ? 0.25 ? 25% c) P(F y I ) ? 24 120 120 ? 0.2 ? 20% 12) Datos: 3% de los artículos son defectuosos Sean los eventos: D: artículos defectuosos B: artículos buenos Entonces: P(D) ? 0.03 y P(B) ? 0.97 P(D y D) ? P(D) ? P(D) ? 0.03(0.03) ? 0.0009 b) P(B y B) ? P(B) ? P(B) ? 0.97(0.97) ? 0.94 ? 94% c) P(BD ó DB) ? P(BD) ? P(DB) ? P(B) ? P(D) ? P(D) ? P(B) ? 0.97(0.03) ? 0.03(0.97) ? 0.058 13) Sean los eventos: A: cambio de aceite, F: cambio de filtro D: cambio de aceite y cambio de filtro Datos: P(A) ? 0.25 , P(F) ? 0.40 , P(D) ? 0.14 P(F dado A) ? P(F y A) 0.14 P(A) 0.25 ? 0.56 ? 56% b) P(A dado F ) ? P(A y F) 0.14 P(F) 0.40 ? 0.35 ? 35% 14) ** Sean los eventos CC: confiabilidad de que sea culpable. P(CC) ? 0.90 CI: confiabilidad de que sea inocente. P(CI) ? 0.99 C: realmente culpable. P(C) ? 0.05 “C”: El suero indica que es culpable. P("C") ? P(C) ? P(CC ) I: realmente inocente I / "C" : Es culpable y se le considera inocente. P(I / "C") ? 0.10

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? ? ? ? "C" / I : Es inocente y se le considera culpable. P("C" / I ) ? 0.01 Cuál es probabilidad de que sea inocente siendo que el suero indica que Es culpable ? P(I dado "C" ) ? P( "C" dado I) P("C") 0.01 0.01 P(C) ? P(CC) 0.05(0.99) ? 0.222 ? 22.2% Nota. A mi juicio, este tipo de probabilidades, y en Lógica, las reglas de inferencia, en particular los silogismos, las tautologías y las falacias, son claves en la formación de profesionales en cualquier rama del derecho. 15) Sean los eventos: F : Clientes con fondos. F : Clientes sin fondos , E: fecha equivocada Datos: P(E dado F) ? 0.001, P(E dado F) ? 0.999 P( F ) ? 0.90 , P( F) ? 0.10 Si el cheque tiene fecha equivocada, cual es la probabilidad de que sea de un cliente sin fondos? P( F dado E) ? P( F y E) P(E) P( E dado F) ? P(F) P(E dado F) ? P(F) ? P(E dado F) ? P(F) 0.999(0.10) 0.999(0.10) ? 0.001(0.90) ? 0.991 ? 99.1% 16) Sean los eventos: S: El espacio muestral. p: Vieron la película , d: vieron el debate p y d : No vieron ninguno de los dos programas p y d: vieron la película y el debate p ó d : Vieron alguno de los dos programas Datos: # S ? 2.500 , # p ? 2.100, # d ? 1.500 , # (p y d) ? 350 Como # S ? 2.500 ?# (p ó d) ?# (p y d) entonces # (p ó d) ? 2.500?# (p y d) ? 2.500- 350 ? 2.150 Por otra parte se tiene que: 2.150 ?# (p ó d) ?# ( p)?# (d )?# ( p y d) Entonces # ( p y d) ?# (p)?# (d) - 2.500 ? 2.100 ? 1.500- 2.150 ? 1.450 Los datos en un diagrama de Venn

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? ? ? a) ? Por ? , a) P( p y d) ? 1450 2500 ? 0.58 650 b) P( p dado d) ? c) P( d dado p) ? P( p y d) 2500 P(d) 1000 2500 1450 P( p y d) 2500 P(p) 2.100 ? 0.65 ? 0.6904 ? 69.04% 2500 18) Sean los eventos: Ev: vota el esposo ev: vota la esposa Datos: P( Ev) ? 0.31, P( ev) ? 0.23, P( Ev y ev) ? 0.19 P( ev dado Ev) ? P(Ev y ev) 0.19 P(Ev) 0.31 ? 0.6129 ? 61.29% b) P( Ev dado ev) ? 19) Sean los eventos: E: Escapar P(Ev y ev) 0.19 P(ev) 0.23 ? 0.826 ? 82.6% L1 : Escoger laberinto1, L4 : Escoger laberinto4 , L2 : Escoger laberinto2 L3 : Escoger laberinto3 L5 :Escoger laberinto5 Datos: P( L1 ) ? P(L 2 ) ? P(L 3 ) ? P(L 4 ) ? P(L 5 ) ? 0.2 P( E dado L1 ) ? 0.1 , P( E dado L4 ) ? 0.3 , P( E dado L2 ) ? 0.1 , P( E dado L5 ) ? 0.5 P( E dado L3 ) ? 0.2 Por el Teorema de Bayes se tiene que: P( L2 dado E ) ? P(E dado L2 ) ? P(L 2 ) P(E) Y por probabilidad total tenemos: P( E ) ? P(E dado L1 ) ? P(L1 ) ? P(E dado L2 ) ? P(L 2 ) ? P(E dado L3 ) ? P(L 3 ) ? P(E dado L4 ) ? P(L 4 ) ? P(E dado L5 ) ? P(L 5 ) ? 0.1(0.2) ? 0.1(0.2) ? 0.2(0.2) ? 0.3(0.2) ? 0.5(0.2) ? 0.24 lo tanto P( L2 dado E ) ? P(E dado L2 ) ? P(L 2 ) 0.1(0.2) P(E) 0.24 ? 0.083 ? 8.3% 20) Sean los eventos EC: efectivamente tiene cáncer dc: La prueba detecta que tiene cáncer c: tiene cáncer c : no tiene cáncer Datos: P(c) ? 0.05 , P( c ) ? 0.95 , P(dc dado c ) ? 0.80 P(dc dado c ) ? 0.1 P(EC) ? P(dc dado c) ? P(c) ? P(dc dado c ) ? P(c ) ? 0.80(0.05) ? 0.1(0.95) ? 0.135 ? 13.5%

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1 3 Solución ejercicios de Probabilidad 8) Eventos: A: cumple especificaciones de llenado B: Por debajo del llenado establecido C: Por encima del llenado esperado Si P(B) ? 0.001 , y P(A) ? 0.990 entonces d) Como P(AóBóC) ? P(A) ? P(B) ? P(C) ? 1 Entonces P(C) ? 1 ? P(A) ? P(B) ? 1 ? 0.990 ? 0.001 ? 0.009 e) P(AóC) ? P(A) ? P(C) ? 0.990 ? 0.009 ? 0.999 f) P(BóC) ? P(B) ? P(C) ? 0.001 ? 0.009 ? 0.01 9) 100 estudiantes. 24: Matemáticas, 68 Sicología, 54 Historia 22: Matemáticas y Historia 25: Matemáticas y Sicología 7: Historia pero no matemáticas ni sicología 10: Las tres asignaturas 8: ninguna de las tres asignaturas Diagrama de Venn para los datos: C) P(M y H dado S) ? 10 68 ? 0.147 ? 14.7% D) P(M y H dado S) ? 12 5 ? 12 ? 7 ? 0.5 ? 50% 10) Aplicación del Teorema de Bayes. Sean: M: turno matutino, FH: fallas humanas, Datos: V: turno vespertino, N: turno nocturno CI: condiciones inseguras P(M ) ? P(V ) ? P( N ) ? , P(CI dado M) ? 0.05 , P(FH dado M) ? 0.32

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f) 1 1 1 1 1 ? 1 3 1 1 2 , , 1 2 3 y 1 7 c) 1 3 2 2 1 5 ? ? 3 4 4 1 P(CI dado V) ? 0.06 , P(FH dado V) ? 0.25 P(CI dado N) ? 0.02 P(FH dado N) ? 0.30 e) P(M ) ? 1 3 P( FH ) ? P( FH dado M) ? P(M) ? P(FH dado V) ? P(V) ? P(FH dado N) ? P(N) ? 0.32 ? ? 0.25 ? ? 0.30 ? ? 0.29 ? 29% 3 3 3 g) P(V y CI) ? P(CI dado V) ? P(V ) ? 0.06 ? ? 0.02 ? 2% 3 h) P(M dado FH) ? P( FH dado M) ? P(M) P( FH ) 0.32 ? 3 ? 0.3678 ? 36.78% 0.29 11) Marcas de Té: A, B, y C Sean los eventos: D: catador o probador M: la marca A es la más deseable M : la marca A es la menos deseable Los eventos A , B y C son mutuamente excluyentes e independientes al evento D ya que el catador no diferencia entre una marca y otra, en tal caso todas las marcas de Té tienen la misma probabilidad de ser escogidas y por lo tanto: P( A dado D) ? P( A) ? b) P(M ) ? 1 3 b) P(M ) ? P(B ó C) ? P(B) ? P(C) ? ? ? 3 3 3 12) Tres virus A, B y C Sea E: el evento enfermedad Datos: 3 tubos con virus A, 2 tubos con virus B y 5 tubos con virus C Entonces P( A) ? 3 10 P(B) ? 2 10 y P(C) ? 5 10 además se sabe que P(E dado A) ? , 3 P(E dado B) ? P(E dado C) ? Luego: P( E ) ? P( E dado A) ? P( A) ? P( E dado B) ? P(B) ? P(E dado C) ? P(C) ? ? ? ? ? ? ? 0.3047 ? 30.47% 3 10 3 10 7 7 d) P(C dado E) ? 1 5 P( E dado C) ? P(C) 7 10 P( E ) 0.3047 ? 0.2344 ? 23.44% 13) Luis dice la verdad: LV Luis dice mentira: LM P(LV) ? P(LM) ?

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5 1 ? ? ? ? ? 8 15 7 25 ? ? 15 40 25 40 ? c) ? , 15 8 11C3 ) ) 38 69 e) Toño dice la verdad: TV P(TV) ? y P(TM) ? 6 6 P?(LV y TM) ó (LM y TV)? ? P(LV y TM) ? P(LM y TV) ? P(LV) ? P(TM) ? P(LM)? P(TV) ? 3 1 1 5 8 4 6 4 6 24 ? 33.33% 14) 40 alumnos. 25 hombres de los cuales 7 hablan inglés 15 mujeres de las cuales 8 hablan inglés. Eventos: H: hombre , M: mujer , P(H) ? 25 40 , P(M) ? 15 40 I: habla inglés I : No habla inglés P(I) ? 1 ? P(I) ? 1 ? ?P(I dado M) ? P(M) ? P(I dado H) ? P(H)? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 0.625 ? 6.25% d) P(M) ? 15 40 c) P(H y I ) ? P(I dado H) ? P(H) ? 7 25 25 40 ? 0.175 ? 1.75% d) P(I dado M ) ? ? 0.5333 ? 53.33% 8) De 16 radios. 5 de ellos defectuosos y 11 buenos, se escoge una muestra de 3. Es un problema de distribución hipergeometrica c) P(ningunodefectuoso ? P(3 buenos ? ? 0.2946 ? 29.46% 16C3 d) P(1bueno y 2 defectuoso ) ? ?5C1?? ?11C2? ? 0.491 ? 49.1% 16C3 9) Completar la tabla con totales por filas y por columnas Analgésico Capsulas Tabletas Total % de ventas 57 43 100 % dosis fuerte 38 31 69 Total 95 74 169 Sean. DF: dosis fuerte , C: capsulas y T: tabletas c) P(DF ) ? 69 169 ? 0.4082 ? 40.82% d) P(C dado DF ) ? ? 0.55 ? 55% 10) Aplicación del Teorema de Bayes. Sean los eventos: S: el despertador suena , S : El despertador no suena T: Llegar tarde Datos: , t: llegar temprano P(S ) ? 0.8 , P(S ) ? 0.2 , P(T dado que S) ? 0.2 , P(t dado que S) ? 0.8 P(T dado que S) ? 0.9 , P(t dado que S) ? 0.1 P(T y S) ? P(T dado S) ? P(S) ? (0.2)(0.8)? 0.16 ? 16%

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f) g) ? ? ? h) , , ? ? d) ? ? d) ? c) ? P(t ) ? P(t dado S) ? P(S) ? P(t dado S) ? P(S) ? 0.8(0.8)? 0.1(0.2) ? 0.66 ? 66% P(S dado que T) ? 0.2(0.8) 0.2(0.8) ? 0.9(0.2) P(T dado S) ? P(S) P(T) ? 0.47 ? 47% 0.2(0.8) P(T dado S) ? P(S) ? P(T dado S ) ? P(S ) P(S dado que t ) ? P(t dado S ) ? P( S ) 0.1(0.2) P(t) 0.66 ? 0.030 ? 3% 11) Viajan 120 personas: 48 hablan inglés, 36 hablan francés y 12 hablan los dos idiomas. Sean los eventos: I : Habla inglés I : No habla inglés, F: habla francés Datos: P(I) ? 48 120 P(F) ? 36 120 P(F y I) ? 12 120 P(I ó F) ? P(I) ? P(F) - P(F y I) ? 12 48 36 12 120 120 120 ? 0.6 ? 60% e) P(F dado I) ? P(F y I) 120 12 P(I) 48 48 ? 0.25 ? 25% f) P(F y I ) ? 24 120 120 ? 0.2 ? 20% 12) Datos: 3% de los artículos son defectuosos Sean los eventos: D: artículos defectuosos B: artículos buenos Entonces: P(D) ? 0.03 y P(B) ? 0.97 P(D y D) ? P(D) ? P(D) ? 0.03(0.03) ? 0.0009 e) P(B y B) ? P(B) ? P(B) ? 0.97(0.97) ? 0.94 ? 94% f) P(BD ó DB) ? P(BD) ? P(DB) ? P(B) ? P(D) ? P(D) ? P(B) ? 0.97(0.03) ? 0.03(0.97) ? 0.058 13) Sean los eventos: A: cambio de aceite, F: cambio de filtro D: cambio de aceite y cambio de filtro Datos: P(A) ? 0.25 , P(F) ? 0.40 , P(D) ? 0.14 P(F dado A) ? P(F y A) 0.14 P(A) 0.25 ? 0.56 ? 56% d) P(A dado F ) ? P(A y F) 0.14 P(F) 0.40 ? 0.35 ? 35% 14) ** Sean los eventos CC: confiabilidad de que sea culpable. P(CC) ? 0.90 CI: confiabilidad de que sea inocente. P(CI) ? 0.99 C: realmente culpable. P(C) ? 0.05 “C”: El suero indica que es culpable. P("C") ? P(C) ? P(CC ) I: realmente inocente I / "C" : Es culpable y se le considera inocente. P(I / "C") ? 0.10

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? ? ? ? "C" / I : Es inocente y se le considera culpable. P("C" / I ) ? 0.01 Cuál es probabilidad de que sea inocente siendo que el suero indica que Es culpable ? P(I dado "C" ) ? P( "C" dado I) P("C") 0.01 0.01 P(C) ? P(CC) 0.05(0.99) ? 0.222 ? 22.2% Nota. A mi juicio, este tipo de probabilidades, y en Lógica, las reglas de inferencia, en particular los silogismos, las tautologías y las falacias, son claves en la formación de profesionales en cualquier rama del derecho. 15) Sean los eventos: F : Clientes con fondos. F : Clientes sin fondos , E: fecha equivocada Datos: P(E dado F) ? 0.001, P(E dado F) ? 0.999 P( F ) ? 0.90 , P( F) ? 0.10 Si el cheque tiene fecha equivocada, cual es la probabilidad de que sea de un cliente sin fondos? P( F dado E) ? P( F y E) P(E) P( E dado F) ? P(F) P(E dado F) ? P(F) ? P(E dado F) ? P(F) 0.999(0.10) 0.999(0.10) ? 0.001(0.90) ? 0.991 ? 99.1% 16) Sean los eventos: S: El espacio muestral. p: Vieron la película , d: vieron el debate p y d : No vieron ninguno de los dos programas p y d: vieron la película y el debate p ó d : Vieron alguno de los dos programas Datos: # S ? 2.500 , # p ? 2.100, # d ? 1.500 , # (p y d) ? 350 Como # S ? 2.500 ?# (p ó d) ?# (p y d) entonces # (p ó d) ? 2.500?# (p y d) ? 2.500- 350 ? 2.150 Por otra parte se tiene que: 2.150 ?# (p ó d) ?# ( p)?# (d )?# ( p y d) Entonces # ( p y d) ?# (p)?# (d) - 2.500 ? 2.100 ? 1.500- 2.150 ? 1.450 Los datos en un diagrama de Venn

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? ? ? c) ? d) P( p y d) ? 1450 2500 ? 0.58 650 e) P( p dado d) ? f) P( d dado p) ? P( p y d) 2500 P(d) 1000 2500 1450 P( p y d) 2500 P(p) 2.100 ? 0.65 ? 0.6904 ? 69.04% 2500 18) Sean los eventos: Ev: vota el esposo ev: vota la esposa Datos: P( Ev) ? 0.31, P( ev) ? 0.23, P( Ev y ev) ? 0.19 P( ev dado Ev) ? P(Ev y ev) 0.19 P(Ev) 0.31 ? 0.6129 ? 61.29% d) P( Ev dado ev) ? 19) Sean los eventos: E: Escapar P(Ev y ev) 0.19 P(ev) 0.23 ? 0.826 ? 82.6% L1 : Escoger laberinto1, L4 : Escoger laberinto4 , L2 : Escoger laberinto2 L3 : Escoger laberinto3 L5 :Escoger laberinto5 Datos: P( L1 ) ? P(L 2 ) ? P(L 3 ) ? P(L 4 ) ? P(L 5 ) ? 0.2 P( E dado L1 ) ? 0.1 , P( E dado L4 ) ? 0.3 , P( E dado L2 ) ? 0.1 , P( E dado L5 ) ? 0.5 P( E dado L3 ) ? 0.2 Por el Teorema de Bayes se tiene que: P( L2 dado E ) ? P(E dado L2 ) ? P(L 2 ) P(E) Y por probabilidad total tenemos:

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Por ? , g) 2 x 2 x 3 3 3 2 2 ? 3x 2 x 3 ? 3 2 9 ? 2 3 ? 0 P( E ) ? P(E dado L1 ) ? P(L1 ) ? P(E dado L2 ) ? P(L 2 ) ? P(E dado L3 ) ? P(L 3 ) ? P(E dado L4 ) ? P(L 4 ) ? P(E dado L5 ) ? P(L 5 ) ? 0.1(0.2) ? 0.1(0.2) ? 0.2(0.2) ? 0.3(0.2) ? 0.5(0.2) ? 0.24 lo tanto P( L2 dado E ) ? P(E dado L2 ) ? P(L 2 ) 0.1(0.2) P(E) 0.24 ? 0.083 ? 8.3% 20) Sean los eventos EC: efectivamente tiene cáncer dc: La prueba detecta que tiene cáncer c: tiene cáncer c : no tiene cáncer Datos: P(c) ? 0.05 , P( c ) ? 0.95 , P(dc dado c ) ? 0.80 P(dc dado c ) ? 0.1 P(EC) ? P(dc dado c) ? P(c) ? P(dc dado c ) ? P(c ) ? 0.80(0.05) ? 0.1(0.95) ? 0.135 ? 13.5% TALLER No. 3 15) Datos: 7 Televisores buenos y 3 defectuosos Sea x: # de TV defectuosos comprados x ? 0, 1, 2, 3 P( x ? 0) ? (7C3)(3C0) 10C3 ? 0.29 , P( x ? 1) ? (7C 2)(3C1) 10C3 ? 0.525 P( x ? 2) ? (7C1)(3C 2) 10C3 ? 0.175, P( x ? 3) ? (7C0)(3C3) 10C3 ? 0.003 La función de probabilidad para x, es: x P(x) 0 0.29 1 0.525 2 0.175 3 0.003 h) El valor esperado para x, es: E( x) ? ? xp( x) ? 0(0.29) ? 1(0.525) ? 2(0.175) ? 3(0.003) ? 0.884 ? 1 , La varianza de x es: V ( x) ? ? ( x ? E ( x))2 ? (0 - 1)2 0.29 ? (1 ? 1) 2 0.525 ? (2 ? 1) 2 0.175 ? (3 ? 1) 2 0.003 ? 0.187 y la desviación estándar de x es: S ( x) ? 0.187 ? 0.43 16) a ) Si ?a(3x ? x 2 para 0 ? x ? 3 f ( x) ? ? ?0; en caso contrario es una función densidad de probabilidad, entonces debe cumplirse que 3 ?0 a(3x ? x )dx ? 1 entonces a(3 2 3 ? ) 0 ? 1 de donde a ? 2 / 9 b) P(1 ? x ? 2) ? ?0 9 (3x ? x )dx ? ? ? ? ? 0.4814 3) Datos: 70% creen que los antidepresivos curan, el 30% creen que no

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a) ? i) 5C3 ? 4C 2 P( x) ? ? ? ? ? 6 ? 1? 4 P( x ? 6) ? ? 2 ? ? ? 3 ? 1? 2 ? 2 ? 1?0.8 (0.2) ? 0.256 ? 25.6% 1 ? a) 2 3 100 5 Curan. Problema binomial Muestra aleatoria de N = 5 Sea x: # de personas que creen que los antidepresivos curan P( x ? 3) ? P(3) ? P(4) ? P(5) ? 5C3 ? ?(0.7) 3 (0.3) 2 ?? 5C 4?(0.7) 4 (0.3)1 ?? 5C5?(0.7) 5 (0.3) 0 ? ? 0.8369 b) P( x ? 3) ? P(0) ? P(1) ? P(2) ? P(3) ? 5C 0 ? ?(0.7) 0 (0.3) 5 ?? 5C1?(0.7)1 (0.3) 4 ?? 5C 2?(0.7) 2 (0.3) 3 ?? 5C 3?(0.7) 3 (0.3) 2 ? 0.4718 E Valor esperado es de x es E( x) ? n ? p ? 5(0.7) ? 3.5 es decir entre 3 y 4 personas 4) Datos: N = 9 estudiantes, 4 de ellos no tienen edad legal para beber Sea x # de estudiantes que no tienen edad legal para beber. a) P( x ? 2) ? ? 0.4762 ? 47.62% 9C5 b) P( x ? 0) ? 5C5 9C5 ? 0.0079 5) Datos: p = 0.8 probabilidad de creer en el rumor, q = 0.2 Sea x: # de pruebas en la que ocurre el k-ésimo éxito. Distribución de probabilidad binomial negativa: ? x ? 1? k x ?k ? k ? 1? p q a) Si x = 6 , k = 4 entonces ? 4 ? 1?0.8 (0.2) ? 0.1638 ? 16.38% b) Si x= 3 , k= 2 entonces P( x ? 3) ? ? ? ? 6) Se trata de un problema de distribución geométrica. P(x) ? p ? q x ?1 Datos: p ? 0.2 es la probabilidad de que el tren se detenga mas de 3 Minutos q ? 0.8 es la probabilidad de que el tren se detenga por máximo 3 minutos Sea x: de paradas del tren en la que se detiene por primera vez mas de 3 minutos. P(x ? 4) ? (0.2)(0.8) 3 ? 0.1024 ? 10.24% b) P(x ? 3) ? P(1) ? P(2) ? P(3) ? 0.2(0.8 ? 0.8 ? 0.8 ) ? 0.5904 ? 59.04% 7) Se trata de un problema con distribución de Poisson. P(x) ? ? x e ? ? x! Datos: Como en 1 hora ( 60 minutos) llegan en promedio 100 personas a la farmacia entonces cada minuto llegan en promedio tanto ? ? 5 ? lo que indica que en promedio cada 3 minutos legan 5 personas, por lo 60 3 Sea x: de personas que llegan en 3 minutos a la farmacia a) P(x ? 0) ? 5 0 e ?5 0! ? 0.0067

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95 ? 115 a) 125 ? 115 b) 10) ? ? ? ? 4 b) P(x ? 5) ? 1 ? P(x ? 4) , por tabla de distribución de Poisson con r ? 4, P(x ? 4) ? 0.4405 Entonces P(x ? 5) ? 1 ? P(x ? 4) ? 1 ? 0.4405 ? 0.5595 ? 55.95% ? ? 5 se obtiene que 8) Se trata de un problema de distribución normal : Datos: N ? 600 , x ? 115 , s ? 12 z ? x ? x s N ? P(x ? 95) ? ? para 95: z ? ? ?1.67 entonces 12 N ? P(x ? 95) ? 600 ? P(z ? ?1.67) ? 600(0.0475) ? 28.5 Por lo tanto aproximadamente 29 estudiantes serán rechazados. N ? P(x ? 1125) ? ? para 125: z ? ? 0.83 entonces 12 N ? P(x ? 1125) ? 600 ? P(z ? 0.83) ? 600P(z ? ?0.83) ? 600(0.2033) ? 121.98 Por lo tanto aproximadamente 122 estudiantes tendrán coeficiente intelectual muy superior. 9) Sean los eventos: C: Cara, SC: Sello y luego cara, SSC: sellos en los dos primeros lanzamientos y cara en el tercero, SSS: Sello en los tres lanzamientos Se sabe que P(C) ? P(S) ? 0.5 entonces para los eventos dados por ser independientes se tiene: P(C) ? 0.5 , P(SC) ? P(S)P(C) ? 0.5(0.5) ? 0.25 P(SSC) ? P(S)P(S)P(C) ? 0.5(0.5)0.5 ? 0.125 P(SSS) ? P(S)P(S)P(S) ? 0.5(0.5)0.5 ? 0.125 a) Si x representa la ganancia del jugador entonces la función de probabilidad de x es: x 20.000 40.000 80.000 -200.000 f(x) 0.5 0.25 0.125 0.125 b) El valor esperado de x es: E(x) ? ? x ? f(x) ? 20.000(0.5) ? 40.000(0.25) ? 80.000(0.125) ? 200.000(0.125) ? 5.000 La varianza de x es: V(x) ? ? (x ? E(x))2 ? f (x) ? (20.000 ? 5000) 2 (0.5) ? (40.000 ? 5.000) 2 (0.25) ? (80.000 - 5000)2 (0.125) ? (200.000 ? 5000) 2 (0.125) ? 5.875 La desviación estándar de x es: S( x) ? 5.875 ? 76.5 ?a(4x ? x 3 ), si 0 ? x ? 3 a) Para que la función f(x) ? ? ?0, en caso contrario Sea una función densidad de probabilidad debe cumplirse que 2 f ( x)dx ? ? a(4 x ? x 3 )dx ? 1 entonces 0 a(2x 2 ? x 4 0 2 ) ? 1 ? a ? 1 4

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1 3 ? 1 0 5 4 4 5 0 a) P( x) ? ? ? k ? 1? p q ? 8 ? 1? P( x ? 8) ? ? 2 6 a) ? 4 ? 1? ? 5 ? 1? P(4 ? x ? 8) ? P(4) ? P(5) ? P(6) ? ? 2 2 2 3 ? 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? a) 1.5 b) P(1 ? x ? 1.5) ? ? 4 (4 x ? x )dx ? 1 x 2 x 4 2 16 1.5 ? 0.3715 11) Problema de distribución binomial: P(x) ? nCx ? p x ? qn? x Datos: p ? 0.6 es la probabilidad de ser protegido q ? 0.4 es la probabilidad de no ser protegido n ? 5 : de ratones inoculados Sea x : de ratones que contraen la enfermedad a) P( x ? 0) ?( 5 C 0 ) ? (0.6) (0.4) ? 0.010 ? 1% b) P(x ? 2) ? P(0) ? P(1) ? 0.10 ?( 5 C1 ) ? (0.6)(0.4) ? 0.0868 ? 8.68% c) P(x ? 3) ? P(4) ? P(5) ?( 5 C 4 )(0.6) (0.4) ? ( 5 C5 )(0.6) (0.4) ? 0.3369 ? 33.69% 12) Se trata de un problema con distribución hipergeométrica. Datos: N ? 25 y se extraen muestras de tamaño n ? 3 Sea x: de artículos defectuosos en la muestra Si una caja contiene 3 artículos defectuosos , la probabilidad de que se embarque es: P( x ? 3) ? ( 3 C 0 )( 22 C 3 ) 25 C 3 ? 0.6695 ? 66.95% b) Si una caja contiene 1 solo artículo defectuoso , la probabilidad de que se regrese para revisión total es: P( x ? 1) ? ( 3 C1 )( 22 C 2 ) 25 C 3 ? 0.30 ? 30% ? x ? 1? k x ?k 13) Es un problema de distribución binomial negativa. ? ? Datos: p ? 0.017 es la probabilidad de contraer la enfermedad. q ? 0.983 es la probabilidad de no contraer la enfermedad Sea x : # de ratones requeridos para encontrar el segundo de ellos que contrae la enfermedad. ? 2 ? 1?(0.017) (0.983) ? 0.0018 b) ? 2 ? 1?(0.017) (0.983) ? ? 2 ? 1?(0.017) (0.983) ? ? 6 ? 1? ? 2 ? 1?(0.017) (0.983) ? 0.0033 14) Es un problema de distribución geométrica. P( x) ? p ? q x?1 Datos: p ? 0.75 es la probabilidad de aprobar el examen q ? 0.25 es la probabilidad de no aprobar el examen Sea x : # de intento en que se aprueba el examen. P( x ? 3) ? (0.25) 2 (0.75) ? 0.0468 ? 4.68% b) P( x ? 3) ? P(1) ? P(2) ? (0.75) ? 0.75(0.25) ? 0.9375 ? 93.75%

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a) 1.50 e ?1.5 1.51 e ?1.5 1.52 e ?1.5 ! x ? ? 30 ? 24 15 ? 24 25 ? 24 15) Es un problema con distribución de Poisson. P(x) ? ? x e ? ? x! Datos: Promedio de accidentes anual: 18 Promedio de accidentes mensual. 18/12=1.5 Sea x : # de accidentes al mes. P( x ? 3) ? 1.53 e ?1.5 3! ? 0.1255 ? 12.55% b) P( x ? 3) ? P(0) ? P(1) ? P(2) ? ? ? 0! 1 2! c) P( x ? 3) ? 1 ? P( x ? 2) ? 1 ? 0.808 ? 0.192 ? 19.2% ? 0.808 ? 80.8% 16) Se trata de un problema con distribución normal. z ? ? Datos: Promedio de tiempo en viaje completo ? ? 24 min con desviación estándar ? ? 3.8 min Sea x: el tiempo en minutos, en ir de la casa a la oficina y regresar a) P( x ? 30) ? ? , para x= 30: z ? ? 1.58 entonces 3.8 P( x ? 30) ? P( z ? 1.58) ? P( z ? ?1.58) ? 0.571 ? 57.1% b) P( x ? 15) ? ? , para x= 15: z ? ? ?2.37 entonces 3.8 P( x ? 15) ? P( z ? ?2.37) ? P( z ? 2.37) ? 0.9911? 99.11% c) P( x ? 25) ? ? , para x= 25: z ? ? 0.26 entonces 3.8 P( x ? 25) ? P( z ? 0.26) ? P( z ? ?0.26) ? 0.3974 ? 39.74% Autor: Inocencio Meléndez Julio Magíster en Administración Magíster en Derecho Doctorando en Derecho Patrimonial: La Contratación Contemporánea.

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