1
ALEPH SUB-CERO
SERIE DIVULGACION
?0 2013 – I ?0
pp. 5 – 24
EMERGENCIA DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
(Emergence of Quantum Mechanics)
Alberto Mejías1
El "pensamiento clásico" pertenece al siglo diecinueve en el que la gente no conocía nada mejor.
,
Gerard t Hooft
Recepción: Febrero 2013. Revisión y aceptación: Abril 2013.
Resumen. Se precisa que existe una relación matemática entre los autómatas celu-
lares y las teorías cuánticas de campos. Aunque las pruebas están lejos de ser per-
fectas, sugieren una nueva mirada en el origen de la mecánica cuántica: la mecáni-
ca cuántica podría no ser más que una manera natural de manejar las correlaciones
estadísticas de un autómata celular. Se vislumbra un papel esencial de la fuerza
gravitacional en estas consideraciones.
Descriptores: autómata celular, gravitación, Teoría Cuántica de Campos.
Abstract. It is pointed out that a mathematical relation exists between cellular au-
tomata and quantum field theories. Although the proofs are far from perfect, they
do suggest a new look at the origin of quantum mechanics: quantum mechanics
may be nothing but a natural way to handle the statistical correlations of a cellular
automaton. An essential role for the gravitational force in these considerations is
suspected.
Keywords: cellular automata, gravitation, Quantum Field Theory.
1. Introducción.
La Mecánica Cuántica es, usualmente, tratada como teoría para la dinámica
de sistemas minúsculos tales como átomos, partículas subatómicas o, alternativa-
mente, campos débiles sobre pequeñas regiones espacio-tempóricas (del espacio-
Alberto R. Mejías E. es Licenciado en Matemática, egresado de la Facultad de Ciencias de la
Universidad de los Andes (ULA) Mérida- Venezuela. Es profesor jubilado de la Universidad de
los Andes. alrame59@gmail.com.
Alberto Mejías
tiempo), donde substituye a la dinámica newtoniana clásica. Además, demanda su-
tiles, pero importantes cambios en la forma de manejar los argumentos lógicos al
considerar la "realidad" física.
Después de que se asienta el polvo, se encuentra que la mecánica cuántica
sólo produce declaraciones sobre el comportamiento medio de sistemas minúscu-
los, más bien que sobre cualquier sistema individual dado; como si los sistemas in-
dividuales no tuvieran derecho tener una noción de realidad ligada a ellos. Sin em-
bargo, también se enfatiza que la teoría puede ser extremadamente exacta; es mu-
cho más que un conjunto de aserciones difusas con respecto a objetos que son de-
masiado pequeños ser observados directamente.
En numerosas ocasiones, los físicos han expresado su preocupación por este
estado de la teoría y han hecho tentativas para mejorar esta situación. ALBERT
EINSTEIN, ERWIN SCHRÖDINGER y posteriormente DAVID BOHM y JOHN BELL, entre
muchos otros, se esforzaron para substituir a la Mecánica Cuántica por algo mejor.
En el actual trabajo, no se procura substituir a la mecánica cuántica por algo
más. Por el contrario, la actual teoría sin más enmiendas tales como un colapso de
la función ondal o una ontología del multi-verso, se acepta como descripción co-
rrecta de observaciones en el mundo real. Sin embargo, hay que insistir en que la
Mecánica Cuántica no describe la realidad directamente. Meticulosamente, cuanti-
fica lo que se ve y mide en términos de ecuaciones, mientras que cualquier tentativa
de dar una descripción física de lo que se ve, en términos de átomos, campos, par-
tículas subatómicas, evolución de universos y de lo que no, solamente es decorado
y no se refiere a la realidad. Se sospecha que la teoría se refiere a la realidad, pero
esa realidad debería ser descrita en términos físicos muy diferentes.
Sean lo que sean los objetos reales, la Mecánica Cuántica emerge como ma-
quinaria matemática extremadamente eficaz para describir sus características esta-
dísticas en términos de distribuciones de probabilidades.
2
,
Emergencia de la mecánica cuántica
Se parte de una cuantización "primordial" o "primitiva", un procedimiento
propuesto por 't Hooft [1] – [6]. Imagínese un cierto sistema de ecuaciones dinámi-
cas clásicas, del movimiento. Se podría pensar en el movimiento de las agujas de
un reloj, pero también se puede imaginar otros objetos totalmente clásicos variando
desde partículas, cuerdas o branas que siguen ecuaciones clásicas del movimiento,
a los planetas que obedecen las leyes de NEWTON. Luego comienza una descripción
del espacio completo de todos los estados clásicos y posteriormente, promueve ca-
da uno de estos estados a un elemento de la base de un espacio HILBERT. Entonces
la evolución tempórica de estos estados a partir del tiempo t1 hasta el t2 es generada
por un operador U(t1, t2), llamado `operador evolución´. Si el mundo original que
se desea describir es estrictamente continuo, el número de estados en el espacio
HILBERT es no numerable y esto puede causar complicaciones para proseguir este
programa. A menudo, se puede utilizar un modelo fundamentalmente discreto que
podría hacer nuestro trabajo más fácil. Entonces el operador evolución puede ser
construido sistemáticamente.
Si el sistema considerado es reversible en el tiempo, lo cual significa que el
pasado se puede reconstruir a partir del futuro tan fácilmente como el futuro se
puede derivar a partir del pasado, el operador evolución es también unitario y éste
permite construir otro operador H, llamado `hamiltoniano´, tal que
U(t1, t2) = e
– i(t – t )H
2 l
(1.1)
donde H es hermiteano y se pueden estudiar su positividad y sus estructuras de si-
metría. Si el hamiltoniano que emerge de tales cálculos se asemeja a el que se usa
en teorías cuánticas familiares, se tiene un sistema matemático que, por una parte,
se basa en un modelo enteramente clásico, mientras que, por otra parte, permite una
descripción completamente en línea con la Mecánica Cuántica.
3
Alberto Mejías
Por lo tanto, las teorías cuánticas de esta clase se podrían interpretar como
"teorías de variables ocultas". Se presenta entonces, la pregunta de cómo considerar
a las desigualdades BELL [7], [8]. Éstas son desigualdades que describen límites pa-
ra las mediciones de características físicas tales como la giratura (espín) de objetos
cuánticos enmarañados. Si el sistema es clásico, los límites no pueden ser sobrepa-
sados, mientras que se sobrepasan en una teoría cuántica. Para muchos investigado-
res, ésta es suficiente razón para rechazar categóricamente todas las teorías de va-
riables ocultas. Sin embargo, el procedimiento recién descrito parece dar un núme-
ro de modelos interesantes que podrían muy bien servir como buenos ejemplos para
las 'variables ocultas'. ¿Qué es lo que está mal con ellos? Ésta es una de las pregun-
tas que tendremos que contestar. La situación es absolutamente delicada e intere-
sante. Aquí la línea de fondo será que puede ser posible construir teorías clásicas
subyacentes a la Mecánica Cuántica a lo largo de estas líneas, pero, muy notable-
mente, la fuerza gravitacional y la Relatividad General pudieran ser esenciales para
una comprensión más profunda de las estructuras subyacentes.
Para futuras referencias, se considerarán los grados de libertad que describen
a los estados clásicos originales del sistema como entibles (beables) [9]. Los enti-
bles B(t) son operadores que, en todo tiempo t, conmutan con el resto de los enti-
bles:
[B(t1), B(t2)] = 0,
?t1, t2.
(1.2)
Un cambiable (changeable) C(t) es un operador que aplica a un entible sobre
otro solo entible:
C(t)B1(t) = B2(t)C(t).
(1.3)
Finalmente, un articulable (superimposable) S es un operador que puede ser una
superposición cuántica de cualquier conjunto de entibles y/o de cambiables.
4
k
Emergencia de la mecánica cuántica
Los estados propios del hamiltoniano, definidos en Ec. (1.1) serán siempre,
superposiciones cuánticas. Si sólo se considera a los estados de baja energía, esto
significa que, desde el inicio, sólo se habla de estados cuánticos enmarañados. Esto
es lo que distingue nuestros modelos de otras teorías de 'variables ocultas ': nunca
procuramos reformar un conjunto de estados tales como los que se usan en el 'Mo-
delo Estándar', en estados totalmente clásicos. Sólo las presuntas leyes dinámicas
subyacentes son clásicas, pero los estados considerados son siempre estados cuánti-
cos y, usualmente, altamente enmarañados.
No se resolverá totalmente el asunto con las desigualdades BELL, sino que
puesto que se acepta la aparición de la necesidad de estados completamente mecá-
nico-cuánticos para describir probabilidades, es de sospechar que estas desigualda-
des BELL serán mucho más difíciles de utilizar como teorema de "imposibilidad fí-
sica" para las variables ocultas, que lo usualmente asumido.
2. El Hamiltoniano de un Sistema Determinístico
Según la teoría recién descrita, se tienen conjuntos discretos de datos físicos
que evolucionan según leyes determinísticas no mecánico-cuánticas. Considérese el
caso en que también, la evolución del tiempo es fundamentalmente discreta. Enton-
ces la teoría se puede definir en términos de un operador evolución U0 que describe
una etapa en el tiempo. Por tanto, se determinaría escribir
(U0)
= e
–iHk
,
(2.1)
donde U0 actúa sobre los estados |n> considerados como vectores de la base de un
espacio HILBERT, de manera que H desempeña el papel de hamiltoniano cuántico.
Se consigue una mecánica cuántica convencional si se puede asegurar que H está
acotado por debajo,
= , donde |?> y |?0> pueden ser cualquier
superposición de estados |n>, en particular cualquier estado propio de H. En princi-
pio, un operador que satisface este requerimiento, no es difícil de construir. Usando
la transformación FOURIER
x = p –
8
? p sen k x,
k =1
0 < x < 2p,
(2.3)
resulta:
H = p +
8
? k (U 0 – U 0 k )
(2.4)
Este hamiltoniano sólo tiene valores propios entre 0 y 2p y reproduce a la Ec. (2.1).
La importancia de tener una cota inferior para los valores propios del hamiltoniano
es que el estado más bajo se puede identificar como el 'estado del vacío' y los pri-
meros estados excitados pueden ser interpretados como estados que contienen par-
tículas. La termodinámica nos da estados mezclados, con probabilidades
= Ce
–E/kT
,
(2.5)
Sin embargo, en sistemas extensos, tales como el espacio FOCK para una teo-
ría cuántica de campos, este hamiltoniano no es bastante bueno, por dos razones
(relacionadas). Una es que las altísimas contribuciones de k en Ec. (2.4), se refieren
a grandes plazos y esto implica que estas contribuciones son no locales. Si las in-
teracciones se propagan con la velocidad de la luz, el hamiltoniano generará inter-
acciones directas a distancias espaciales proporcionales a k. Esto hace necesario un
recorte: si cada lapso de tiempo se asume equivalentes a un plazo PLANCK, enton-
ces k lapsos se podrían considerar también, suficientemente cortos para reproducir
la física local, a la escala del Modelo Estándar. Usar un recorte en Ec. (2.4) da un
6
.
Emergencia de la mecánica cuántica
espectro de energía según lo bosquejado en fig. 1. Se deriva del hecho que, si un
2pin/N
sistema tiene periodicidad N, los valores propios de U0 son e
Figura 1: El espectro de energía E (n) después de un recorte en k grande. Los estados de energía
más bajos (líneas pequeñas) son afectados seriamente por el recorte.
En esta figura, se ha aplicado un recorte terso (recortando los valores grandes
de k con una exponencial gaussiana). Se ve que, por consiguiente, los estados más
bajos de la energía están afectados seriamente; sus valores propios de energía ahora
son cuadráticos en los momentos k, de modo que, aquí, el hamiltoniano no repro-
duce al operador evolución correcto (2.1). Esta región, sin embargo, es importante
al aplicar los leyes de la termodinámica, puesto que estos estados dominan en la
expresión BOLTZMAN (2.5).
El segundo problema es que se espera que un hamiltoniano se altere cuando
se consideran estados espacialmente separados: H = H1 + H2. En ese caso, no se
puede mantener que los valores propios del hamiltoniano completo permanezcan
dentro de los límites (0, 2p). Se volverá a este punto en la sección 5.
3. Un Autómata celular
La construcción de un hamiltoniano extenso fue sugerida en [6]. Considérese
a un autómata celular. Aquí espacio y tiempo son discretos [10]: se tiene un espacio
1 2 D
D-dimensional, donde las posiciones están indicadas por enteros: x = (x , x , …, x ),
i
donde x ? Z. También el tiempo t será indicado por números enteros y la evolu-
7
Alberto Mejías
ción del tiempo ocurre por etapas. Se podría asumir que las variables físicas F( x , t)
en el modelo, tomen una variedad de formas; pero, la opción más conveniente es
que sean números enteros módulo un cierto número entero N.
Ahora se escribirá un modelo explícito, donde estos grados de libertad físicos
se definen solamente para los sitios pares del retículo:
D
? xi
i=1
+ t = par.
(3.1)
Además, los datos se pueden elegir libremente en dos tiempos consecutivos;
así, por ejemplo, en t = 0, se puede elegir que los datos iniciales sean {F( x , t = 0),
F( x , t = 1)}.
Las ecuaciones dinámicas del modelo se pueden elegir de varias maneras, a
condición de que sean reversibles con respecto al tiempo. Para ser explícitos, se
eligen como sigue:
F( x , t + 1) = F( x , t – 1) +
1 2 D 1 D
Q(F(x ± 1, x , …, x , t), …, F(x , …, x ± 1, t)) Mod N, (3.2)
cuando
?i xi
+ t es impar,
donde el número entero Q es una cierta función arbitraria dada, de todas las varia-
bles indicadas: todos los más cercanos vecinos del sitio x en el tiempo t. Ésta es
reversible con respecto al tiempo porque se puede encontrar F( x , t – 1) a partir de
F( x , t + 1) y los vecinos en el tiempo t. Asumiendo que Q sea una función sufi-
cientemente irregular, se obtiene generalmente, autómatas celulares absolutamente
no triviales, de esta manera. De hecho, se ha demostrado que esta categoría de mo-
delos, contiene ejemplos que son computacionalmente universales [11]. Los mode-
los de esta clase son considerados, a menudo, en animaciones por computadora.
Ahora se discutirán las matemáticas de este modelo, usando notación de espacio
Hilbert. Se hará el cambio desde el enfoque HEISENBERG, donde los estados son fi-
8
.
(3.8)
Emergencia de la mecánica cuántica
jos, pero operadores tales como los entibles F( x , t), dependen del tiempo, al enfo-
que SCHRÖDINGER. Aquí, se denotará a los operadores F sobre los sitios pares por
X( x ) y los de los sitios impares por Y( x ). En función del tiempo t, alternativamente
se actualizan a X( x ) y Y( x ). Construyendo así, al operador evolución, sobre dos
etapas tempóricas. Manteniendo al parámetro tiempo t, par:
U(t, t – 2) = A · B,
(3.3)
donde A actualiza a los datos X( x ) y B actualiza a los datos Y( x ).
Actualizar a los sitios pares solamente, es una operación por partes, mutua-
mente conmutativas, cada una definida sobre una coordenada espacial par, x :
A =
? A( x) ,
[A( x ), A( x' )] = 0,
(3.4)
x par
mientras que el operador B se refiere solamente a los sitios impares,
B =
?
B( x) ,
[B( x ), B( x )] = 0,
(3.5)
x impar
Observar sin embargo, que los operadores A( x ) y
x y x' son vecinos, entonces
B( x' ) no todos conmutan. Si
x – x' = e ,
| e | = 1 ? [A( x ), B( x' )] ? 0.
(3.6)
Es importante observar aquí, que ambos operadores A( x ) y B( x ) actúan solamente
en subespacios finitos de espacios HILBERT y son unitarios, así que se pueden es-
cribir fácilmente como sigue:
A( x ) = e
– ia( x )
y
B( x )= e
– ib( x )
(3.7)
Observar que A( x ) y B( x ) son cambiables, mientras que a( x ) y b( x ) serán articu-
lables, en general y son hermiteanos. Se puede escribir
a( x ) = Px( x )Q({Y}),
b( x ) = Py ( x )Q({X}),
donde Px( x ) es el generador para un desplazamiento de un solo paso, de X( x ):
9
e
x
? a
? -ß
?
?
?
?
?
?
?
,
.
.
Alberto Mejías
– i P ( x )
| X( x )>
def
= | X( x ) – 1 Mod N>,
(3.9)
y, análogamente, Py( x ) genera un desplazamiento de una sola etapa, de la función
Y( x ).
Como ejemplo, se da la matriz P para el caso N = 5. Definiendo los coefi-
cientes numéricos a = 2sen(p/5) + sen(2p/5) y ß = 2sen(2p/5) – sen(p/5), se tiene
P =
? 0
4p i ?
25 ?
? ß
? -a
-a
0
a
-ß
ß
ß
-a
0
a
– ß
– ß
ß
-a
0
a
a ?
-ß ?
ß ? ,
?
-a ?
0 ?
? 0
? 0
iP
e = ? 0
?
? 0
? 1
1 0 0 0 ?
0 1 0 0 ?
0 0 1 0 ? . (3.10)
?
0 0 0 1 ?
0 0 0 0 ?
Se puede ver que
[a( x ), a( x' )] = 0,
[b( x ), b( x' )] = 0,
?( x , x' );
(3.11)
[a( x ), b( x' )] = 0 sólo si | x – x' | > 1.
(3.12)
Una consecuencia de Ecs. (3.11) es que también los productos A en Ec. (3.4)
y B en Ec. (3.5) se pueden escribir como
A = e
– i S
x par a
( x )
B = e
– i S
x impar b
( x )
(3.13)
Sin embargo, ahora A y B no conmutan. No obstante, se quiere determinar al ope-
rador evolución total U para dos etapas consecutivas de tiempo, escribiéndolo co-
mo
U = A · B = e
– i a
e
– i b
= e
– 2iH
(3.14)
Para este cálculo, se podría utilizar la expansión por potencias dada por la
fórmula BAKER-CAMPBELL-HAUSDORFF [12],
10
1 1 1
1
2
x
1
2
Emergencia de la mecánica cuántica
P Q R
e e = e ,
R = P + Q +
[P, Q] + [P, [P, Q]] + [[P, Q], Q] + [[P, [P, Q]], Q] + ···
12 12 24
(3.15)
una serie que continúa exclusivamente con conmutadores [12]. Substituyendo P
por –ia, Q por –ib y R por –2ìH, se tiene una serie para el 'hamiltoniano' H en la
forma de una secuencia infinita de conmutadores. Nótese que los conmutadores en-
tre los operadores locales a( x ) y b( x' ) son no-desvanecientes sólo si x y x' son
vecinos, | x – x' | = 1. Por tanto, si se insertan las sumas (3.13) en Ec. (3.15), se ob-
tiene otra vez una suma:
H =
S H( x )
x
donde
1 1
H( x ) = 2 a( x ) + 2 b( x' ) + H2 ( x ) + H3 ( x ) + ···,
1
H2 ( x ) = – 4 i S [a( x ), b( y )],
(3.16)
1
H3 ( x ) = – 24
S
y , y
[a( x ) – b( x ),[a( y1 ), b( y2 )]], etc.
(3.17)
Todos estos conmutadores sólo son no desvanecientes si las coordenadas y , y1 ,
y2 , etc., son todas, vecinas de la coordenada x . Es verdad que, en los términos de
orden superior, pueden entrar los siguientes a los vecinos más cercanos, pero aún,
se puede observar que estos operadores son todos funciones locales de los 'operado-
res de campo' F( x , t) y así se llega a un hamiltoniano H que puede considerarse
como la suma sobre el espacio D-dimensional de una densidad HAMILTON H( x ),
que tiene la característica de que
11
Alberto Mejías
[H( x ), H( x' ) ] = 0, si | x – x' |
1.
(3.18)
aquí el símbolo
significa que en el n-ésimo orden en la serie BCH, x y x' deben
estar separadas más allá de n etapas, una de la otra.
En cada orden finito de la serie, la densidad HAMILTON H( x ) es una matriz
hermiteana finito-dimensional y, por tanto, tendrá un valor propio mínimo h. En un
volumen grande pero finito V, el hamiltoniano total H tendrá también, por tanto un
valor propio mínimo, obedeciendo
E0 > hV.
(3.19)
El estado propio asociado |0> se podría identificar con el 'vacío'. Este vacío es esta-
cionario, aún si el autómata mismo pudiera tener solución no estacionaria. El si-
guiente al más bajo estado propio podría ser un estado de una sola partícula. En una
descripción HEISENBERG, los campos F(x, t) pueden crear un estado de una sola
partícula a partir del vacío. Así se llega a algo que parece una genuina teoría cuán-
tica de campos. Los estados son estados cuánticos en completo acuerdo con una in-
terpretación Copenhague. Los campos a( x , t) y b( x , t) deberían cumplir los axio-
mas WIGHTMAN.
Hay tres maneras, sin embargo, en las cuales esta teoría se diferencia de teo-
rías cuánticas de campos convencionales. Una es, por supuesto, que el espacio y el
tiempo son discretos. Bien, quizá haya un interesante 'límite al continuo', en el cual
la(s) masa(s) de la(s) partícula(s) sea(n) considerablemente más pequeña(s) que el
inverso del tiempo cuántico.
En segundo lugar, no se ha hecho ninguna tentativa de llegar a la invariancia
LORENTZ o, incluso, la invariancia GALILEI. Así, las relaciones de dispersión para
estas partículas, si obedecen a alguna, pueden ser algo que no se asemeje a la física
12
Emergencia de la mecánica cuántica
de las partículas, convencional. Observar, sin embargo, que ninguna información
física puede viajar más rápidamente que la velocidad uno, en unidades del retículo.
Ésta es una importante restricción que el modelo tiene todavía en común con la re-
latividad especial.
Pero la tercera diferencia es más profunda. Fue asumido tácitamente, que la
fórmula BAKER-CAMPBELL-HAUSDORFF converge. Éste no es a menudo, el caso.
En la sección 4, se plantea que la serie converge bien, sólo si está intercalada entre
dos estados propios |E1> y |E2> de H, donde E1 y E2 son valores propios que cum-
plen
2| E1 – E2| < 2p / h?t,
(3.20)
donde ?t es la unidad de tiempo de nuestro reloj y el primer factor 2 es el que apa-
rece en Ec. (3.14). (la "constante PLANCK" h, se ha insertado, simplemente, para dar
al tiempo y a la energía las dimensiones físicas usuales).
Ésta puede parecer una severa restricción; pero, primero, se puede argumen-
tar que 2p / h?t, aquí, es la energía PLANCK y, en la práctica, cuando se hace mecá-
nica cuántica, sólo se aprecian energías o, más bien, diferencias de energía, que son
de hecho, mucho más pequeñas que la energía PLANCK ¿Significa esto que no ocu-
rren transiciones con diferencias más grandes de energía? Hay que comprender
que, quizás, en este modelo, la energía no se conserva exactamente. Puesto que el
tiempo es discreto, a primera vista parece que la energía sólo se conserva módulo p,
y esto podría indicar que nuestro 'estado vacío' no es estable después de todo. La
energía podría saltar hacia otros estados por múltiplos enteros de p. En Sección 4,
sin embargo, se discute que tales violaciones de la conservación de energía no ocu-
rrirán y que la existencia de una densidad hamiltoniana es una propiedad más pro-
funda de todos los autómatas celulares que permitan reversión del tiempo (de modo
que la evolución sea obviamente unitaria).
13
Alberto Mejías
La conclusión que se puede proyectar ahora, es que se pueden considerar
procedimientos prestados de la genuina mecánica cuántica y que ellos pueden con-
ducir a un reacomodo de los estados de una manera tal que los entibles, los cam-
biables y los articulables se mezclen naturalmente, permitiendo una descripción
eficaz de un sistema a grandes escalas del tiempo y de la distancia para las cuales
sólo se aplica el lenguaje de la Mecánica Cuántica. Esto es todo lo que realmente se
necesita entender de por qué es que la Mecánica Cuántica parece dominar el mundo
de átomos y otras partículas minúsculas, que, aunque pequeño comparado a los se-
res humanos, sigue siendo muy grande comparado a la escala PLANCK.
A este punto parece bien comentar que hay un precedente. De hecho, la Teo-
ría Cuántica de Campos puede utilizarse convenientemente para resolver un pro-
blema totalmente clásico: el Modelo ISING 2-dimensional [13].
4. Convergencia de la expansión BCH
Cuando los operadores A y B están acotados por abajo y por arriba, se espe-
ra que la expansión de la serie BCH tenga un radio finito de convergencia; pero, no
converge ciertamente, en general. Para comprender la situación, veamos una deri-
vación rápida de la expansión. Dado los operadores A y B , considerar la definición
de un operador C (s) como función continua de s , que satisface
C (s)
e
i sA i B
= e e ; C(0) = B.
(4.1)
Diferenciando con respecto a s se obtiene
?0
1
i xC (s) d
dx e
ds
C (s)e
–i xC (s)
= A;
(4.2)
Diagonalizando C (s) en un punto dado s = s0, se define
C(s0)| E >
def
=
E| E >,
?t = t0
def
=
F '12 .
(4.3)
De Ec. (4.2), se tiene
14
'
n
e
Emergencia de la mecánica cuántica
C 12 =
i( E1 – E2 )
e i ( E1 – E2 ) -1
A12 =
8 inB
? n! (E1 – E2)
n = 0
8
= ?
n = 0
inBn
n!
[C, [C,…, [C, A]]…] 12
(4.4)
donde Bn son los números BERNOULLI. Recurrentemente, esto define a C(s). Es cla-
ro que esta serie (4.4) converge cuando
|E1 – E2| < 2p.
(4.5)
Observar que esto no implica que la serie BCH misma, converja cuando esté inter-
calada entre dos estados |E1>y |E2> que estén separados por menos que 2p, porque
la condición (4.5) debe cumplirse para todo s, mientras que los estados |Ei> son s-
dependientes. La derivación sugiere simplemente que, si durante todo el cálculo,
sólo se consideran estados cuyas energías estén separadas por mucho menos que 2p
en unidades naturales, en todas las etapas, se puede esperar que la serie converja.
Sin embargo, se puede considerar que esta condición es débil, probablemente para
ser satisfecha en varios casos, porque la unidad natural aquí, es la unidad PLANCK,
2
EPlanck /c ˜ 21µg, lo que es, siempre, mucho más grande que cualquier experimen-
to realizado en Mecánica Cuántica.
Una interesante observación adicional es que la que la expansión BACKER-
CAMPBELL-HAUSDORFF (3.15) se puede reescribir en términos de una serie que
contenga mucho menos términos. Sean
–ia = P + Q,
–ib = P – Q.
(4.6)
y considérese que, realmente, sólo estamos interesados en las clases de conjugación
de H, no en H mismo:
P + Q P – Q
e
15
F R –F
= e e e ,
(4.7)
(4.8)
2
2
Alberto Mejías
donde F se puede elegir con ciertas cantidades de libertad. Observando que al in-
tercambiar a y b obtiene un hamiltoniano tan bueno como H y, ciertamente, de la
misma clase de conjugación, se busca un F tal que
R(P, Q) = R(P, –Q), R(–P, Q) = –R(P, Q).
3
Usando la notación abreviada QP Q = [Q, [P, [P, [P, Q]]]], etc. se encuentra
R = 2P –
1
12
QPQ +
1
960
2 2
Q(8P – Q )PQ +
1
60480
4 2 2 2 3 4 9
Q(–51P – 76QPQP + 33Q P + 44PQ P – Q )PQ + O(P, Q) .
8
(4.9)
Ya el tercer término en esta expresión va más allá de la expansión (3.15); pero,
(4.9) no converge mucho más rápidamente.
5. Gravedad cuántica
Para conseguir partículas cuánticas que tengan una ley de dispersión:
E (p) ?
p2
2m
(5.1)
se necesita, por lo menos, una cierta forma de invariancia galileana —de modo que
las partículas puedan tener una velocidad. Puesto que los autómatas celulares tienen
una velocidad límite de transferencia de información, aquella tendría que ser substi-
tuida por invariancia LORENTZ desde el comienzo, así pues, es difícil evitar relati-
vidad especial, incluso en las primeras etapas de construcción de modelos. Sin em-
bargo, tanto el grupo GALILEI como el grupo LORENTZ son no compactos y esto ha-
ce muy difícil cambiar a estas simetrías en simetrías aproximadamente razonables
para los autómatas celulares .
Se habría podido esperar que una simetría aproximada cambiara a una simetría exacta en el lí-
mite continuo.
16
.
Emergencia de la mecánica cuántica
No sólo no se puede dejar por fuera a la relatividad especial; sino que, tal
vez, tampoco a la Relatividad General, antes de lograr una clara comprensión de la
Mecánica Cuántica como descripción de las características estadísticas de un siste-
ma clásico. Se ha visto, en nuestros cálculos que, primero, la construcción (3.16)
para nuestro hamiltoniano no podría producir una expresión extensa para la ener-
gía. La energía total del universo sería siempre menor que 2p/TPlanck (para simplifi-
car, tomamos como unidad fundamental del tiempo al tiempo PLANCK). Todavía,
deseamos describir regiones extensamente separadas (1, 2, 3,…) del Universo en
términos de un hamiltoniano total HTot que se escriba aproximadamente como
HTot = H1 + H2 + H3 + ···,
(5.2)
de modo que, inevitablemente, la energía total pueda llegar a ser mucho más grande
que el límite 2p/TPlanck.
Nuestro tratamiento del autómata celular produjo, convenientemente, una
densidad HAMILTON, de modo que la energía global sea extensa, pero la divergen-
cia de la serie CBH nos forzó a limitarnos a estados cuánticos cuyas energías per-
manecen más cercanas entre sí, que la energía PLANCK.
Sería mucho mejor si se pudiera encontrar un procedimiento donde no hubie-
ra que imponer tales limitaciones. Éste sería el caso si teníamos otra manera de de-
finir la densidad de Hamilton. Aquí es donde entra la relatividad general. Cuando
se toma en cuenta a la fuerza gravitacional, se puede tener un potencial gravitacio-
nal espacio-dependiente, que conduce a los operadores dinámicos espacio-
dependientes t( x ) que determinan la velocidad de reloj local. Así, el operador evo-
lución resulta
U (t ( x )) = e
–i? t( x ) H( x )d3 x
17
(5.3)
Alberto Mejías
Así, una tal teoría permite una definición directa de las densidades HAMILTON.
Comparando a los operadores evolución a diferentes potenciales gravitacionales de
f, se deriva H ( x ) . En Relatividad General,
t ( x ) = t
– g 00 (x ) .
(5.4)
6. Conclusiones
La importancia de estos cálculos es que cada uno de los conmutadores en la
serie BCH es no desvaneciente sólo si consiste de operadores vecinos; por tanto, el
hamiltoniano resultante se puede escribir como suma de densidades Hamilton. así
parece como si el hamiltoniano se construyera justo como en una teoría cuantizada
de campos. Las partes distantes de este 'universo' se desarrollan independientemen-
te. El hamiltoniano total tiene valores propios mucho mayores que 2p y todos son
acotados por abajo. Si ahora nos concentramos en los estados que quedan más ba-
jos, se puede ver que éstos consisten en partículas localizadas que se asemejan a lo
que se percibe en el mundo real. Tienen energías positivas, de modo que se les
puede aplicar la termodinámica.
Pero, como se ha visto, hay una advertencia: la serie BCH (3.15) no conver-
ge. Para ser más precisos, el operador H es ambiguo cuando dos de sus valores pro-
pios estén separados más allá de 2p/TPlanck, como se puede ver directamente de su
definición (2.1). Hasta allí es donde llega el radio de convergencia de la serie.
Debe deducirse que la serie (3.15) no se puede truncar fácilmente; tendrá que
resumirse cuidadosamente, y aun permanece dudosa la cuestión de si existe o no
una forma de resumirla. Se podía argüir que estas dificultades se refieren solamente
a elementos matriciales entre estados cuyos valores propios de energía están sepa-
rados por más que la energía Planck, que es un dominio de la Física Cuántica que
nunca se ha tratado de modos experimental, de manera que podrían ignorarse segu-
18
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[3]
[4]
,
,
[7]
Emergencia de la mecánica cuántica
ramente. Con todo, esta situación es insatisfactoria, así que se necesita más trabajo
al respecto.
Concluimos con una conjetura importante: quizás nuestro mundo no es me-
cánico-cuántico, sino que sólo lo es nuestra percepción de él.
Referencias
[1]
[5]
[6]
t Hooft, G. "Quantum Gravity as a Dissipative Deterministic System", Class.
Quant. Grav. 16 (1999) 3263, arXiv:gr-qc/9903084.
,
t Hooft, G. "Determinism in Free Bosons", Int. J. Theor. Phys. 42 (2003)
355, arXiv:hep-th/0104080.
Elze, H. Th. "Deterministic models of quantum fields", J. Phys.: Conf. Ser.
33 (2006) 399, arXiv:gr-qc/0512016v1.
Blasone, Jizba, M. P. and Kleinert, H. Annals of Physics 320 (2005) 468,
arXiv: quant-ph/0504200; id., Braz. J. Phys. 35 (2005) 497, arXiv: quant-
ph/0504047.
t Hooft, G. "Emergent quantum mechanics and emergent symmetries", pre-
sented at PASCOS 13, Imperial College, London, July 6, 2007; ITP-UU-
07/39, SPIN-07/27; arXiv:hep-th/0707.4568.
t Hooft, G. "Entangled quantum states in a local deterministic theory", 2nd
Vienna Symposium on the Foundations of Modern Physics (June 2009), ITP-
UU-09/77, SPIN-09/30; arXiv:0908.3408v1 [quant-ph].
Einstein, A. Podolsky, B. and Rosen, N. "Can Quantum-Mechanical Descrip-
tion of Physical Reality Be Considered Complete?", Phys. Rev. 47 (1935)
777.
19
[8]
,
,
Alberto Mejías
Bell, J. S. "Speakable and unspeakable in quantum mechanics" (Cambridge
Univ. Press, Cambridge, 1987).
[9]
t Hooft, G. "The mathematical basis for deterministic quantum mechanics",
in Beyond the Quantum, World Scientific, Th. M. Nieuwenhuizen et al, ed.,
pp.3-19, arXiv: quant-ph/0604008;
[10] Balachandran, A. P. and Chandar, L. Nucl. Phys.B 428 (1994) 435;
[11] Miller, D. B. and Fredkin, E. "Two-state, Reversible, Universal cellular Au-
tomata in Three Dimensions", Proc. 2nd Conf. on Computing Frontiers, Is-
chia, Italy: ACM 45, doi: 10.1145/1062271, arXiv:nlin/0501022.
[12] SAGLE, A. A. and WALDE, R. E. "Introduction to Lie groups and Lie Alge-
bras", Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.
[13] KAUFMAN, B. Phys. Rev. 76 (1949) 1232; Kaufman, B. and Onsager, L.
Phys. Rev. 76 (1949) 1244.
[14]
T
HOOFT, G. "The Emergence of Quantum Mechanics". AIP Conf. Proc.
1446, (2012) 341; doi: 10.1063/1.4728004.
20