Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
Gravedad en un Mundobrana Gravity in the Braneworld Alexander
Moreno Sánchez Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica Bogotá. D. C, Colombia.
amorenosa@unal.edu.co Recibido 01-03- 2013; Aceptado 30 – 03-
2013; Publicado en línea 10 – 10 – 2013 Resumen De forma
hipotética, se ha supuesto que el universo es una
tri-brane inmersa en un espaciotiempo anti-deSitter cinco
dimensional, con la materia bariónica y oscura
con…nada sobre ella, en tanto que la gravedad puede actuar
en todo el espaciotiempo completo, es decir en el espaciotiempo
anti-de Sitter 5D, entonces puede considerarse que la
propagación causal de señales luminosas y
gravitacionales, en general pueden difererir. Se puede dar el
caso de que una señal gravitacional viajando entre dos
puntos sobre la brane pueda pasar al llamado bulk, y que bajo
algunas circun- stancias especiales, dicha señal pueda
manifestarse de forma más rápida que una
señal luminosa que viaje entre estos dos puntos. Es
propósito de este trabajo ilustrar algunos elementos
esenciales del modelo de braneworld, mostrar el hecho anterior, y
determinar algunas consecuencias de este efecto sobre la
cosmología. PACS : 04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv Palabras
Claves: Mundobrane, dimensiones adicionales, reducción KK,
gravitones. Abstract Hypothetically, it is assumed that the
universe is a three-brane embedded in a spacetime …ve
dimensional anti-Desitter with baryonic and dark matter
con…ned on it, while gravity can act across the full
spacetime, ie in anti-de Sitter spacetime 5D, then it may be that
the causal propagation and gravitational light signals in general
can defer. It may be the case that a gravitational signal
traveling between two points on the brane can pass the call bulk,
and that under some circumstances, such a signal can manifest
faster than light signal to travel between these two points.
Purpose of this paper is to illustrate some essential elements
braneworld model, show the above fact, and determine some
consequences of this e¤ect on cosmology. PACS : 04.50.-h,
04.50.Kd, 14.70.Kv Keywords: Braneworld, extra dimensions,
reduction KK, gravitons. c 2013. Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica. Todos los derechos
reservados.
2 1 2 i j 5 así obtenemos[1][2] i j 2 ij ij 2 Centro
Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELO DE
RANDALL-SUNDRUM Introducción Los modelos de altas
dimensiones han cobrado una singular importancia, debido a que
suministran soluciones, enfoques y aproximaciones diferentes a
los convencionales, fundamentalmente en la consideración
de problemas de vieja data en la física; como por ejemplo,
el problema de jerarquías de la física de
partículas, el cual consiste en la débil intensidad
del campo gravitacional en comparación con la intensidad
de los otros campos, en otros términos se trata del
problema existente entre la escala de energía de Planck y
la escala electrodébil, igualmente y sin razón
fundamental se observa, por lo menos a la fecha, una carencia
marcada en la detección de radiación gravitacional,
es decir en este momento no se ha logrado la detección de
las llamadas ondas gravitacionales, por una u otra razón,
además, entre otras muchas cosas, se carece de un marco
conceptual fundamental para la uni…cación de las
interacciones fundamentales, esto es de una teoría de la
gravedad cuántica; a nivel observacional también
encontramos hechos como el de la expansión acelerada del
universo, la observación de la llamada materia oscura y
energía oscura, y recientemente, las anomalías de
la radiación cósmica de fondo. Esto, constituye
toda una suerte de elementos y circunstancias que propician el
surgimiento de marcos teóricos o de teorías
alternativas que den cuenta de los hechos anotados anteriormente
como de otros que no se mencionan en este momento, es
allí, donde radica la importancia de estudiar y analizar
las consecuencias de dichos modelos como el que propone la
teoría de los mundobranas o de braneworld. Se pretende en
este corto trabajo ilustrar algunos aspectos de los llamados
modelos brane, entre ellos la gravedad y la estructura global de
una brane, y la propagación de señales
gravitacionales y electromágneticas en un modelo
braneworld[7][8][9][10] [15] [16]. Modelo de Randall-Sundrum
Considerando una métrica general, que de cuenta de
soluciones de tipo cosmológico, tal como ds2 = N 2 (t;
y)dt2 + A2 (t; y) ij dx dx + B2 (t; y)dy2 , (1) en la cual
podemos hacer B2 (y) ! 1 , con lo cual se libera la coordenada
adicional u extra de la función B2 (y), ds4+1 = N 2 (y)dT
2 + A2 (y) ij dx dx + dy2 , (2) entonces podemos
simpli…car ds4+1 = N 2 (y) + A2 (y) dx dx + dy2 , (3) 2jyj
de tal forma que se puede hacer la siguiente
identi…cación1 N 2 (y) ij + A2 (y) ij = e l : Esta
identi…cación general permitirá desarrollar
el modelo de braneworld y solucionar en principio el problema de
jerarquías, el cual es un problema fundamental en la
física de altas energías. En el marco de los
modelos de braneworld, como por ejemplo en los modelos de Randall
y Sundrum, se considera que las branes estan sumergidas en un
espaciotiempo AdS5 ; en donde se puede introducir un sistema de
coordenado Gausiano normal, así que las cooordenadas en
tal espaciotiempo se pueden denotar como x = (xa ; y) con lo cual
puede considerarse que la métrica adopta la siguiente
expresión[3][4] ds2 = e 2Kjyj dx dx + dy2 , (4) el factor
de curvatura exponencial, introducido anteriormente,
signi…ca que el volumen en el espacio 5D se puede hacer
pequeño cuando y se hace grande. En su primer
artículo Randall y Sundrum mostraron que la
jerarquía entre la escala electrodébil de T eV y la
aparente escala de Plank de 1019 GeV , se puede explicar por el
factor de curvatura, aún si el tamaño de la
dimensión extra es relativamente pequeña (distancia
entre branes). Ya en su segundo artículo mostraron que si
no existía una segunda brane, y la dimensión extra
se extendía al in…nito, la gravedad puede permanece
efectivamente localizada sobre la única brane existente,
ya que el volumen integrado 1 En realidad la métrica
Randall-Sundrum tiene su origén en la teoría de
cuerdas, propiamente dicha, y es allí donde se encuentra
plenamente justi…cado el factor de curvatura exponencial.
2
2 compacti…cación, es decir como un manera
diferente de estudiar y de introducir dimensiones adicionales de
tipo 2 ‘ 2 2 2 ; donde Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica MODELO DE RANDALL-SUNDRUM
permanece …nito cuando y ! 1, esta es la razón por
la cual se propuso este modelo como una alternativa a la espacial
in…nitas. El éxito experimental de la ley Inversa
del Cuadrado y de la Teoría General de la Relatividad, es
que parecen en todas las situaciones implicar cuatro dimensiones
espaciotemporales no compactas (universo 3+1). La
concepción clásica o tradicional es que las
dimensiones adicionales pueden ser aceptadas tan sólo si
ellas son compactas y su…cientemente pequeñas para
ser consistentes con las pruebas gravitacionales corrientes, como
también es que si existen n-dimensiones extras compactas,
la escala de Planck, debe relacionarse con la escala
gravitacional en altas dimensiones, mediante MP l = M 2+n Vn ;
donde Vn , es el volumen del espacio n-dimensional. El modelo
Randall-Sundrum, muestra que nada de lo establecido
anteriormente, es necesariamente cierto, ya que lo establecido
esta basado en las propiedades de una geometría
factorizable, la historia puede cambiar signi…cativamente
cuando tal consideración sea omitida, talvéz la
consecuencia más dramática es que quizá
vivimos en un espaciotiempo de 4 + n dimensiones con n
dimensiones de tipo no compactas, en perfecta compatibilidad con
la gravedad experimental. Se muestra que la masa de Planck esta
determinada por la curvatura de las altas dimensiones más
que por el tamaño de las dimensiones extras. Esta
curvatura no entra en con‡icto con la invarianza
cuadridimensional de Poincaré. La razón de lo
establecido anteriormente, es que la curvatura del espacio
cinco-dimensional soporta un “estado acotado” de un
gravitón en altas dimensiones sin masa permaneciendo
con…nado a una pequeña región del espacio2
[1] [2] [3]. En el escenario braneworld no se realiza una
compacti…cación para localizar la gravedad en la
brane, sino que por el contrario se considera que la curvatura
del volumen (bulk) permite tratar la gravedad, para evitar que
escape’ en las dimensiones extras, en tanto que a bajas
energías interviene una constante cosmológica de
tipo volumétrica (bulk), la cual "presiona" la gravedad 5
= 6 2 l2 = 6 2 , (5) donde l es el radio de curvatura del espacio
AdS5 y donde es la correspondiente escala de energía. Esto
es como si la constante cosmológica volumétrica
actuara para presionar el campo gravitacional cercano a la brane.
La métrica de los modelos RS, se puede escribir de forma
general como ds2 = e 2K(y) dx dx + dy2 , (6) en la que se ha
introducido la función K(y); la cual contiene
información de la dimensión extra. Ahora bien,
llevando la métrica a la ecuación de campo
gravitacional[17] [18] [20], obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones 6K 2 = 2 2 ; 3K = 2 (y) , (7) solucionando la primera
ecuación se obtiene la siguiente solución K(y) = r
2 6 5 y k j y j , (8) corresponde a la función introducida
anteriormente, lo cual nos dice que 5 debe ser negativo, ahora,
si se integra la segunda ecuación desde " a +" y tomando
el límite " ! 0; y en consideración de la
simetría Z2 (simetría de orbifold o
periódica sobre una circunferencia); encontramos 6K = 2 ;
lo cual junto a K(y) = k j y j conduce a que 5 = 6 ; que es la
expresión análoga a lo que se conoce como
ajuste-…no entre la tensión de la brane y la
constante cosmológica volumétrica, así que
mediante un ajuste adecuado permite obtener la solución RS
estática. En el modelo RSI (modelos de dos branes),
localizadas en y = 0; y = L; con simetría Z2 , y donde se
considera que en cada brane existe una tensión, las cuales
son iguales y opuestas, es decir 2 Es decir, que las
‡uctuaciones o interacciones gravitacionales descritas
mediante los gravitones permanezcan acotadas o con-
streñidas a las vecindades de la brane, para evitar que la
energía de dichas interacciones termine escapando. 3
3 2 2 h i 2 3 luego existe un valor bien de…nido para la
masa de Planck, incluso si la dimensión adicional es
in…nita[4]. 3 reguladora’o invisible del sistema de
dos brane. Sin embargo es necesario determinar cuando el espectro
de las ‡ uctuaciones tensoriales : 5 ; 2 Centro Colombiano
de Cosmología y Astrofísica GRAVEDAD EN EL
BRANEWORLD RS = 3Mp 4 l , (9) de este modo en la brane de
tensión positiva existe la escala fundamental de
energía M5 (llamada brane oculta), y en la brane de
tensión negativa encontramos localizados los campos del
Modelo Estándar que están con…nados sobre
esta brane (llamada brane visible). Debido al factor de curvatura
exponencial, la escala efectiva sobre la brane visible en y = L
es la escala de Planck Mp , donde[3] Mp = M5 l 1 e 2L=l , (10) 2
3 expresión que muestra una aproximación a la
solución del problema de jerarquías, cuando L ! 1,
Mp = M5 l; En resumén, el modelo RSI, propone un mecanismo
para solucionar el problema de jerarquías introduciendo
una dimensión extra pequeña, con un espacio
intermembrana tipo AdS5 ; en tanto que en el segundo modelo RSII
introduce una brane con tensión positiva y donde la
segunda membrana se remueve al in…nito, de tal forma que
aun si no existe la otra brane y la dimensión extra se
extiende hasta el in…nito, la gravedad permanece efectiva-
mente localizada sobre la brane existente, ya que el volumen
completo permanece …nito cuando la dimensión extra
tiende a in…nito, esto es lo que se ha propuesto como una
alternativa a la compacti…cación. Gravedad en el
Braneworld RS Según lo anterior no existe problema en
tomar L ! 1; esto permite remover la brane ‘ linealizadas
es consistente con la gravedad cuadri-dimensional convencional.
Esto, se requiere encontrar todos los modos de oscilación
que pueden aparecer en el marco de la teoría
gravitacional, cuadri-dimensional, efectiva, desarrollando una
reducción Kaluza-Klein en cuatro dimensiones
(expansión en términos de una serie de Fourier).
Para hacer esto, se considera una perturbación a la
métrica; la cual se puede expresar como h = h(x ; y) =
(y)e ipx ; lo cual representa las ‡uctuaciones
gravitacionales linealizadas, alrededor de la métrica e
2kjyj De forma simple se puede interpretar h(x ; y) como el campo
de gravitones (modos de "radiación gravitacional " o de
ondas gravitacionales), los cuales se pueden expresar como una
superposición de ondas planas, para cumplir con la
condición de ‡uctuaciones pequeñas o
linealizadas[5][6] [17] [18] [19]. De tal manera que los
gravitones deben de satisfacer una ecuación de onda, la
cual en cinco dimensiones es @ @ @j @j + V (y) h(x ; y) = 0 ,
(11) donde los índices griegos barren las cuatro
dimensiones convencionales, y los índices latinos barren
las dimensiones extras, el término V (y) que representa un
‘potencial’(potencial geométrico) no trivial
surgido de la curvatura de la dimension adicional. De esta forma
tenemos que la función (y) es un modo propio de la
ecuación de onda en la dimensión extra @j @j + V
(y) (y) = m2 (y) , (12) donde m2 = p2 , representa el momentum
asociado a las ondas planas o simplemente la masa 4-dimensional
de las exitaciones KK. De…niendo las componentes de la
‡uctuación que permitan obtener una solución
simple o que lleve a que las componentes de la métrica
queden desacopladas, mediante una calibración o gauge, se
de…ne el gauge R-S h55 = h = 0; h = 0; h = 0 . (13) Es
posible mostrar que esta condición se puede imponer en el
bulk, conduciendo, a la ecuación de movimiento a 2 4 + @y
4l 2 h =0 , (14) 4
3 5 ; , 5 5 e e 2 2 l e 1 , 1 Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica GRAVEDAD EN EL BRANEWORLD
RS sin embargo, en general, el escoger el anterior gauge, no
garantiza que la brane quede localizada en y = 0; de tal manera
que la localización de la membrana en general
estará dada por una función en la dimensión
adicional, de…nida sobre las coordenas de la brane y = de
onda sobre la brane 5 (x ) , donde la función de
localización satisface una ecuación 4 5 = 1 6 T ,
(15) realizando un cambio de coordenas de normales (x ; y) a
coordenadas Gaussianas normales x ; y ; en el cual
de…nimos la brane localizada en y = 0; además de
que h55 = h = 0; h = 0; h = 0; adicionalmente se asume que existe
simetría en las condiciones cuando y ! y; para poder
trabajar sobre el lado positivo de la membrana y = +0, de tal
manera que se puede mostrar que las condiciones de frontera sobre
la brane requiere que @y (e 2kjyj + h) = ( =3) (e 2kjyj + h) Te
2kjyj + 3T (16) condición de frontera que implica que @y +
2l 1 h = (T 1 3 e 2kjyj T ) , (17) como en ambos gauges h55 = h =
h55 = h = 0, la transformación más general entre
ellos toma la forma 5 = 5 (x ) , (18) = l 2kjyj 2 5 (x ); + (x )
, (19) y la ecuación de transformación del gauge
toma la forma h = h l 5; 2l 1 e 2kjyj 5 + e 2kjyj ( ; ) , (20) de
tal manera que la condición de frontera, anotada
anteriormente, se reduce a @y + 2l 1 h = (T 1 2kjyj 3 T ) + 2 1
5; , (21) así que la ecuación de onda que satisface
el gravitón, en consideración de las condiciones de
frontera es 4 a2 + @y 4 l2 4 + (y) h l = (T 1 3 e 2kjyj T ) + 2 1
5; (y) , (22) el siguiente paso es obtener la solución de
onda anterior, para lo cual de…nimos la función de
Green retardada 5D, que satisface 4 a2 + @y 4 2 4 + (y) GR (xa ;
xa ) = l 5 (xa xa ) , (23) entonces la solución para los
gravitones se puede expresar como h = 2 Z d4 x GR (x ; x ) (T 1
2kjyj 3 T ) + 2 5; (24) donde la integración se realiza
sobre la membrana, es decir cuando y = 0; como h = 0; tenemos que
(T 1 3 e 2kjyj T ) + 2 1 5; = 0; lo cual nos conduce a la
ecuación 4 5 = 6 T: 5
4 d k 4 k 2 dm 2 , 4 ml r p 2 2 (26) 4 Z 1 a , 2 2 3 G(x; y; x;
0) , (29) 8 l 2 Como se quiere obtener una solución sobre
la brane, es decir obtener los efectos de la ‡
uctuación gravitacional 4 52 j l Z 1 2kjyj m Z Centro
Colombiano de Cosmología y Astrofísica
APROXIMACIÓN DE CAMPO DÉBIL El comportamiento de h
en el in…nito está determinado por la forma de GR
(xa ; xa ) : La función de Green puede ser construida de
un conjunto completo de estados propios en la forma usual,
tenemos GR (xa ; xa ) = Z (2 ) e ik (x x ) 2 (y)2 (y)2 ($ + i ) +
Z0 1 um (y)um (y) m + k2 ($ + i )2 (25) donde el primer
término corresponde al modo cero de la oscilación y
el resto corresponde a los modos continuos KK, que se pueden
expresar por[5] 2 ml J1 (ml)Y2 ( a ) Y1 (ml)J2 ( ml ) um (y) = .
J1 (ml)2 + Y1 (ml)2 En lo siguiente se tratará de inferir
el comportamiento de dicha función de onda.
Aproximación de Campo débil Para obtener la
aproximación de campo débil, en principio se
considera una masa sobre una membrana y se hacen las
consideraciones adecuadas para encontrar la forma …nal del
campo gravitacional débil y estático para hacer una
aproximación a la ley universal de la gravedad de Newton.
Para el caso estacionario, se considera la función de
Green para el operador Laplaciano en términos de la
función de Green 5D hallada anteriormente, obteniendo[20]
G(x; y; x; y) = dtGR (xa ; xa ) , (27) 1 donde x son las
coordenadas cartesianas espaciales sobre la brane. Cuando ambos
puntos de la coordenada adicional se toman sobre la brane, es
decir y = y = 0 , se obtiene G(x; 0; x; 0) 1 4 l jx xj " 1+ l2 2
+ 2 jx xj # (28) ahora, si solamente uno de los puntos
está sobre la brane, podemos encontrar, la siguiente
expresión a3 6 2ajxjx xxj++23l3=2 7 lo anterior muestra
que la perturbación métrica (gravitón) decae
rapidamente al horizonte AdS5 cuando y ! 1: sobre la brane,
hacemos uso nuevamente de las coordenadas normales Gaussianas, de
la sección anterior y obtenemos lo siguiente h = hm + h; +
l 5; + 2l 1 e 2kjyj 5 ( ; ) , (30) en donde se ha hecho la
separación entre los términos correspondientes a
campos de materia, y los correspondi- entes al desplazamiento
sobre la brane. De tal forma que se puede expresar la
‡uctuación gravitacional de la siguiente manera h =
2 d4 xGR (xa ; xa ) (T e T ) 5 , (31) 3 h = 4 d4 xGR (xa ; xa ) 5
, (32) entonces, colocando y = 0; y escogiendo adecuadamente, se
obtiene la forma que tiene la ‡uctuación
gravitacional en coordenadas Gaussianas 6
5 r r 4 Z Z dr R 8 8 Z r 3r 3r r , 6 5 Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica ECUACIONES DE EINSTEIN
SOBRE UNA BRANE. h = hm + 2l 1 e 2kjyj 5 , (33) considerando, que
la masa sobre la brane tiene simetría esférica y
estática, con un tensor momentum-energía dado por T
= (r)u u ; se puede obtener h = drr2 V (r) , (34) 3 0 r2 0 donde
V (r) = 2 GR (xa ; xa ) (x)d3 x , con lo cual obtenemos h00 = V
(r) ; hrr = drr2 V (r) , (35) 3 3r3 0 nuevamente, haciendo uso de
las coordenadas Gaussianas normales, se puede expresar la
‡uctuación gravitacional de la siguiente manera h00
= 2GM r 2l2 (1 + 2 ) ; hrr = 2GM r l2 (1 + 2 ) ij , (36)
expresiones que muestran la forma que tendría el potencial
Newtoniano, el cual determina la atracción de cuerpos
vecinos sobre la brane. Los coe…cientes de
corrección l2 =r2 ; debidos a los modos KK, son diferentes
en ambos casos, porque 5 contribuye sólo a los modos cero
de la ‡uctuación[5]. Como ya se mencionó
anteriormente las partículas del modelo estándar,
en este escenario, viven sobre la brane de tensión
constante negativa, mientras el volumen es una porción de
un espaciotiempo AdS5 , es decir que el bulk es un espaciotiempo
con una constante cosmológica negativa. En el modelo RSII,
la solución de la ecuación de Einstein sobre la
brane de tensión positiva, permite a un observador
con…nado a la brane, recobrar la ley de Newton si la
escala de curvatura del espacio AdS5 es menor que un
milímetro. Además, se encuentra que el espacio de
altas dimensiones es no compacto, en contraste con el modelo de
Kaluza-Klein, lo cual permite obtener un espectro de modos
continuos de Kaluza-Klein para el campo gravitacional, en
contraste con el espectro discreto si la dimensión extra
es períodica y compacta. Según lo mostrado
anteriormente, se puede escribir la fuerza entre dos masas
estáticas sobre la brane, especí…camente se
tiene que la energía potencial entre dos masas puntuales
con…nadas a la brane está dada por V (r) = GN m1 m2
r l2 1+ 2 + O 1 r3 (37) donde l2 = 2 , lo cual muestra una
relación entre la constante cosmológica
volumétrica con la escala de 5 curvatura del espacio AdS5
. Hasta la presente, los experimentos gravitacionales no muestran
desviación de la ley gravitacional de Newton a escalas
mayores de un milímetro[3], lo que obliga a pensar que l
debe ser menor que esta escala de longitud. Ecuaciones de
Einstein sobre una Brane. En esta sección se
mostrará el fundamento teórico que sudyace a la
teoría del braneworld (es decir se hace una
análisis desde el punto de vista geométrico), en
partícular se derivará la ecuación de campo
sobre una 3-brane. Por simplicidad el volumen espaciotemporal se
asume que tiene cinco dimensiones, sin asumir nínguna
condición especial sobre el bulk. Posteriormente, se
asumirá la simetría Z2 (simetría espejo o de
orbifold) y se con…nará el tensor
momentum-energía de materia sobre la brane. En el
escenario braneworld, nuestro mundo 4-dimensional es descrito por
una pared de dominio 3 brane (M; h ), en un espaciotiempo
5-dimensional bulk (V; g ); y donde se denota el vector normal
unitario a la brane M por n así que la métrica
inducida sobre M se puede expresar como h = g n n : El punto de
partída formal es la ecuación de Gauss, de la
teoría de variedades3 3 Siguiendo el libro, An advanced
course in general relativity de Eric Poisson, los índices
látinos a, b, c, …, recoren 0,1,2,3; en tanto que los
ídices griegos ; ; :::; recorren 0,1,2,3,4. 7
5 a a R 1 2 2 d , 1 2 Rg n n ea eb : d 2 j la dimensión
extra. Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica ECUACIONES DE EINSTEIN SOBRE UNA BRANE. R ea
eb ec ed = Rabcd + Kad Kbc Kac Kbd , (38) y para obtener las
consideraciones dinámicas del modelo se hace uso de la
ecuación de Codazzi Rabcd n ea eb ec = Kabjc Kacjb , (39)
realizando un proceso algebraico de contracción de
índices se obtiene Rbd = R eb ed Kd Kba + KKbd , (40)
tenemos de consideraciones, en variedades e
hipersuper…cies como de espacio, la siguiente
expresión R eb ed = R eb ed R n n eb ed , (41)
expresión , que se reemplaza en la ecuación de
Gauss contraída, para obtener, la siguiente
expresión Rbd = R eb ed n n eb ed + KKbd Kd Kba , (42)
tomando el tensor de Einstein en cuatro dimensiones, tenemos Gab
= Rab hab R , (43) de tal manera que a partir de la
ecuación de Gauss contraída, se puede obtener el
tensor de Ricci y el escalar de curvatura, obteniéndose la
siguiente expresión para el tensor de Einstein[21] [23]
[24] Gab = G 1 ea eb + R n n hab + KKab Kb Kad hab 2 K 2 K bd Kbd
E (44) donde G = R , E = R Haciendo uso de la ecuación de
campo de Einstein en cinco dimensiones R 1 2 g R = 2 T , (45) y
descomponiendo el tensor de Riemann en el tensor de curvatura de
Weyl, el tensor de Ricci y el escalar de curvatura, podemos
obtener la siguiente expresión Gab = 2 3 T ea eb + T n n T
4 hab + KKab Kb Kad hab 2 K 2 K bd Kbd Eab , (46) donde Eab = C n
n ea eb ; término conocido como radiación oscura.
De la ecuación de Codazzi y con la ecuación de
Einstein 5-dimensional, se encuentra K Kj = 2 T n h . (47) Hasta
el momento no se ha asumido ninguna simetría ni forma
partícular del tensor momentum-energía. Entonces en
consideración del escenario braneworld, se toma y como la
coordenada adicional, y de este modo la brane o
hipersuper…cie queda localizada en y = 0, en donde
además, se encuentra la siguiente condición n dx =
dy; lo cual implica que a = n nj = 0 , que es una
condición sobre la coordenada en la dirección de En
forma genérica asumiendo, una métrica
5-dimensional, tenemos ds2 = hab dxa dxb + dy2 , (48) manteniendo
el espíritu del braneworld en mente, tenemos que el tensor
momentum-energía 5-dimensional, se puede escribir de la
siguiente forma 8
6 2 1 1 1 1 ! 0. Es 6 b2 6 8 ; Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica ECUACIONES DE
CONSERVACIÓN T = g +( h ) (y) , (49) donde, es la
constante cosmológica del espaciotiempo cinco-dimensional
o volumétrico, es la energía del vacío de la
brane, es el tensor momentum-energía del universo sobre la
brane. El parámetro se puede asociar con la tensión
de la brane en 5-dimensiones. En el marco del braneworld, el
tensor momentum-energía, solamente está presente
sobre la brane, por ello su carácter singular, el cual se
representa mediante la función delta que aparece en la
expresión anterior, en consid- eración de lo
anterior , se encuentra la condición de frontera sobre la
brane, que debe cumplir la métrica inducida y la curvatura
extrínseca, [h ] = Limy!+0 h Limy! 0 h = 0; [K ] = ( h ) 3
h ( ) : Imponiendo la simetría Z2 , con la brane como
punto …jo, la simetría unicamente determina la
curvatura extrínseca de la brane en términos del
tensor momentum-energía K + = K = 1 2 2 ( h ) 1 3 h ( ) ,
(50) sustituyendo esta ecuación en la expresión del
tensor de Einstein, se obtiene la ecuación gravitacional
sobre la brane, y considerando la simetría Z2 ; la forma
partícular del tensor momentum-energía y las
condiciones de frontera Gab = 4 hab + 8 GN ab + 4 ab Eab , (51) 4
donde 4 = 1 2 + 1 2 2 ; GN = 48 ; ab = 4 ac c + 12 ab + 1 hab cd
cd 24 hab 2 : La ecuación gravitacional de la brane
describe la curvatura de la brane en téminos de su
contenido de materia- energía, su energía de
vacío, la constante cosmológica 5-dimensional, y de
la curvatura extrínseca de la brane en el espacio
5-dimensional. Ella se puede reducir a la descripción
estándar tomando el límite importante notar que por
el hecho de haber introducido una dimensión adicional,
conduce a una ecuación de campo modi…cada, en la
cual aparecen dos términos adicionales importantes,
conocidos en la literatura como, el término de
energía del vacío y de radiación
oscura[7][8] [9] [10]. Ecuaciones de conservación Se puede
llegar, según lo anterior, a la siguiente expresión
T ; = 2Tab na gb , (52) entonces en general existe intercambio de
energía-momentum entre el volumen y la brane. Pero esta
condición general se puede obviar, haciendo que el volumen
(bulk), no tenga contenidos de materia-energía, T = 0; lo
cual nos lleva a que, la ecuación de Einstein 5D se pueda
reducir a G = g , (53) de este modo la ecuación de
intercambio de energía-momentum, entre el bulk y la brane,
se reduce a T =0 , (54) esto signi…ca que no existe
intercambio de energía-momentum entre el bulk y la brane;
su interacción es puramente gravitacional. Entonces la
identidad de Bianchi 4D contraída, G ; = 0 , aplicada en
la ecuación de campo efectiva sobre la brane, conduce a E
; = 6 2 ; , (55) lo cual muestra que el término de
radiación oscura es el responsable de establecer la
interacción gravitacional entre el bulk y la brane[3].
9
7 ; 2 ; 2 7 considera 4 3 2 Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica REDUCCIÓN A LA
ECUACIÓN DE CAMPO ESTÁNDAR Como una consecuencia de
la ecuación de Codazzi, el tensor momentum-energía
volumétrico, junto con la simetría Z2 , implican
que se conserva el tensor momentum-energía, es decir T =0
, (56) cuando tengamos campos escalares u otra clase de campos en
el volumen, la a…rmación anterior en general no es
cierta, es decir que T no se conserva, produciéndose un
intercambio de energía-momentum entre la brane y el
volumen. En el caso de que exista sólo una constante
cosmológica en el volumen, no se daría tal
intercambio de energía. Considerando la anterior
expresión, encontramos que la identidad de Bianchi
contraída G ; = 0; conduce nuevamente a que la
proyección del tensor de Weyl, obedece la
restricción E ; = 6 ; , esto muestra que E ; se comporta
como una fuente del tensor momentum-energía
volumétrico, lo cual en general incluye gradientes
espaciales y derivadas temporales. Entonces la evolución e
inhomogéneidades en los campos de materia puede generar
efectos gravitacionales no locales en el volumen, produciendo una
reacción de la brane. Finalmente se recalca, aunque ya se
esbozo anteriormente, que las ecuaciones dinámicas sobre
la brane son Gab = 4 hab + 8 GN ab + 4 ab Eab , (57) T =0 , (58)
E ; = 6 2 ; . (59) Es importante notar que en general este
sistema de ecuaciones no costituyen un sistema cerrado sobre la
brane, ya que la ecuación E ; = 6 ; no determina E de
forma general, re‡ejando el hecho de que los grados de
libertad volumétricos no pueden ser predichos de los datos
disponibles sobre la brane, por ejemplo si se incorpora
radiación gravitacional afecta la brane, de tal manera que
se requiere solucionar la ecuación de campo en el volumen
para después determinar completamente E sobre la brane[9].
Reducción a la ecuación de campo estándar El
modelo físico modi…cado, objeto de este trabajo, si
pretende ser un modelo factible, debe cumplir el requisito de
reducción al modelo estándar, bajo algunas
simpli…caciones coherentes; además debe hacer
algunas predicciones físicas observables o medibles
experimentalmente, mismas que no se puedan predecir o determinar
del modelo estándar. La ecuación de campo ilustrada
anteriormente se puede reducir a la ecuación de campo
convencional si se ! 0; mientras que GN permanezca …nito,
sin embargo existen algunas diferencias importantes, ya que la
constante gravitacional de Newton GN = 48 está fuertemente
ligada a la energía del vacío , sobre la membrana,
en otros términos se hace imposible de…nir la
constante gravitacional de Newton en una era donde la
distinción entre energía del vacío y la
energía de la materia normal sea ambigua. Además,
el nuevo término E es una parte del tensor de Weyl
cinco-dimensional el cual lleva la información del campo
gravitacional fuera de la membrana, este se puede despreciar si
el espaciotiempo volumétrico es un espacio puramente
anti-d´Sitter además que su magnitud está
restrigida al movimiento de la materia sobre la brane.
Considerando = MG , = M 4 y 2 2 ; estas no son cantidades a la
escala de Planck, asumiendo que MG ; M son su…cientemente
grandes comparadas con la escala de energía fundamental
denotada por M: De tal manera que tenemos que el primer
término, considerado en la ecuación de campo sobre
la brane, es la constante cosmológica neta en
4-dimensiones, donde < 0; para que 4 pueda tomar valores
arbitrarios, especí…cando los valores de y : El
segundo término, corresponde a la contribución de
la materia normal la cual debe satisfacer la condición de
energía local. El tercer término que es
cuadrático en ab se espera sea despreciable en el
límite de baja energía, lo cual se puede mostrar
obteniendo la razón de éste término al
segundo término, lo cual es aproximadamente 10
L L , 8 i 2 Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica8 SOLUCIONES GENERALES Y ESTRUCTURA GLOBAL 4 j
GN j ab j ab j 4 j c ac b GN j + ab j j M 4 M 4 . (60) Por
último, considerando el término correspondiente al
tensor de Weyl, y considerando su parte longitudinal Eab ;
tenemos Eab GN j ab j 4 j c ac b GN j + ab j j M 4 M 4 , (61)
luego tiene el mismo ordén de magnitud del tercer
término de la ecuación de campo. Posteriormente se
considera, la parte transversal del tensor de Weyl, el cual
está directamente relacionado con la exitación de
materia sobre la brane. De los estímados arriba se puede
concluir que la ecuación gravitacional efectiva sobre la
brane se reduce a la ecuación gravitacional 4-dimensional
efectiva Gab = 4 hab + 8 GN ab (62) todo ello en el límite
de baja energía[11][12] [13]. Soluciones generales y
estructura global Existen dos aproximaciones distintas para
determinar la cosmología sobre el braneworld. En la
primera aprox- imación, las coordenadas son escogidas de
tal forma que la brane queda en una posición …ja en
la dimensión extra. De otro lado la métrica
volumétrica 5D, es dependiente del tiempo y esta
dependencia temporal induce una dependencia temporal sobre la
brane vía las condiciones de frontera. La ecuación
de Frieddman resultante sobre la brane involucra un
término cuadrático en la densidad de energía
con…nada en la brane, como también un
término de radiación ‘oscura ’originado
por el tensor de Weyl en el volumen. En la aproximación
alternativa, pero equivalente, el volumen es estático y la
brane dinámica, la brane se mueve a través de un
volumen métrico independiente del tiempo. Si la
ecuación de Einstein en el vacío se mantiene en el
volumen y si se impone que nuestro universo brane, tenga la
simetría de una 3-esfera, entonces es posible probar que
el volumen debe ser un espacio Swarzchild-Anti d ´Sitter,
Sch AdS5 , y su dinámica puede ser determinada de las
condiciones de frontera. De tal forma que el movimiento de la
brane en el volumen induce la cosmología (dinámica)
sobre la brane, aun si no se con…na materia sobre la
brane, este hecho se conoce en la literatura como ‘efecto
espejismo’ya que la evolución cosmológica no
es necesariamente producida por la densidad de energía
local de la brane . Cuando la materia es también incluida
sobre la brane, la ecuación de Friedmann resultante,
obtenida con esta aproximación, es idéntica a la
que se obtiene cuando la brane es estática y el volumen
dependiente del tiempo. Es de notar que la transformación
de coordenadas explícita que víncula las dos
aproximaciones, se puede encontrar. En ambas aproximaciones, se
asume que la brane divide el volumen en dos partes iguales, esto
es, la simetría Z2 que cruza la brane. En el contexto de
brane en movimiento, además se puede tener constantes
cosmoló- gicas diferentes y masas distintas parametrizando
el espaciotiempo Sch AdS5 , sobre cada lado de la brane,
produciendo cambios en la dinámica de la brane. Para
determinar la estructura global del universo en el marco de los
modelos brane y en la segunda aprox- imación discutida
anteriormente, se toma en consideración una métrica
general que conduzca a soluciones cosmológicas admisibles,
de tal forma que la métrica más general que podemos
considerar tiene la siguiente forma[22] [23] [24] [25] ds4+1 = N
2 (y; T )dT 2 + B2 (y; T )dy2 + A2 (y; T ) ij dx dxj . (63) La
métrica está en la formulación 4 + 1 , en
donde se asume que las funciones presentes sólo dependen
del tiempo cósmico T y de la dimensión espacial
adicional y: Inicialmente, podemos considera que el espaciotiempo
volumétrico, es decir el espacio 5D, es estático,
lo cula nos conduce a restrigir la dependencia de las funciones
11
2 ; 2 , 2 k 2 " # 1 da dr2 2 h 1 da 2 F (a) F (a) dT i 2 , 2 (68)
2 0 q 1 F (a) a 2 q ! (70) (71) d2 x dt2 2 q ! ; Centro
Colombiano de Cosmología y Astrofísica8 SOLUCIONES
GENERALES Y ESTRUCTURA GLOBAL sólo a la dimensión
adicional, así que N 2 (y); B2 (y); A2 (y) . Como el
objetivo es obtener una membrana compatible con la
cosmología estándar, realizamos una
transformación de coordenadas normales a esféricas
T; y; x1 ; x2 ; x3 ! (T; R; ; ; ) ; lo cual nos permite expresar
la métrica en la siguiente forma ds4+1 = N 2 (R)dT 2 + B2
(R)dR2 + A2 (R) d 2 + 2 k d 2 + sen2 d 2 , (64) donde d = dr (1
kr2 )1=2 y 2 k toma diferentes formas dependiendo del
índice de curvatura. Realizando las siguientes
identi…caciones N (R) F (R) , B2 (R) 1 F (R) , A2 (R) R2 ;
F (R) = k R2 l2 R2 , donde es el parámentro de masa u
escala de energía, llegamos a ds4+1 = F (R)dT 2 + 1 F (R)
dR2 + R2 dr2 1 kr2 + 2 k d 2 + sen2 d 2 (65) en esta
métrica si 2 = senh 1 ; se obtiene una
representación del llamado espacio Schwarschild-Anti d
´Sitter (Sch AdS5 ): Considerando que la brane evoluciona
en el espacio de cinco dimensiones, podemos identi…car, la
coordenada radial R con el factor de escala, y asumir que el
tiempo cósmico es una función del tiempo propio t ,
medido sobre la brane, de tal forma que tenemos R = a(T ); T = T
(t); que constituyen las ecuaciones que nos de…nen la
membrana, o matemáticamente la restricción sobre
las coordenadas, lo cual permite de…nir la
hipersuper…cie, según lo anterior, la
métrica para la hipersuper…cie o brane se puede
escribir de la siguiente manera ds3+1 = F (a) dT 2 + a2 + k d 2 +
sen2 d 2 , F (a) dT 1 kr2 en la cual se puede hacer la
identi…cación con coordenadas sobre la brane,
identi…cado dt2 ; lo que nos permite encontrar la
métrica FRW (66) dT 2 = ds3+1 = dt2 + a2 dr2 1 kr2 + 2 k d
2 + sen2 d 2 (67) así con la métrica Sch AdS5 ; se
puede obtener algunas cantidades físicas especiales, las
cuales permitiran evaluar explicitamente las componentes de
algunas cantidades tensoriales. Por ejemplo, la
cinco-posición tiene la siguiente forma x = (x0 ; x1 ; x2
; x3 ; x4 ) = (T (t); R(t); ; ; ) , de igual forma se puede
obtener la cinco-velocidad V = dx dt = dT (t) dR(t) ; dt dt ; 0;
0; 0 , (69) ahora bien, introduciendo los elementos de la
métrica, se obtiene la cinco-velocidad covariante y
contravariante F (a) + a V = @ ; a; 0; 0; 0A , V = F (a) + a; ;
0; 0; 0 , F (a) de igual manera se puede de…nir la
cinco-aceleración, A = normales, unitarios a la
hipersuper…cie o brane , y adicionalmente se pueden
encontrar vectores n = a F (a) F (a) + a; 0; 0; 0 , (72) 12
2 0 q 1 F (a) (73) n = @a; ; 0; 0; 0A d dR 2 , 2 r q P 2 F l 2 1
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica8
SOLUCIONES GENERALES Y ESTRUCTURA GLOBAL F (a) + a Con las
anteriores expresiones podemos evaluar la curvatura
extrínseca,.mediante K = 1 @g 2 @ = 1 @g n 2 @x , (74) de
igual manera es posible estudiar las geodésicas nulas, en
el espacio-tiempo volumétrico, las cuales se pueden
considerar que parten de un punto sobre la brane. Si se nombra
ese punto inicial como A, y considerando un sistema coordenado
esférico (r; ; ) en la brane, centrado en el punto A, de
tal forma que cualquier señal puede ser descrita por una
geodésica radial, teniéndose la libertad de ignorar
; , lo cual nos conduce a un problema tridimensional, con una
métrica de la forma ds2 = F (R)dT 2 + 1 F (R) dR2 + R2 dr2
, (75) entonces para obtener las trayectorias geodésicas
es conveniente recurrir a los vectores de Killing de la
métrica, @ @ los cuales son @T ; @r cual implica que . Si
se denota k = dx ; que representa un vector tangente a la
geodésica, lo kT = F (R) dT d = E , (76) kr = R2 dr d = P
, (77) las cuales son constantes de movimiento a lo largo de la
geodésica. Si además se imponme que k ; sea un
vector nulo se encuentra lo siguiente ( d ) = E2 P 2 F (R) R2
(78) la cual conduce a la siguiente expresión E2 P 2 F R2
1=2 dR R2 = dr , (79) que representa la ecuación que
relaciona las distancias sobre la 3-brane con la coordenada
radial en el espacio cinco-dimensional o equivalentemente el
factor de escala que marca la expansión sobre la brane,
con la coordenada radial volumétrica. En el caso
partícular k = = 0 , se obtiene las expresiones para las
geodésicas radiales y temporales 1 RA 1 R = 1 P 2 E E2 l2
P r , (80) de lo anterior se obtiene dR F 2 1 E2 R2 = dT , (81) 1
RA 1 R 1 = 2 r P 2 E2 l2 (T TA ) , (82) r = P El2 (T TA ) . (83)
en donde se puede eliminar los parámetros E y P , para
encontrar la ecuación de la geodésica 13
9 l dt 2 Z tB p a " Z Z # tB tB dt dt 2 p a a dt , t 9 2 Ha ,
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
RÉGIMEN DE BAJA ENERGÍA 1 RA 1 R 2 + r2 l2 1 = 4 (T
TA )2 , (84) denotando el punto …nal de la
geodésica por B; se tiene que la diferencia temporal TB TA
se puede determinar usando dT , en términos del tiempo
propio de la brane, es decir del tiempo cósmico de la
braneworld[21] [22] [23] TB TA = l 1 l2 H , (85) tA por lo tanto,
encontramos que entre tA y tB , una partícula sobre la
geodésica nula ha viajado una distancia coomóvil rg
2 2 1=2 rg = 1 l2 H lH , (86) tA tA de este modo esta
ecuación suministra el radio del horizonte para la
propagación causal de señales gravitacionales entre
dos puntos sobre la brane, que atraviesa el volumen (es decir una
señal que vija en la dimensión adicional), se le
conoce como radio del horizonte gravitacional. El radio del
horizonte para la propagación causal de señales
luminosas sobre la brane (señal electromágnetica
normal sobre la brane), como en la cosmología FRW
estándar, está dado por r = ZtAB a (87) indicando
esta ecuación que este es el camino por el que viajan
fotones y otros campos con…nados a la brane. Será
interesante los casos en los cuales rg ; r son diferentes. Si
nuestro universo fuera estático, H = 0; o de Sitter H >
0; entonces el horizonte de fotones y el horizonte gravitacional
serian exactamente iguales. Régimen de baja energía
Este régimen corresponde a un universo gobernado por la
cosmología estándar FRW, en este caso tenemos que
las dos integrales anteriores junto con dt = ada ; permiten
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