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Introducción a las ecuaciones diferenciales. Teoría y ejemplos resueltos




  1. Introducción
  2. Solución de una ecuación diferencial
  3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
  4. Ecuaciones diferenciales de segundo orden
  5. Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

1.1) DEFINICIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

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La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

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La variable independiente (v. i) es "x" y "y"

La variable dependiente (v. d) es V

1.2) ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo

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1.3) GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

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Solución de una ecuación diferencial

Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.

2.1) FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

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La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.

Verificación

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Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.

2.2) PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo ilustrativo

Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)

Solución:

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2.3) DESCRIPCIÓN DE UNA FAMILIA DE CURVAS

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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3.1) ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

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Resolución.

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Soluciones Particulares

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Graficando en Graph

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Comprobación

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3.2) ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea.

Ejemplos:

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Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación:

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Resolución:

En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio

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Integrando

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Graficando para un valor arbitrario C = 1

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3.3) ECUACIONES EXACTAS

Resolver la ecuación

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Resolución

Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición

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Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta

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Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.

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Graficando la solución de la ecuación diferencial para C = 1

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3.4) ECUACIONES CON FACTORES INTEGRANTES

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Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas

Para obtener los factores de integración se pueden emplear las siguientes reglas:

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Ejemplo ilustrativo: Resolver la siguiente ecuación diferencial

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Solución

Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:

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Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta.

Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas dividida para N es una función de "x" se aplica:

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Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración "x" se tiene una ecuación diferencial equivalente

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Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta.

Como la nueva ecuación diferencial es exacta se procede a resolverla como en casos anteriores. Esta solución queda como tarea para el lector.

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3.5) ECUACIONES LINEALES

Resolver las siguientes ecuaciones lineales

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Solución

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Es una ecuación lineal en "y"

Como la solución es

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Graficando para un valor arbitrario de C = 1

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Es una ecuación lineal en "x"

Como la solución es

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Propiedad conmutativa en los exponentes

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Graficando para un valor arbitrario de C = 1

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Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

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4.1) LA SOLUCIÓN GENERAL COMO COMBINACIÓN LINEAL DE SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Definición de independencia lineal

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Ejemplos:

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Proceso de solución

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Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación diferencial

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Solución:

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Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

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Para comprobar la respuesta, se deriva la función, para lo cual en GeoGebra

a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas opciones.

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b) Se escoge la opción Derivada[(Función)]

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c) Escribir f(x)

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d) Enter. Clic en la círculo de g(x) para que se borre la gráfica de g(x).

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Para calcular la segunda derivada de f(x), se deriva g(x) y se obtiene

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Como se quería comprobar

4.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:

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Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general

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Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.

1) Primer caso: raíces reales y diferentes

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Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial

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Solución:

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Ejemplo 2

Resolver la ecuación

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Solución

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Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

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Resolviendo el sistema

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Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular

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Graficando la solución particular se tiene

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2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales

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Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

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Solución:

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3) Tercer caso: raíces complejas

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Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

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Solución:

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4.3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma

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Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes

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Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados.

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Ejemplos:

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Ejemplos:

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Ejemplos:

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Ejemplos ilustrativos

Hallar la solución general de

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Solución:

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Resolviendo la ecuación auxiliar

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La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

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Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces

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Ecuaciones diferenciales de orden superior

5.1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

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Principio de Superposición o linealidad

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También es solución de dicha ecuación diferencial

Dependencia e Independencia lineal

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En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.

Wronskiano

Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

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Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.

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Ejemplo ilustrativo

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5.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:

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Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.

1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes

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2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales

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3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,

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Ejemplos ilustrativos

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2) Comprobar que

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Solución

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Remplazando valores en

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Como se quería comprobar

3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:

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Solución:

Se observa que

Entonces

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5.3) ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

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Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes

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Ejemplos

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Casos especiales tomando en cuenta las raíces de la ecuación auxiliar

Ejemplos ilustrativos

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Casos especiales tomando en cuenta la multiplicidad

Ejemplos ilustrativos

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Se debe vericar la multiplicidad en forma individual

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Notas:

Una vez obtenida la complementaria y la ecuación particular se procede a resolver como en casos anteriores.

Próximamente se publicará las respectivas de tareas de cada uno de los temas.

Se recomienda visitar las siguientes direcciones en donde se encontrará artículos sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Probabilidades, Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial y planificaciones por módulos curriculares

http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/24

http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias

http://es.scribd.com/mariosuarezibujes

https://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591

http://articulosmatematica.blogspot.com

Cordialmente

 

 

Autor:

Mgs. Mario Suárez

 


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