Investigacion de Operaciones

I. PROGRAMACIÓN LINEAL
ENTERA

INTRODUCCION:

 El problema con la programación lineal
entera, es que no existe un algoritmo rápido para hallar
la solución. El método más frecuentemente
utilizado, se llama el de ramificar y acotar y es una
adaptación de la solución continua. Este algoritmo
toma la solución del programa continuo y la divide en dos
problemas si ésta no fue entera (si lo hubiera sido ya
habríamos terminado, pero eso sólo sucede en las
películas), cada uno con una restricción de
más.  Por   ejemplo, si la solución
continua fue X1 = 7.25, se dividiría en dos problemas, uno
con la restricción X1<=7 y el otro con la
restricción X1 >= 7 . Se encuentran las soluciones,
para estos problemas y se comparan, le mejor gana; si no es
entera se repite el proceso de nuevo. Como se puede ver,
éste método consume muchos más recursos de
máquina; en un problema de Planeación Agregada, con
unas cien variables y unas sesenta restricciones, y algo de 
mala suerte, se podrían estar resolviendo unos cuantos
miles de problemas continuos asociados, y cada uno de estos
podría consumir bastante tiempo. Tal vez con los nuevos
estudios en métodos de punto interior, como el de
Karmakar, se pueda derivar un método mucho más
eficiente que el de ramificar y acotar.

A propósito, Solver utiliza
ramificar y acotar para la programación lineal
entera.

Resolver:

Max Z = 3 X1 +
4X2              
4 X1 + 2X2  <= 
8              
2X1   + 5X2  <= 
10       

X1, X2 enteros positivos.

Lo modelamos de igual manera que el
ejemplo
continuo, y en las restricciones especificamos que X1 y X2
son enteros. No es más.

Y en las restricciones…

Para los programas Lineales enteros es muy
importante que Solver, esté debidamente configurado para
un número suficiente de iteraciones, de tiempo,  de
precisión y de convergencia, para esto ver los detalles de
Solver.

EJEMPLO DE RAMIFICACIÓN Y
ACOTACIÓN

A través d e un ejemplo de
Programación Lineal entera mixta aplicada a la
Planeación Agregada se utilizara el siguiente modelo
matemático para explicar el algoritmo de Ramificar y
Acotar:

Min Z = 800T1 +800T2 + 800T3+800T4+800T5+800T6 (el total
de salarios en tiempo normal)

+200C1 +200C2+200C3+200C4+200C5+200C6 (el costo de
contratar C empleados por mes)

+500D1 +500D2+500D3 +500D4 +500D5 +500D6 (el costo de
despedir D empleados por mes)

+0.06i1 +0.06i2 +0.06i3 + 0.06i4 + 0.06i5+0.06i6 (costo
de llevar inventario cada mes)

+7.5H1 +7.5H2 +7.5H3+7.5H4+7.5H5 +7.5H6 (costo de
utilizar H horas extras en el mes)

En el contexto de este modelo las variables
T representan el número de trabajadores que se deben tener
en cada periodo (T1 en enero, T2 en febrero, …), por lo tanto
estas variables deben ser enteras. 

Árbol de
Solución:

Los números dentro de los círculos
significan el orden de los pasos a seguir:

1. Resolver el problema Original Continuo. Z nos dio 332
620 pero las cuatro primeras variables nos dieron no enteras.
Entonces toca ramificar por cualquiera de ellas… para no pensar
mucho, escojamos siempre la primera de izquierda a derecha. En
este caso ramificamos por T1 cuya respuesta original fue de 72.5
así es que resolveremos dos subproblemas, en uno le
agregaremos a las restricciones que ya tiene la
restricción T1<=72 y al otro la restricción T1
>= 73.  Podemos escoger cualquiera de las dos ramas para
comenzar a solucionar y seguir… de nuevo para no pensar mucho,
escojamos siempre la rama de la izquierda (no importa cuál
se escoja, aunque el no de iteraciones es diferente según
la rama, no hay forma de saber cuál es la más
rápida, así es que aquí la escogimos por
capricho esa).  Escogiendo la rama de la izquierda se
solucionará el problema agregándole la
restricción T1<=72 y se sigue en el paso 2.

2. Se solucionó el problema con Z =332 730 pero
de la segunda a la cuarta variable no son enteras. Así es
que debemos de nuevo ramificar… dijimos que escogeríamos
primero la primera variable no entera de la izquierda a la
derecha, en este caso T2. Si ramificamos por T2 resolveremos dos
problemas uno con la restricción T2 <= 72 (rama
izquierda) y el otro T2 >= 73 (rama derecha). Resolver rama
izquierda

3. Resulta la rama izquierda Z = 332 958 y todas las
variables enteras. Como todas las variables nos dieron enteras ya
no se sigue ramificando por esa rama, es decir se agota esa rama,
y como es la primera solución entera que hemos encontrado
esta solución es la que va ganando con Z = 332 958
(anotamos en un papelito el valor de Z para que no se nos
olvide). De ahora en adelante, cualquier rama que de un Z mayor
que 332 958 no la seguimos ramificando, no nos interesaría
por que como estamos minimizando no nos interesan valores
más grandes del que ya obtuvimos. Claro que si llegamos a
una solución entera más pequeña que esta, no
nos dará ningún remordimiento olvidarla por
completo y llevar esa como mejor. Como esta rama se agota pasemos
a lo otra rama de T2>=73.

4. Se resuelve el problema con las restricciones que
había en el paso 2  agregándole la
restricción T2>= 73. Ojo! No las restricciones que
habían en el paso 3, como la rama nace del paso 2 se
tomarán esas más la de T2>= 73. Okay, al
resolver da Z = 332 952 y todas las variables enteras. Como el Z
es menor que el que teníamos como mejor de 332 958 nos
olvidamos de ese otro y ahora tendremos como mejor el de 332 952
con T1=71, T2=73, T3=73, T4=73,T5=60,T6=50. Agotada toda la rama
izquierda del problema original resolvemos la rama derecha
agregándole la restricción T1>=73.

5. Se resolvió con Z = 332 976 y las variables de
la 2 a la 4 dieron no enteras, pero no importa, no seguiremos
ramificando por que el Z que dio es mayor que el que ya tenemos
de 332 952.

Finalmente:

Después de 5 iteraciones se encontró el
óptimo con Z = 332 952 y T1=71, T2=73, T3=73,
T4=73,T5=60,T6=50.

Este es un ejemplo minimizando. Para Maximizar lo
único que cambia es que ya no se prefieren las Z
más pequeñas sino las más
grandes. 

II. TEORÍA
DE DECISIONES

1. INTRODUCCIÓN:

La mayoría de las decisiones administrativas
complejas se toman bajo incertidumbre. Los gerentes autorizan
inversiones sustanciales de capital con un conocimiento que no es
completo acerca de la demanda del producto. Los funcionarios
gubernamentales toman decisiones importantes acerca del medio
ambiente que afectara nuestras vidas por muchos años, sin
embargo ellos no tienen disponible un conocimiento preciso sobre
el futuro…….

2. FASES EN EL ENFOQUE DE LA TEORÍA DE
DECISIONES.

El enfoque de la teoría de decisiones
generalmente involucra 3 fases; presentaremos estos mediante el
ejemplo de un fabricante de CDs y tarjetas de video que
está considerando varios métodos alternativos de
expandir su producción para adecuar una demanda creciente
para sus productos.

Fase I.- La primera acción que debe
considerar el que va a tomar las decisiones es listar todas las
alternativas viables que se deben contemplar en la
decisión.

Ejemplo:

• 1. Expandir la Planta.

• 2. Construir Planta Nueva.

• 3. Encargar la Producción de CDs y
  tarjetas de videos a una empresa subcontratista.

Fase II.- Habiendo identificado todas las
alternativas viables, el tomador de decisiones debe ahora listar
los eventos futuros que pueden ocurrir.

Generalmente los que toman decisiones están en
condiciones de identificar la mayoría de los eventos
futuros que pueden ocurrir; la dificultad está en
identificar que evento en particular ocurrirá. Estos
eventos futuros (que no están bajo el control del que toma
la decisión) se llaman estados de la naturaleza en la
literatura de la teoría de decisiones. En este listado
incluimos todo lo que puede suceder; también suponemos que
los estados de la naturaleza se definen de tal modo que solo uno
de ellos puede ocurrir, en el caso de nuestro fabricante de
cintas y discos la mayor incertidumbre se asigna a la demanda
futura del producto.

• 1. Demanda Alta (total aceptación del
  producto en el mercado).

• 2. Demanda Moderada (aceptación moderada
  o regular del producto en el mercado).

• 3. Demanda Baja (Escasa aceptación del
  producto en el mercado).

• 4. Falle (que no existe demanda de
  productos).

Fase III.- El tomador de decisiones construye
ahora una tabla de beneficios.

Una tabla que muestra los beneficios (expresado en
utilidades o en cualquier otra medida que sea apropiada a la
situación), que resultaría de cada posible
combinación de alternativas de decisión y estados
de la naturaleza. La tabla siguiente ilustra los 12 beneficios
posibles en la decisión de expansión de la
compañía de CDs y tarjetas de videos

Tabla de Beneficios para la
Expansión de la Compañía de CDs y
tarjetas

3. DIFERENTES AMBIENTES EN QUE SE TOMAN LAS
DECISIONES:

Los que toman las decisiones deben funcionar en 3 tipos
de ambientes. En cada uno de estos ambientes el conocimiento
sobre los estados de la naturaleza es distinto.

4. DISPONIBILIDAD DE INFORMACIÓN
PERFECTA:

Disponibilidad de Información
Perfecta Decisiones Bajo Certidumbre o Certeza.

Sea (Xj) Problema de Mezcla de
Productos:

Puede suponerse que el beneficio por unidad de un j
– ésimo producto es Cj, el cual es un valor real
fijo. Si Xj es la variable de decisión que representa el
nivel de producción para el producto j, la
contribución al beneficio total del producto j –
ésimo es Cj . Xj el cual de nuevo, es un valor fijo para
un valor dado de Xj.

5. LA DISPONIBILIDAD DE INFORMACIÓN
IMPERFECTA

Sobre un problema nos presenta 2 categorías de
casos en la toma de decisiones.

5.1 Decisiones con Riesgo: El grado de ignorancia
se expresa como una función de densidad de probabilidad
que representa los datos.

Cj: Variable aleatoria.

FD: f (Cj)

• Determinar más de un estado de la naturaleza
  (Debe Suponer)

• Determinar la probabilidad de ocurrencia.

• Cuando hablamos de decisiones de riesgo nos
  referimos a la clase de problemas de decisión para los
  cuales hay más de un estado de la naturaleza y para
  los que tenemos la suposición de que el que toma la
  suposición pueda estimar la probabilidad con que
  ocurrirá todo estado de la naturaleza.

EJEMPLO: Supóngase que hay m > 1
estados de la naturaleza y sea pj la probabilidad de que ocurra
el estado "j", podemos entonces usar la siguiente ecuación
para calcular UEi, que es el rendimiento esperado cuando tomamos
la decisión "i".

Donde:

Pj es probable ocurrencia.

rij es probable retribución.

En este tipo de problemas el administrador debe entonces
tomar la decisión que maximice el rendimiento esperado,
dicho de otra manera, hallar la decisión óptima, es
decir que UEi = máxima sobre todo "i" de UEi

Es decir:

CASO DE ESTUDIO:

EL PROBLEMA DEL VENDEDOR DE
PERIÓDICOS

El problema que afronta Cesar y su personal es un
clásico de la ciencia de la administración conocido
como el problema del vendedor de periódicos. En este el
vendedor de periódicos compra "Q" periódicos del
camión de repartos al comenzar el día. Los vende en
el transcurso de la mañana. No conoce por anticipado
cuantos venderá. Al final del día, los
periódicos carecen de valor. Si compra más de los
que vende, pierde el dinero correspondiente a los
periódicos que le hayan sobrado. Si no compra suficientes
pierde las utilidades potenciales de las ventas
adicionales.

Supóngase que paga "C" $ por cada
periódico y los vende en "S" $ cada uno.

Sea:

C = $ 0.10

S = $ 0.25

COMPONENTES DEL PROBLEMA DEL VENDEDOR DE
PERIÓDICOS:

• 1. El costo de mantener inventario h, es el
  precio por unidad para el vendedor de periódico por
  cada periódico que le sobra.

• 2. El costo de Penalización P, es la
  ganancia que el vendedor pierde en cada periódico que
  puede haber vendido, pero no lo hizo porque se
  agotaron

• 3. La distribución de probabilidad de la
  demanda:

• Supóngase que en este caso del Vendedor de
  Periódicos, emplea una distribución uniforme
  (por simplicitud) en particular, el piensa que es igualmente
  probable cualquier demanda entre 1 y 100. por lo
  tanto:

Recuerde que el Vendedor de Periódicos puede
comprar a $0.10 c/u y venderlos a $0.25. Sin embargo la demanda
no se conoce con certeza. El supone que es igualmente probable
cualquier demanda entre 1 y 100. En concreto sea el estado "j" el
evento de que la demanda sea "j" artículos; el supone que
para cualquier entero "j" tal que "j" esté comprendido
entre 1 y 100, la probabilidad en "j" es = 0.01. Para fines
académicos supóngase que el esperaba la siguiente
distribución de probabilidad de la demanda:

Entonces la decisión es el número de
periódico por ordenar. Los rendimientos o
retribución se muestran a continuación.

Retribuciones para el Problema del Vendedor
de Periódicos

UEi para i = 0, 1, 2, 3

UE0 = 0(1/10) + 0 (3/10) + (4/10) + 0 (2/10) =
0

UE1 = -10(1/10) + 15(3/10) + 15(4/10) + 15(2/10) =
12.5

UE2 = -20(1/10) + 5(3/10) + 30(4/10) + 30(2/10 = 17.5
UTILIDAD MAXIMA

UE3 = -30(1/10) – 5(3/10) + 20(4/10) + 45(2/10) =
12.5

• LA DECISIÓN OPTIMA ES COMPRAR 2
  PERIÓDICOS.

5.1.1 EL CRITERIO DEL VALOR ESPERADO: Este
criterio requiere que el tomador de decisiones calcule el valor
esperado para cada alternativa, donde los pesos son los valores
de probabilidad asignados por el tomador de decisiones a los
estados de la naturaleza que pueden presentarse.

CASO DE ESTUDIO: VENTA DE FRESAS POR BETH
PERRY (BP)

BP compra fresas a $3 la caja y las vende a $8 la caja.
Este margen alto refleja lo perecedero del artículo y el
gran riesgo de almacenarlo; el producto no tiene ningún
valor después del primer día en que se ofrece a la
venta. BP se enfrenta al problema de cuanto ordenar hoy para los
negocios de mañana. Una observación de ventas
pasadas por 90 días nos da la información mostrada
a continuación:

Ventas históricas diarias de fresas (en
cajas)

Esta distribución es discreta y aleatoria. Solo
hay cuatro valores posibles para el volumen de ventas y no hay
patrón discernible en la secuencia en que ocurran estos 4
valores. Si suponemos que BP no tenga argumentos para creer que
el volumen de ventas se compartirá en forma diferente en
el futuro, su problema es determinar cuantas cajas debe comprar
hoy para el negocio de mañana. Si mañana los
clientes solicitan más cajas de las que hay almacenadas,
las utilidades de BP disminuyen en $5 (precio de venta –
precio de costo), por cada venta que no pueda hacer. Por otra
parte hay costos que resultan de almacenar demasiados
artículos en cualquier día. Suponga que un
día dado BP tiene 13 cajas, pero solo vende 10. tiene una
utilidad de $50, $5 por caja en 10 cajas, pero esto debe
reducirse por $9, el costo de 3 cajas no vendidas y sin
valor.

(I) CÁLCULO DE LAS UTILIDADES
CONDICIONALES:

Para ilustrar el problema de BP, se construye una tabla
que muestra los resultados en dinero de todas las posibles
combinaciones de compras y ventas. Los únicos valores de
compras y ventas que tienen significado para nosotros son: 10,
11, 12, 13 (cajas). No hay motivo para que ella considere comprar
menos de 10 y más de 13 cajas.

La tabla siguiente llamada tabla de Utilidades
Condicionales muestra la utilidad resultante de cualquier
combinación posible de oferta y demanda. Las utilidades
pueden ser positivas o negativas y son condicionales en el
sentido de que una utilidad dada resulta de una acción de
almacenamiento específico (ordenar 10, 11, 12, ó 13
cajas). La tabla refleja las pérdidas que ocurren cuando
el inventario no se ha vendido al final del día. No
refleja utilidades no realizadas por BP a causa de su incapacidad
de satisfacer la solicitud de un comprador, esto es, a causa de
una condición de falta de inventario.

Tabla de Utilidades Condicionales (De
Rendimientos)

Esta tabla de utilidades condicionales no le dice a BP
el número de cajas que debe almacenar cada día para
maximizar sus utilidades. Solo le muestra cuál será
el resultado si un número específico de cajas se
almacena y un número específico de cajas se vende.
Bajo condiciones de riesgo. Ella no sabe por anticipado el
tamaño de la demanda de un día dado, pero
aún así debe decidir que número de cajas
almacenar constantemente, maximizarán las utilidades sobre
un periódico dado.

(II) DETERMINACIÓN DE LA UTILIDAD
ESPERADA

UEi = 10, 11, 12, 13

UE10 = 50(0.20) + 50(0.40) + 50(0.30) + 50(0.10) =
$50

UE11 = 47(0.20) + 55(0.40) + 55(0.30) + 55(0.10) =
$53.40

UE12 = 44(0.20) + 52(0.40) + 60(0.30) + 60(0.10) =
$53.60 UTILIDAD MAXIMA

UE13 = 41(0.20) + 49(0.40) + 57(0.30) + 65(0.10) =
$51.40

• LA DECISION OPTIMA ES COMPRAR 12
  CAJAS

5.1.2 OTRO ENFOQUE PARA RESOLVER ESTE
PROBLEMA:

Minimización de Pérdidas.- existen dos
tipos de pérdidas.

• Pérdidas con Obsolescencia (Sobre
  Stock)

• Pérdidas por Oportunidad (Falta
  Inventarios)

Tabla de Pérdidas
Condicionales

Cálculo de Pérdidas
Esperadas:

PEi = 10, 11, 12, 13

PE10 = 0(0.20) + 5(0.40) + 10(0.30) + 15(0.10) =
$6.5

PE11 = 3(0.20) + 0(0.40) + 5(0.30) + 10(0.10) =
$3.10

PE12 = 6(0.20) + 3(0.40) + 0(0.30) + 5(0.10) = $2.90
MINIMO COSTO

PE13 = 9(0.20) + 6(0.40) + 3(0.30) + 0(0.10) =
$5.10

• LA DECISION OPTIMA ES COMPRAR 12
  CAJAS

5.1.3 UTILIDADES CONDICIONALES BAJO
CERTEZA (INFORMACIÓN PERFECTA)- I.P

Tabla de utilidades
Condicionales

I. CALCULO DE UTILIDADES ESPERADAS

UE = 50(0.20) + 55(0.40) + 60(0.30) + 65(0.10) =
$56.50

56.50 – UTILIDAD MAXIMA CON I. P

53.60 UTILIDAD MAXIMA SIN I .P

2.90 VALOR MAXIMO DE LA INFORMACION

5.1.4 ARTÍCULOS QUE TIENEN UN VALOR DE
RECUPERACIÓN:

(VALOR DE SALVAMENTO)

Si el producto tiene algún valor de
recuperación, entonces esta cantidad se debe considerar al
calcular las utilidades condicionales por acción de
almacenamiento.

Considere el caso de un producto que se ordena por el
detallista y se recibe el día anterior al día de la
venta. Cuesta $5 por caja y se vende en $8 por caja, cualquier
remanente no vendido al final del día, se puede salir de
él al precio de recuperación de $2 por caja. La
siguiente tabla nos muestra que las ventas pasadas han variado de
15 a 18 cajas por día. No hay razón para creer que
el volumen de ventas tomará cualquier otra magnitud en el
futuro.

UEi = 15, 16, 17, 18

UE15 = 45(0.10) + 45(0.20) + 45(0.40) + 45(0.30) =
$45

UE16 = 42(0.10) + 48(0.20) + 48(0.40) + 48(0.30) =
$47.40

Algunas veces es posible realizar un experimento acerca
del sistema en estudio y dependiendo de los resultados de dicho
experimento, modificar las probabilidades a priori en el sentido
de que se puede incluir información importante con
respecto al sistema, al calcular las nuevas probabilidades. A
estas probabilidades se les conoce como probabilidades a
posteriori.

EJEMPLO: La experiencia en una Empresa Industrial
indica que la probabilidad de producción de lotes buenos =
0.95 y la probabilidad de producir un lote malo =
0.05.

• Generalmente:

Suponga que el % de defectuosos en un lote bueno =
4%

Suponga que el % de defectuosos en un lote malo =
15%

• La probabilidad de sacar dos artículos
  defectuosos de uno bueno es 0.57467

• La probabilidad de sacar dos artículos buenos
  de uno bueno es 0.96039

• La probabilidad de sacar un artículo bueno de
  uno bueno es 0.85124

5.2 DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE: No se dispone
de ninguna función densidad de probabilidad. No implica
ignorancia completa sobre el tema.

F(Cj): No se conoce o no puede
determinarse.

Se conoce: Cj", Cj""; Cj"""

• 1. Criterio de Laplace.

• 2. Criterio Mínimax.

• 3. Criterio Savage.

• 4. Criterio de Hurwicz.

Estados de la Naturaleza

• Para el estudio de las decisiones bajo incertidumbre
  tomamos como base el siguiente tablero (matriz) de posibles
  acciones y estados de ocurrencia que tendría que tomar
  el decisor.

1.CRITERIO DE LAPLACE.- este enfoque interpreta
las condiciones de "incertidumbre" como equivalente a supuesto de
que todos los estados de la naturaleza tienen la misma
probabilidad. El punto de vista de este "Si nada se, entonces
todo es igualmente posible" por ejemplo, en el problema del
vendedor de periódicos, tenemos la tabla de retribuciones
siguiente:

Suponer que todos los estados de la
naturaleza tengan la misma probabilidad significa que, dado que
son 4, la probabilidad de que ocurran es de 0.25 para c/u. La
elección de estas probabilidades convierte al problema en
una decisión bajo riesgo y entonces se puede calcular el
rendimiento esperado; eligiendo la acción ai que
proporciona la ganancia mayor esperada.

Donde 1/n es la probabilidad de que ocurra (j = (0, 1,
2, 3)

UE0 = 0(1/4) + 0(1/4) + 0(1/4) + 0(1/4) = 0

UE1 = -10(1/4) + 15(1/4) + 15(1/4) + 15(1/4) =
8.75

UE2 = -20(1/4) + 5(1/4) + 30(1/4) + 30(1/4) = 11.25
MAXIMA UTILIDAD

UE3 = -30(1/4) + (-5)(1/4) + 30(1/4) + 45(1/4) =
7.5

• LA DECISION OPTIMA ES COMPRAR DOS
  PERIODICOS

Aunque en algunas situaciones este enfoque de igual
probabilidad puede producir resultados aceptables, en otros
podría ser inadecuado.

2. CRITERIO MÍNIMAX (MAXIMÍN).-
Este criterio es el más conservador ya que se basa en
lograr lo mejor de las peores condiciones posibles. El criterio
elige la acción ai asociado a:

Ejemplo: Considere V(ai, (j) la
representación de costo entonces el criterio minimax es
aplicable al tablero siguiente:

3. CRITERIO DE DEPLORACIÓN DE
SAVAGE

También conocido como Criterio de
Deploración Minimax de Savage. El criterio MiniMax es muy
conservador a tal punto que puede llevar a conclusiones
ilógicas.

Dado otro ejemplo la matriz de pedidos siguiente
(ejemplo clásico)

V(ai, (j) :

Si aplicamos el criterio MinMax a esta matriz nos da
como resultado la opción a2, pero la lógica se
inclina por a1. El criterio de Savage rectifica este punto
construyendo una matriz de pérdidas en la cual V(ai, (j)
se reemplaza por:

r(ai, (j) la cual se define
como:

r(ai, (j) es una representación de
arrepentimiento del decisor como resultante de perder la mayor
solución correspondiente a un estado futuro dado
(j.

La función r(ai, (j) se le conoce
como matriz de Deploración.

Luego mostrando los nuevos elementos r(ai, (j) se tiene
lo siguiente:

r(ai, (j) =

Ahora el criterio minimax proporciona a1 como se
esperaba.

Si V(ai, (j) es una función de beneficio o de
pérdida, r(ai, (j) es una función de
Deploración, la cual en ambos casos representa
pérdidas. Por lo tanto únicamente el criterio
minimax puede aplicarse a: r(ai, (j)

4. CRITERIO DE HURWICZ.- Este criterio tiene en
consideración un intervalo de actividades desde la
más optimista hasta la más pesimista.

Condición Optimista max.max{V(ai, (j)}

Condición Pesimista max.min{V(ai, (j)}

Suponer que: V(ai, (j) Representa beneficio.

El criterio Hurwicz pondera el optimismo extremo y el
pesimismo extremo para los pesos respectivos (() y (1 –
()

Donde: (: está en el intervalo 0 – 1 : 0
<= ( <= 1

Luego se tiene lo siguiente:

Si V(ai, (j): representa beneficio seleccione la
acción que proporcione lo siguiente:

Para el caso que V(ai, (j) representa un costo, el
criterio selecciona la acción que proporciona lo
siguiente:

El parámetro alfa se le conoce como índice
optimista:

Cuando ( = ½ sería un criterio
razonable.

Ejemplo: suponer que ( = ½ en la matriz de costos
siguiente

V(ai, (j) :

Matriz de costos

5.3 ÁRBOLES DE
DECISIÓN

Llamase árboles de decisión a aquellos que
contienen tanto las probabilidades de los resultados, como los
valores monetarios condicionales de estos resultados de modo que
se pueden calcular los valores esperados.

EJEMPLO: Se desea tomar una decisión entre
ir al cine o quedarse en casa a ver Tv.

EJEMPLO: Se desea invertir $1000
ya sea en la compra de acciones o en un depósito de una
cuenta de ahorros. Opte por la mayor decisión.

Supóngase que la cuenta de ahorros nos
pagaría un interés del 5% si las acciones suben, se
obtendrá $1400, Si las acciones bajan se obtendrá $
800

• RESPUESTA: LA DECISIÓN ES INVERTIR $1000
  EN ACCIONES.

EJEMPLO: Árboles de decisión para
un problema de inversión en una planta:

Stereo Industries LTD. Debe decidirse si construir una
planta grande o pequeña para producir una nueva tornamesa,
que se espera tenga una permanencia en el mercado de 10
años.

Una planta grande costará $2.800.000 en su
construcción y puesta en operación, mientras que
una planta pequeña costará solo
$1.400.000

El mejor estimado de la compañía da una
distribución discreta de las ventas sobre un periodo de 10
años es:

Demanda alta = 0.5

Demanda moderada = 0.3

Demanda baja = 0.2

El análisis de costo – volumen –
utilidad hecho por la gerencia de Stereo Industries LTD. Indica
estos resultados condicionales bajo las varias combinaciones de
tamaño de planta y tamaño de mercado:

• 1. Una planta grande con una demanda alta
  producirá utilidades anuales por $1,000.000

• 2. Una planta grande con una demanda moderada
  producirá utilidades anuales por $600 000

• 3. Una planta grande con una demanda baja
  producirá pérdidas anuales por $700.000 debido
  a ineficiencias en la producción.

• 4. Una planta pequeña con una demanda
  alta solo producirá utilidades anuales por $250.000
  considerando el costo de las ventas perdidas por la
  inhabilidad de abastecer a los clientes.

• 5. Una planta pequeña con una demanda
  moderada producirá utilidades anuales de $450.000
  porque el costo de las ventas perdidas será algo
  más bajo.

• 6. Una planta pequeña con una demanda
  baja producirá utilidades de $550.000 anuales porque
  el tamaño de la planta y el tamaño del mercado
  estarían ajustadas casi óptimamente.

• Se toma la decisión de construir una planta
  grande con una diferencia de $1,300.000

III. SISTEMAS DE
INVENTARIOS

1. INTRODUCCIÓN

• ¿Qué cantidad comprar?

• ¿Cuándo? Cada que tiempo hacer el
  pedido

• SOBREALMACENAMIENTO:

• Las frecuencias de pedidos son altas.

• El capital invertido por unidad es alto.

Ventajas:

• Bajo costo de escasez de pedidos.

Desventajas:

• Aumento de costo de almacenamiento.

• SUBALMACENAMIENTO:

Ventajas:

• Baja frecuencia de pedidos.

• El capital invertido por unidad es relativamente
  bajo.

Desventaja:

• Origina costo de escasez.

Sistema Logístico:(Empresa
Industrial)

2. TÉCNICA ABC.- (TÉCNICA DE
WILFREDO PARETO)

Zona A: El 80% de la inversión total
está representada por el 20% del total de
artículos

Zona B: El 15% de la inversión total
está representada por el 25% del total de
artículos

Zona C: El 5% de la inversión total
está representada por el 55% del total de
artículos

GRÁFICAMENTE:

EJEMPLO: La siguiente relación muestra el
consumo promedio anual de una serie de artículos
correspondientes a una serie de construcciones metálicas.
Confeccionar un gráfico ABC y recomendar las medidas
necesarias para controlar estos stocks de la forma más
conveniente posible.

GRÁFICAMENTE:

3. MODELO DE INVENTARIO GENERALIZADO

• Da respuesta a las siguientes preguntas:

• 1. ¿Qué cantidad de
  artículos deben pedirse?

• 2. ¿Cuándo debe efectuarse el
  pedido?

• Respuestas:

• 1. Determinar la cantidad de pedido.

• 2. Tipo de Sistema de Inventarios

• Los sistemas de inventarios pueden ser de 2
  tipos:

• a) Sistema de Revisión
  Periódica con Intervalos de tiempos iguales.-
  determinar la cantidad a pedirse en el tiempo de manera que
  coincida con el inicio de cada intervalo de
  tiempo.

• b) Sistema de Revisión Continua.-
  determina un punto de pedido en el nivel de
  inventario.

Se origina el Costo Total Anual de Inventario(CTAI)
:

Costo de Compra : Precio que se paga por la
cantidad a pedirse.

Costo Fijo : Costo que se incurre cuando hacemos
un pedido.

Costo de Almacenamiento : Lo que cuesta tener
stock el almacén.

Costo de Escasez : Cuando no tenemos
disponible.

GRÁFICAMENTE:

4. COMPLEJIDAD DE LOS MODELOS DE
INVENTARIOS:

DEMANDA:

Aunque el tipo de demanda es un factor principal del
diseño del modelo de inventario, los factores siguientes
pueden influenciar también la forma en que se formula el
modelo.

5. OTROS FACTORES:

• 1. Demora en la Entrega: cuando se
  coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede
  requerir algún tiempo antes de que la entrega se
  efectúe. El tiempo entre la colocación de un
  pedido y su sentido se conoce como demora en la entrega. En
  general las holguras de entrega pueden ser determinadas o
  probabilísticas.

• 2. Reabasto de Almacén: Aunque un
  sistema de inventarios puede operar con demoras en las
  entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser
  instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre
  cuando el almacén compra de fuentes externas. El
  uniforme puede cuando el producto se fabrica totalmente
  dentro de la organización. En general un sistema puede
  operar con demanda positiva y también con
  reaprovisionamiento uniforme de almacén.

• 3. Horizonte de Tiempo: El horizonte
  define el periodo sobre el cual el nivel de inventarios
  estará controlado, este horizonte puede ser finito o
  infinito dependiendo de la naturaleza de la
  demanda.

• 4. Abastecimiento Múltiple: Un
  sistema de inventarios puede tener varios puntos de
  almacenamiento. En algunos casos estos puntos de
  almacenamiento están organizados de tal manera que un
  punto actúa como una fuente de abastecimiento para
  algunos otros puntos. Este tipo de operación puede
  repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de
  demanda pueda de nuevo llegar a ser un nuevo punto de
  abastecimiento. La situación usualmente se denomina
  sistema de abastecimiento múltiple.

• 5. Número de Artículos: un
  sistema de inventarios puede comprender más de un
  artículo. Este caso es de interés,
  principalmente si existe alguna clase de interacción
  entre los diferentes artículos. Por ejemplo estos
  pueden competir en espacio o capital total
  limitados.

5.1. MODELOS DETERMINISTAS

5.1.1 MODELO ESTÁTICO DE UN SOLO
ARTÍCULO:

El tipo más simple de modelo de inventarios
ocurre cuando la demanda es constante en el tiempo con
reabastecimiento instantáneo y sin escasez.

• Costo total de inventario CTI(y)

Parámetros:

PROBLEMA: La demanda diaria para una
mercancía es aproximadamente 100 unidades. Cada vez que se
coloca un pedido se origina un costo fijo de $100. el costo
diario de mantener el inventario por unidad es de $0.02. si el
tiempo de demora es de 12 días, determine el tamaño
económico del lote y el punto de
reordenación.

RESPUESTA: PEDIR 1000 UNIDADES CUANDO EL NIVEL DE
INVENTARIOS LLEGUE A 200 UNIDADES.

COSTO ÓPTIMO

5.1.2 MODELO ESTÁTICO DE
MÚLTIPLES ARTÍCULOS CON LIMITACIONES EN
ALMACÉN

1.Método de Lagrange
(Multiplicadores de Lagrange (():

PROBLEMA: Supóngase una bodega de 25000 m3
de espacio real de almacenamiento de productos agrícolas
(maíz, trigo, fríjol).

Este espacio ya toma una cuenta a lo que se
requiere para maniobras de estiba. Las características de
estos productos son:

Demanda de productos agrícolas

Por lo tanto la empresa debe pedir:

5.2 MODELOS
PROBABILÍSTICOS

5.2.1. MODELO DE LA REVISIÓN
CONTINUA:

Este modelo es un modelo probabilístico en el
cual el almacenamiento se realiza continuamente y un pedido de
tamaño "y" se coloca cada vez que el nivel de existencias
llega a un cierto punto de re orden "R". El objetivo es
determinar los valores óptimos de "y" y de "R" que
minimicen los costos esperados de inventario por unidad de
tiempo. En este modelo, un año representa una unidad de
tiempo.

Los objetivos del modelo son:

• 1. El tiempo de demora entre la
  colocación de un pedido y se recepción es
  estático.

• 2. La demanda que no se satisface durante el
  tiempo de demora se deja pendiente para ser satisfecho en
  periodos posteriores.

• 3. La distribución de la demanda durante
  el tiempo de demora es independiente del tiempo en que ocurre
  este.

GRÁFICAMENTE:

Algoritmo de Hadley y Whitin:

Si y = y = Existen valore únicos para Y y
R

Si se cumple esta solución se continúa,
sino no tiene solución.

5.2.2. Modelos de un Solo Periodo: Este modelo de
inventarios de un solo periodo ocurre cuando un artículo
es ordenado una sola vez. Ejemplo: La industria de modas, un
modelo determinado de automóvil o también
artículos perecederos que tienen una vida corta
(vegetales, carne, leche, etc) o artículos que se vuelven
obsoletos rápidamente como las computadoras y las
copiadoras electrónicas.

1.
MODELOS DE DEMANDA INSTANTÁNEOS SIN COSTO FIJO: En
este modelo se supone que la demanda total se satisface al inicio
del periodo. Por lo tanto dependiendo de la cantidad demandada
(D), la posición del inventario justamente después
que la demanda ocurre, puede ser positiva (excedente o
negativa).

Está representado por la función de
probabilidad (función de mantenimiento de
inventarios)