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Matematicas financieras



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    MATEMATICAS FINANCIERAS Valor tiempo del dinero
    Supongamos que estamos en un mundo donde no existe
    inflación y se nos plantea la posibilidad de elegir $ 100
    hoy o $ 100 mañana ¿Qué preferimos? La
    respuesta $ 100 hoy, ya que existe un interés que puede
    ser ganado sobre esos $ 100, es decir depositar eso en el un
    banco y al cabo de un año recibir los 100 más un
    interés. Supongamos la tasa es del 10%. Dos alternativas:
    Guardar los 100 en una caja fuerte al cabo de 1 año tengo
    los mismos 100. Depositar los 100 al cabo de un año tengo
    110.

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Costo de Oportunidad
    Representa el máximo beneficio que se puede obtener con el
    recurso colocado en la mejor alternativa. Todo recurso
    económico tiene un costo de oportunidad (tiempo,
    propiedades, dinero, etc.) Mejor uso alternativo depende de las
    personas. Para ilustrar el concepto, supongamos un inversionista
    que tiene 2 MM$ y le ofrecen las siguientes proyectos de
    inversión de un año de duración: Proyecto
    Inversión (MM$) Rentabilidad en un año (%) 1 1,0 25
    2 1,5 20 3 0,5 15 4 2,0 12 5 3,0 9 6 1,2 6 7 0,8
    3

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Inversionista elegirá
    realizar proyectos 1,2 y 3 Si existe mercado capitales en que se
    puede pedir y pedir prestado a una tasa 8%, entonces: Pide
    prestado mm$5 pagando 8% interés y realiza proyectos 4 y
    5. Esto permite pagar intereses y generar ganancia neta de
    mm$0.11 ¿Le conviene pedir prestado para realizar proyecto
    6? Costo de oportunidad depende de la existencia de
    imperfecciones, por ejemplo: Tasa captación y
    colocación. El costo de oportunidad del dinero nos lleva a
    otro concepto llamado Valor Futuro. Este nos indica que si se
    posee una cantidad de dinero VP en el presente, existirá
    una cantidad en el futuro VF tal que un inversionista
    estará indiferente entre recibir VP hoy o VF
    mañana.

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Valor tiempo del dinero
    Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o principal al
    final del período analizado. Interés: Es el
    rendimiento o costo de un capital colocado o prestado a un tiempo
    determinado. Habitualmente el costo de oportunidad del dinero se
    expresa como una tasa de interés. Si definimos: r = tasa
    de interés P = Monto invertido Invierto Po hoy Al cabo de
    un año obtengo: P1 = Po + r * Po = Po (1+r) Qué
    pasa si esto lo queremos invertir a más de un
    período?

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Interés simple
    Interés simple: Es el interés que se paga (o gana)
    sólo sobre la cantidad original que se invierte. De otra
    forma es aquel que no considera reinversión de los
    intereses ganados en períodos intermedios. Supongamos que
    Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po = 110 P2 = P1 + r * Po
    Observemos que sólo calculamos intereses sobre el
    principal. P2 = Po + r * Po + r * Po = Po + 2 * r * Po = 120 Para
    n períodos: Pn = Po + n * r * Po ==> Pn = Po * (1 + n *
    r)

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Capitalización:
    Supongamos un individuo concede un préstamo de $1. Al
    final del primer año, al individuo le deberán: Si
    r=9% $1 x (1+r) =$1 x 1.09 = $1.09. No obstante, al final del
    año, el individuo tiene dos alternativas: retirar $1.09 o
    bien reinvertirlos durante un segundo año. La
    capitalización es el proceso de reinversión de
    dinero durante otro año en el mercado de capitales. $1 x
    (1+r) x (1+r) =$1 x (1+r)2 = 1+ 2r + r2 En nuestro caso:
    $1x(1.09)x(1.09)=$1 x (1.09)2 = $1 +$0.18 +$0.0081 =
    $1.1881

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Después de tres
    años el efectivo será de $1 x (1.09)3 = $1.2950 Lo
    importante es que la cantidad total a recibir NO es lo prestado
    más el interés de dos años, en este caso: 2
    x r = 2 x $0.09 = $0.018 Sino que también se recibe la
    cantidad r2, que es la tasa del segundo año sobre el
    interés del primer año. El término 2r
    representa el interés simple de los dos años, y el
    término r2 se conoce como el interés sobre
    intereses. Cada pago de intereses se reinvierte cuando se
    invierte en efectivo con interés
    compuesto.

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Interés Compuesto
    Interés Compuesto: Significa que el interés ganado
    sobre el capital invertido se añade al principal. Se gana
    interés sobre el interés. De otra forma se asume
    reinversión de los intereses obtenidos en periodos
    intermedios. Supongamos que Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po
    = 110 P2 = P1 + r * P1 Observemos ahora calculamos intereses
    sobre todo el capital. P2 = Po + r * Po + r * Po + r ^2 * Po =
    121 Para n períodos: Pn = Pn-1 + r * Pn-1 ==> Pn = Po *
    (1 + r)^n

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Interés Simple vs
    Interés compuesto Veamos que se obtiene para un
    período más largo y diferentes tasas de
    interés. Po = 100, r = 10% y n = 40 años:
    Interés Simple ==> Pn = $ 500 Interés Compuesto
    ==> Pn = $ 4.525,93 (9,05 veces) Po = 100, r = 5% y n = 40
    años: Interés Simple ==> Pn = $ 300
    Interés Compuesto ==> Pn = $ 704 (2,35 veces) Po = 100,
    r = 15% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $
    700 Interés Compuesto ==> Pn = $ 26.786,35 (28,27
    veces)

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    MATEMATICAS FINANCIERAS ¿Qué pasa si
    el período de capitalización ocurre más de
    una vez al año? Por ejemplo, consideremos que un banco
    paga una tasa de interés del 10% “capitalizable
    semestralmente”. Esto significa que un depósito de
    $1,000 en el banco valdría: Después de seis meses:
    $1,000 x 1.05 = $1,050, Y luego de seis meses más: $1,050
    x 1.05 = $1,102.5 Después de un año la riqueza
    podría expresarse como: $1,000 x (1 + 0.1/2)2 = $1,000 x
    (1.05)2 = $1,102.5 Notemos que el valor futuro al cabo de un
    año es mayor con capitalización semestral que
    anual.

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Más generalmente,
    capitalizar una inversión m veces al año
    proporciona al final del período una riqueza de : Co (1 +
    r/m)m donde Co es la inversión inicial y r es la tasa de
    interés nominal anual. Ejemplo: ¿Cuál es la
    riqueza al final del año t si un individuo recibe una tasa
    de interés del 24% capitalizable mensualmente sobre un
    dólar? Usando la fórmula anterior: $1 x (1+
    0.24/12)12 = $1 x (1.02)12 = $1.2682

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Notemos que la tasa de
    rentabilidad es del 26.82%. Esta tasa anual de rentabilidad se
    llama tasa de interés efectiva, la cual debido a la
    capitalización es mayor que la tasa de interés
    nominal. Tasa de interés efectiva: (1 + r/m)m -1 Tasa
    interés Nominal versus Efectiva Co=$1,000 r=10% Frecuencia
    C1 Tasa efectiva Anual $1,100.00 10% Semestral $1,102.50 10.25%
    Trimestral $1,103.81 10.381% Diaria $1,105.16
    10.516%

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Consideraciones La
    diferencia en el corto plazo es muy poca por lo que existe la
    convención que en el corto plazo (menos de un año)
    se utiliza la tasa de interés simple. En el largo plazo ya
    vimos que las diferencias son grandes por lo que existe la
    convención de utilizar la tasa de interés
    compuesto. Valor Futuro con capitalización: VF = Co ( 1 +
    r/m ) mT Interés Continuo Si los mismos conceptos
    anteriores los utilizamos pero esta vez se asume que la
    acumulación de intereses es continua en el tiempo
    obtenemos: Pn = Po * EXP ( r * n)

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Valor Actual:
    ¿Cuánto dinero debo invertir hoy en el banco para
    tener $110 al año siguiente, si la tasa de interés
    es del 10%? Podemos expresar esto algebraicamente: VA x 1.10 =
    $110 VA = $110 / 1.10 O más generalmente: VA = C1 / (1+r)
    Tasa r es la recompensa que el inversionista exige por la
    aceptación de un pago aplazado (Tasa de descuento o Costo
    de Oportunidad) ¿Qué pasa si hay más de un
    período? VA = C1 / (1+r) + C2 / (1+r)2 + C3 / (1+r)3…+
    Cn / (1+r)n

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Distintos Perfiles de Flujo
    de Caja Renta Perpetua: sucesión cte e infinita de flujos
    de caja. VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ …. VA= C/r
    Renta Perpetua Creciente: VA = C/(1+r) + C(1+g)/(1+r)2 +
    C(1+g)2/(1+r)3+ ……. VA = C / (r-g)
    T=8

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Consideraciones: 1.- El
    numerador: es el flujo de caja un período después,
    no en la fecha 0. 2.- La tasa de interés y a tasa de
    crecimiento: r>g 3.- Supuesto de temporización: supone
    que flujos de caja se reciben y desembolsan en puntos de tiempo
    regulares y discontínuos. Anualidad: sucesión
    nivelada de pagos que dura un número fijo de año.
    VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ …….
    C/(1+r)T

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Ejemplo: Charle Harris acaba
    de ganar la lotería estatal, recibiendo $50,000 al
    año durante 20 años. Recibirá su primer pago
    un año después. La Lotería declara que estas
    cuentas son la Lotería del Millón de dólares
    porque $1,000,000 = $50,000 x 20 años. ¿Cuál
    es el verdadero valor de la lotería si la tasa de
    interés es del 8%? VA = $50,000 x [ 1/0.08 –
    1/0.08(1.08)20] VA = $50,000 x 9.8181 = pago periódico x
    factor de la anualidad VA = $490,905 Anualidad
    Creciente:

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Inflación La
    inflación es el aumento sostenido y generalizado del nivel
    de precios. Que las papas suban un 10% significa necesariamente
    que hubo inflación? La respuesta es no ya que la
    inflación se mide a través de indices IPC en chile
    que mide la evolución de los precios de una canasta
    promedio de bienes y servicios. Por lo tanto la variación
    del IPC no significa que todos los bienes y servicios de esta
    canasta varíe en el mismo porcentaje. Por otro lado el IPC
    no es el precio de la canasta.

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Inflación y poder
    adquisitivo del dinero Si existe inflación los pesos de
    hoy no comprarán las mismas cosas que en un año
    más. $ 1000/ Po = Cantidad física = Xo $ 1000/P1 =
    Cantidad física = X1 Xo > X1 Esos $ 1000 nominalmente
    son iguales, en términos reales no lo son. No tienen el
    mismo poder adquisitivo

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Flujos reales vs Flujos
    Nominales Es importante considerar la inflación cuando
    deseamos comparar flujos de dinero. Por ejemplo $ 1000 en
    diciembre de 1990 representaban más poder adquisitivo que
    $ 1500 en diciembre de 1997, si el IPC de diciembre de 1990 era
    120 y el de diciembre de 1997 de 192. Así para comparar
    dos flujos en dinero de diferente poder adquisitivo es necesario
    ajustar la moneda para llevarla al mismo poder adquisitivo. A
    este ajuste se llama comparar en “moneda
    homogénea” o en “moneda
    dura”

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés real
    Una tasa de interés real es aquella que denota un aumento
    del poder adquisitivo. Esto es, conservando el poder adquisitivo
    del dinero, existe un incremento en el monto a pagar ( o cobrar).
    El ejemplo clásico es el de las tasas en UF + X% o tasas
    reflejadas como IPC + X%. Esto significa que al cabo de una
    año el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo que
    el dinero que invertí.

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés
    nominal Una tasa de interés nominal es aquella que denota
    un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar por
    inflación. Así la tasa de interés nominal no
    necesariamente significa un incremento en el poder adquisitivo El
    ejemplo típico son los depósitos a 30 días
    de los bancos o los créditos en pesos. Si uno toma una
    deuda por $ 1000 al 15% de interés anual en una año
    debiera recibir $ 1.150 Significa esto que estoy pagando
    más riqueza al cabo de un año?

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    MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés real
    v/s nominal En equilibrio el banco debiera ser indiferente entre
    prestar a tasas reales o nominales, siempre y cuando las tasas
    nominales incluyan las expectativas de inflación.
    Así surge la teoría de Fisher: “ Un cambio en
    la tasa esperada de inflación da lugar al mismo cambio en
    la tasa de interés nominal” Por lo cual se obtiene
    la siguiente ecuacíon: (1 + i) = (1 + r) * (1 +
    Inflación) donde: i = tasa de interés nominal r =
    tasa de interés real

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    Valor Actual Neto ¿Qué valor debiera
    asumir a ? La tasa alternativa de retorno es la máxima
    entre: La tasa de interés que ofrece el mercado de
    capitales en instrumentos de renta fija, cuentas de ahorro,
    depósitos a plazo, bonos; La tasa de retorno a obtener en
    la compra de acciones de otras empresas; y La tasa de retorno que
    se obtendría al enviar los fondos a una actividad dentro
    de la empresa y que permite expansión o aumento de
    escala.

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    Valor Actual Neto Determinar la tasa alternativa de
    retorno es ciertamente difícil, por lo que en la
    práctica se define una tasa mínima atractiva para
    la aceptación de proyectos. Para la determinación
    de a se debe tener presente: Debe reflejar el costo de
    oportunidad de mi activo; Es poco apropiada denominarla
    “tasa de interés” porque pocas veces a
    coincide con la tasa de interés del mercado de capitales;
    En la práctica se supone que la tasa de
    actualización es constante, pero no existe problema para
    considerarla variable en función del tiempo; ? es
    independiente de la forma de financiar un proyecto, el
    financiamiento afecta el flujo de costos e ingresos de la
    inversión, pero no a la tasa de retorno.

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