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Matematicas financieras






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MATEMATICAS FINANCIERAS Valor tiempo del dinero Supongamos que estamos en un mundo donde no existe inflación y se nos plantea la posibilidad de elegir $ 100 hoy o $ 100 mañana ¿Qué preferimos? La respuesta $ 100 hoy, ya que existe un interés que puede ser ganado sobre esos $ 100, es decir depositar eso en el un banco y al cabo de un año recibir los 100 más un interés. Supongamos la tasa es del 10%. Dos alternativas: Guardar los 100 en una caja fuerte al cabo de 1 año tengo los mismos 100. Depositar los 100 al cabo de un año tengo 110.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Costo de Oportunidad Representa el máximo beneficio que se puede obtener con el recurso colocado en la mejor alternativa. Todo recurso económico tiene un costo de oportunidad (tiempo, propiedades, dinero, etc.) Mejor uso alternativo depende de las personas. Para ilustrar el concepto, supongamos un inversionista que tiene 2 MM$ y le ofrecen las siguientes proyectos de inversión de un año de duración: Proyecto Inversión (MM$) Rentabilidad en un año (%) 1 1,0 25 2 1,5 20 3 0,5 15 4 2,0 12 5 3,0 9 6 1,2 6 7 0,8 3

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MATEMATICAS FINANCIERAS Inversionista elegirá realizar proyectos 1,2 y 3 Si existe mercado capitales en que se puede pedir y pedir prestado a una tasa 8%, entonces: Pide prestado mm$5 pagando 8% interés y realiza proyectos 4 y 5. Esto permite pagar intereses y generar ganancia neta de mm$0.11 ¿Le conviene pedir prestado para realizar proyecto 6? Costo de oportunidad depende de la existencia de imperfecciones, por ejemplo: Tasa captación y colocación. El costo de oportunidad del dinero nos lleva a otro concepto llamado Valor Futuro. Este nos indica que si se posee una cantidad de dinero VP en el presente, existirá una cantidad en el futuro VF tal que un inversionista estará indiferente entre recibir VP hoy o VF mañana.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Valor tiempo del dinero Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o principal al final del período analizado. Interés: Es el rendimiento o costo de un capital colocado o prestado a un tiempo determinado. Habitualmente el costo de oportunidad del dinero se expresa como una tasa de interés. Si definimos: r = tasa de interés P = Monto invertido Invierto Po hoy Al cabo de un año obtengo: P1 = Po + r * Po = Po (1+r) Qué pasa si esto lo queremos invertir a más de un período?

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MATEMATICAS FINANCIERAS Interés simple Interés simple: Es el interés que se paga (o gana) sólo sobre la cantidad original que se invierte. De otra forma es aquel que no considera reinversión de los intereses ganados en períodos intermedios. Supongamos que Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po = 110 P2 = P1 + r * Po Observemos que sólo calculamos intereses sobre el principal. P2 = Po + r * Po + r * Po = Po + 2 * r * Po = 120 Para n períodos: Pn = Po + n * r * Po ==> Pn = Po * (1 + n * r)

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MATEMATICAS FINANCIERAS Capitalización: Supongamos un individuo concede un préstamo de $1. Al final del primer año, al individuo le deberán: Si r=9% $1 x (1+r) =$1 x 1.09 = $1.09. No obstante, al final del año, el individuo tiene dos alternativas: retirar $1.09 o bien reinvertirlos durante un segundo año. La capitalización es el proceso de reinversión de dinero durante otro año en el mercado de capitales. $1 x (1+r) x (1+r) =$1 x (1+r)2 = 1+ 2r + r2 En nuestro caso: $1x(1.09)x(1.09)=$1 x (1.09)2 = $1 +$0.18 +$0.0081 = $1.1881

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MATEMATICAS FINANCIERAS Después de tres años el efectivo será de $1 x (1.09)3 = $1.2950 Lo importante es que la cantidad total a recibir NO es lo prestado más el interés de dos años, en este caso: 2 x r = 2 x $0.09 = $0.018 Sino que también se recibe la cantidad r2, que es la tasa del segundo año sobre el interés del primer año. El término 2r representa el interés simple de los dos años, y el término r2 se conoce como el interés sobre intereses. Cada pago de intereses se reinvierte cuando se invierte en efectivo con interés compuesto.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Interés Compuesto Interés Compuesto: Significa que el interés ganado sobre el capital invertido se añade al principal. Se gana interés sobre el interés. De otra forma se asume reinversión de los intereses obtenidos en periodos intermedios. Supongamos que Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po = 110 P2 = P1 + r * P1 Observemos ahora calculamos intereses sobre todo el capital. P2 = Po + r * Po + r * Po + r ^2 * Po = 121 Para n períodos: Pn = Pn-1 + r * Pn-1 ==> Pn = Po * (1 + r)^n

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MATEMATICAS FINANCIERAS Interés Simple vs Interés compuesto Veamos que se obtiene para un período más largo y diferentes tasas de interés. Po = 100, r = 10% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $ 500 Interés Compuesto ==> Pn = $ 4.525,93 (9,05 veces) Po = 100, r = 5% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $ 300 Interés Compuesto ==> Pn = $ 704 (2,35 veces) Po = 100, r = 15% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $ 700 Interés Compuesto ==> Pn = $ 26.786,35 (28,27 veces)

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MATEMATICAS FINANCIERAS ¿Qué pasa si el período de capitalización ocurre más de una vez al año? Por ejemplo, consideremos que un banco paga una tasa de interés del 10% “capitalizable semestralmente”. Esto significa que un depósito de $1,000 en el banco valdría: Después de seis meses: $1,000 x 1.05 = $1,050, Y luego de seis meses más: $1,050 x 1.05 = $1,102.5 Después de un año la riqueza podría expresarse como: $1,000 x (1 + 0.1/2)2 = $1,000 x (1.05)2 = $1,102.5 Notemos que el valor futuro al cabo de un año es mayor con capitalización semestral que anual.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Más generalmente, capitalizar una inversión m veces al año proporciona al final del período una riqueza de : Co (1 + r/m)m donde Co es la inversión inicial y r es la tasa de interés nominal anual. Ejemplo: ¿Cuál es la riqueza al final del año t si un individuo recibe una tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente sobre un dólar? Usando la fórmula anterior: $1 x (1+ 0.24/12)12 = $1 x (1.02)12 = $1.2682

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MATEMATICAS FINANCIERAS Notemos que la tasa de rentabilidad es del 26.82%. Esta tasa anual de rentabilidad se llama tasa de interés efectiva, la cual debido a la capitalización es mayor que la tasa de interés nominal. Tasa de interés efectiva: (1 + r/m)m -1 Tasa interés Nominal versus Efectiva Co=$1,000 r=10% Frecuencia C1 Tasa efectiva Anual $1,100.00 10% Semestral $1,102.50 10.25% Trimestral $1,103.81 10.381% Diaria $1,105.16 10.516%

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MATEMATICAS FINANCIERAS Consideraciones La diferencia en el corto plazo es muy poca por lo que existe la convención que en el corto plazo (menos de un año) se utiliza la tasa de interés simple. En el largo plazo ya vimos que las diferencias son grandes por lo que existe la convención de utilizar la tasa de interés compuesto. Valor Futuro con capitalización: VF = Co ( 1 + r/m ) mT Interés Continuo Si los mismos conceptos anteriores los utilizamos pero esta vez se asume que la acumulación de intereses es continua en el tiempo obtenemos: Pn = Po * EXP ( r * n)

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MATEMATICAS FINANCIERAS Valor Actual: ¿Cuánto dinero debo invertir hoy en el banco para tener $110 al año siguiente, si la tasa de interés es del 10%? Podemos expresar esto algebraicamente: VA x 1.10 = $110 VA = $110 / 1.10 O más generalmente: VA = C1 / (1+r) Tasa r es la recompensa que el inversionista exige por la aceptación de un pago aplazado (Tasa de descuento o Costo de Oportunidad) ¿Qué pasa si hay más de un período? VA = C1 / (1+r) + C2 / (1+r)2 + C3 / (1+r)3...+ Cn / (1+r)n

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MATEMATICAS FINANCIERAS Distintos Perfiles de Flujo de Caja Renta Perpetua: sucesión cte e infinita de flujos de caja. VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ …. VA= C/r Renta Perpetua Creciente: VA = C/(1+r) + C(1+g)/(1+r)2 + C(1+g)2/(1+r)3+ ……. VA = C / (r-g) T=8

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MATEMATICAS FINANCIERAS Consideraciones: 1.- El numerador: es el flujo de caja un período después, no en la fecha 0. 2.- La tasa de interés y a tasa de crecimiento: r>g 3.- Supuesto de temporización: supone que flujos de caja se reciben y desembolsan en puntos de tiempo regulares y discontínuos. Anualidad: sucesión nivelada de pagos que dura un número fijo de año. VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ ……. C/(1+r)T

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MATEMATICAS FINANCIERAS Ejemplo: Charle Harris acaba de ganar la lotería estatal, recibiendo $50,000 al año durante 20 años. Recibirá su primer pago un año después. La Lotería declara que estas cuentas son la Lotería del Millón de dólares porque $1,000,000 = $50,000 x 20 años. ¿Cuál es el verdadero valor de la lotería si la tasa de interés es del 8%? VA = $50,000 x [ 1/0.08 – 1/0.08(1.08)20] VA = $50,000 x 9.8181 = pago periódico x factor de la anualidad VA = $490,905 Anualidad Creciente:

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MATEMATICAS FINANCIERAS Inflación La inflación es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios. Que las papas suban un 10% significa necesariamente que hubo inflación? La respuesta es no ya que la inflación se mide a través de indices IPC en chile que mide la evolución de los precios de una canasta promedio de bienes y servicios. Por lo tanto la variación del IPC no significa que todos los bienes y servicios de esta canasta varíe en el mismo porcentaje. Por otro lado el IPC no es el precio de la canasta.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Inflación y poder adquisitivo del dinero Si existe inflación los pesos de hoy no comprarán las mismas cosas que en un año más. $ 1000/ Po = Cantidad física = Xo $ 1000/P1 = Cantidad física = X1 Xo > X1 Esos $ 1000 nominalmente son iguales, en términos reales no lo son. No tienen el mismo poder adquisitivo

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MATEMATICAS FINANCIERAS Flujos reales vs Flujos Nominales Es importante considerar la inflación cuando deseamos comparar flujos de dinero. Por ejemplo $ 1000 en diciembre de 1990 representaban más poder adquisitivo que $ 1500 en diciembre de 1997, si el IPC de diciembre de 1990 era 120 y el de diciembre de 1997 de 192. Así para comparar dos flujos en dinero de diferente poder adquisitivo es necesario ajustar la moneda para llevarla al mismo poder adquisitivo. A este ajuste se llama comparar en “moneda homogénea” o en “moneda dura”

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MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés real Una tasa de interés real es aquella que denota un aumento del poder adquisitivo. Esto es, conservando el poder adquisitivo del dinero, existe un incremento en el monto a pagar ( o cobrar). El ejemplo clásico es el de las tasas en UF + X% o tasas reflejadas como IPC + X%. Esto significa que al cabo de una año el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo que el dinero que invertí.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés nominal Una tasa de interés nominal es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar por inflación. Así la tasa de interés nominal no necesariamente significa un incremento en el poder adquisitivo El ejemplo típico son los depósitos a 30 días de los bancos o los créditos en pesos. Si uno toma una deuda por $ 1000 al 15% de interés anual en una año debiera recibir $ 1.150 Significa esto que estoy pagando más riqueza al cabo de un año?

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MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés real v/s nominal En equilibrio el banco debiera ser indiferente entre prestar a tasas reales o nominales, siempre y cuando las tasas nominales incluyan las expectativas de inflación. Así surge la teoría de Fisher: “ Un cambio en la tasa esperada de inflación da lugar al mismo cambio en la tasa de interés nominal” Por lo cual se obtiene la siguiente ecuacíon: (1 + i) = (1 + r) * (1 + Inflación) donde: i = tasa de interés nominal r = tasa de interés real

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Valor Actual Neto ¿Qué valor debiera asumir a ? La tasa alternativa de retorno es la máxima entre: La tasa de interés que ofrece el mercado de capitales en instrumentos de renta fija, cuentas de ahorro, depósitos a plazo, bonos; La tasa de retorno a obtener en la compra de acciones de otras empresas; y La tasa de retorno que se obtendría al enviar los fondos a una actividad dentro de la empresa y que permite expansión o aumento de escala.

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Valor Actual Neto Determinar la tasa alternativa de retorno es ciertamente difícil, por lo que en la práctica se define una tasa mínima atractiva para la aceptación de proyectos. Para la determinación de a se debe tener presente: Debe reflejar el costo de oportunidad de mi activo; Es poco apropiada denominarla “tasa de interés” porque pocas veces a coincide con la tasa de interés del mercado de capitales; En la práctica se supone que la tasa de actualización es constante, pero no existe problema para considerarla variable en función del tiempo; ? es independiente de la forma de financiar un proyecto, el financiamiento afecta el flujo de costos e ingresos de la inversión, pero no a la tasa de retorno.

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