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Notación cientifica - Matemática

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  1. Historia
  2. Escritura
  3. Operaciones matemáticas con notación científica
  4. Discrepancia de nomenclatura

Es como una manera rápida de representar un número utilizando una potencia de base diez. Esta notación se utiliza para expresar muy fácil mente para números muy grandes o por lo menos muy pequeños

Los números se escriben como un producto:

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Siendo:

  • a. Un número real mayor que 1 y menor que 10. Que recibe el nombre de coeficiencia

n. un numero entero que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

Historia

El primer intento de representar números demasiado grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obra El contador de Arena en el siglo Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).

A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914),Konrad Zuse (1936) y George Robert Tibiez (1939).

Escritura

  • 100 = 1

  • 101 = 10

  • 102 = 100

  • 103 = 1 000

  • 104 = 10 000

  • 105 = 100 000

  • 106 = 1 000 000

  • 107 = 10 000 000

  • 108 = 100 000 000

  • 109 = 1 000 000 000

  • 1010 = 10 000 000 000

  • 1020 = 100 000 000 000 000 000 000

  • 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1:

  • 10–1 = 1/10 = 0,1

  • 10–2 = 1/100 = 0,01

  • 10–3 = 1/1 000 = 0,001

  • 10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1029,

Y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9,10939×10–31kg.

Operaciones matemáticas con notación científica

Suma y resta: Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Multiplicación: Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×1012)× (2×105) =8×1017

División: Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo: (48×10-10)/ (12×10-1) = 4×10-9

Potenciación: Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9 ×1012.

Radicación: Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.

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Discrepancia de nomenclatura

A pesar que la notación científica pretende establecer pautas firmes sobre la referencia numérica en materia científica, se presentan discrepancias de lenguaje.

Por ejemplo en Estados Unidos 109 se denomina «billón» (billón, en español). Para los países de habla hispana y en la mayor parte de los países de Europa, 109 es mil millones o millardo (del francés millard), en tanto que el billón es 1012. Llegamos a un caso práctico donde para los estadounidenses one billion dollars, para los hispanohablantes será un millardo de dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).

Otra particularidad del mundo hispano es que, aunque el prefijo miria significa 'diez mil' en el Sistema Métrico Decimal (ejemplo, miriámetro), esto es, 104 (10 000 unidades), se prefiere el uso de diez mil, reservándose el término miríada en el sentido de 'innumerables' o 'muy numerosos' (ejemplo, miriápodo).

Logaritmación

Logaritmación es el proceso de hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un número. Veamos un sencillo ejemplo:

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a pregunta que debemos hacernos es: ¿A que debemos elevar 2 (la base del logaritmo) para obtener 8? En este caso, la respuesta sería 2^3=8, es decir, que lo hemos elevado a 3.

Observamos una serie de elementos, como:

  • La base: es el número que elevado al mismo número nos da el número total

  • El número total: Es el resultado, en el ejemplo de arriba, sería el 3

  • El número total: Es el resultado, en el ejemplo de arriba, sería el 3

Identidades básicas:

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Es decir, que el logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos de ambas partes del producto.

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La división de logaritmos es igual a la diferencia de logaritmos entre el numerador y el denominador.

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El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

Monografias.comNos damos cuenta que para la función logarítmica no existen números negativos, además de que es una función creciente (al menos cuando su base es mayor que uno).

 

Ejemplos:

 

>> Resolver:

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**Nota: log10= 1, porque hemos considerado que ésta está en base 10 (si no nos dicen nada, se suele tomar esa premisa).

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*Nota: Eliminamos ese 10 del denominador, simplificando, y además, convertimos el 2 en otro logaritmo, para poder eliminar de ambos lados de la igualdad los logaritmos y quedarnos con números solamente.

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>>Calcula utilizando solamente logaritmos el valor de x:

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Nota: log493=2.6928 (utilizamos calculadora).

>>Resuelve:

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**Nota: Ahora sustituimos logx por t, es decir, logx=t

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Por tanto, si sustituimos en la ecuación, es decir, en vez de log x= t , tendríamos:

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**Pista: Tendremos que buscar cuanto tiene que valer x para obtener esos resultados.

Así como la suma multiplicación tienen como operaciones opuestas la resta y la división respectivamente, la potenciación tiene dos que son la radicación y la logaritmación.

Definición

Logaritmación es la operación aritmética donde dando un número total y una base de potenciación se tiene que hallar el exponente al que hay que elevar la base para conseguir el mencionado total.

Términos

Los términos de la logaritmación son: la base del logaritmo, el número total y el exponente o logaritmo.

La base de un logaritmo es el número que elevado al exponente o logaritmo da el número total.

Número total es cualquier número positivo.

El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el total.

Ejemplo: Monografias.comdonde 10 es la base, 1000 es el total y 3 es el exponente o logaritmo ya que Monografias.com

Clase más importantes de logaritmos

Las clases de logaritmos más utilizados son los de base 10 y los neperianos.

Los logaritmos de base 10 o vulgares son aquellos en que la base de potenciación es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Riggs.

Los logaritmos neperianos o naturales son aquellos que la base potenciación es un número irracional (e). El número (e)=2,71828182845 y fueron desarrollados por John Napier.

Otras definiciones

Si un logaritmo no es exacto tiene una parte positiva y otra decimal.

Característica es la parte positiva del logaritmo.

Mantisa es la parte decimal del logaritmo. Puede haber logaritmos sin mantisa.

Cologaritmo es el logaritmo del inverso de un número.

Así si tenemos N su inverso es 1/N y el cologaritmo será Monografias.com

Representación

Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número total del que deseamos hallar el logaritmo.

Ejemplo: Monografias.comluego Monografias.com

Propiedades generales básicas

|1| Los números negativos no tienen logaritmo. Es una especie de convenio ya que aparecerían opuestos de los positivos y algunos negativos no tendrían logaritmo como Monografias.comdonde Monografias.comMonografias.comsegún propiedades de la potenciación.

|2| El logaritmo de su base es 1. Así Monografias.comya que Monografias.com

|3| El logaritmo de 1 es cero. Así Monografias.comya que Monografias.com

|4| Si A>0 y A<1 entonces Monografias.comes un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos al no poder ser superiores a cero.

|5| Las potencias consecutivas de una base forma una progresión geométrica y la de los exponentes es una progresión aritmética.

Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16..etc y sus exponentes serán 0,1,2,3,4..etc ya que Monografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.comyMonografias.com..etc. luego Monografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.cometc.

Propiedades básicas de logaritmos decimales

|1| La característica de un número comprendido entre 1 y otro menor que 10 es cero. Es lógico ya que Monografias.comMonografias.comentonces los número comprendido entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.

|2| La característica de los números superiores o igual a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número.

Así 10,20,30 su característica es 1 y la de 100,150 su característica es 2...etc.

|3| La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 0 será positiva. Es lógico ya que los números van de forma ascendente en relación al valor absoluto.

|4| La característica de los logaritmos inferiores a 0 será negativa y su mantisa positiva. Es lógico ya que los números negativos es mayor el de menor valor absoluto. Así –2>-6.

Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C"mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.

Propiedades operativas

|1| El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

DEMOSTRACIÓN: Sea Monografias.comdonde Monografias.comresultando que Monografias.comMonografias.comresultando Monografias.comdonde Monografias.comal tener un producto de potencias de una misma base.

Entonces Monografias.comque son los logaritmos de A y B.

|2| El logaritmo de una división es igual a la resta de los logaritmos del dividendo menos el divisor.

DEMOSTRACIÓN: Sea Monografias.comdonde Monografias.comresultando que Monografias.comMonografias.comresultandoMonografias.comdonde Monografias.comal tener un cociente de potencias de una misma base. Entonces Monografias.comque son los logaritmos de A y B.

|3| El logaritmo de una potencia es igual al logaritmo de la base por el exponente.

DEMOSTRACIÓN: Sea Monografias.comdondeMonografias.cometc. N veces) comoMonografias.cometc. N veces) que es el logaritmo de un producto y según el apartado 1 será igual a la suma de los logaritmos de A tantas veces como unidades tiene N, resultado que Monografias.com

|4| El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice radical.

DEMOSTRACIÓN: La logaritmación del radicando R con base (b) y índice radical o logaritmo (n) se puede poner en forma potencial escribiendo Monografias.comy según el apartado 3, resultará queMonografias.com

Cambio de base de un logaritmo

Para pasar el logaritmo de un número, a otra base, se divide el logaritmo de la base nueva por el logaritmo de la base antigua en base nueva.

Si tenemos Monografias.comy deseamos pasarlo a una base (b2).

Donde Monografias.comMonografias.comque potenciándolas tendremosMonografias.com

Sustituyendo N por Monografias.comtendremos queMonografias.comsiendo la fórmula anterior el logaritmo de una potenciaMonografias.com

Por transposición de términos tendremos Monografias.comy reconvirtiendo los valores Monografias.compor Npor Monografias.comtendremosMonografias.com


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