Relaciones fundamentales, identidades y ecuaciones trigonométricas

Y b a ? 1.3) sen? cos? RELACIONES FUNDAMENTALES, IDENTIDADES
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) RELACIONES
TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Existen algunas relaciones
que se establecen entre las funciones trigonométricas, las
mismas que se cumplen para cualquier valor que se de al
ángulo. Estas relaciones se llaman relaciones
trigonométricas fundamentales. Las relaciones
trigonométricas se clasifican de la siguiente manera:
RELACIONES FUNDAMENTALES POR COCIENTE PITAGÓRICAS INVERSAS
tan ? ? cot? ? sen? cos? cos? sen? sen 2? ? cos2 ? ? 1 1 ? tan 2
? ? sec2 ? 1 ? cot2 ? ? csc2 ? sen? ? cos? ? tan ? ? 1 csc? 1
sec? 1 cot? DEDUCCIONES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES Considere la siguiente figura siguiente en donde
sen? ? a / b , cos? ? b / c y tan ? ? a / b 1) Deducción
de tan ? ? Solución: Afirmaciones 1.1) tan ? ? sen? cos?
Razones Por definición de tangente 1.2) sen? cos? a ? c b
Reemplazando valores de sen? y cos? c sen? a cos? b 1.4) tan ? ?
Simplificando c Reemplazando 1.3 en 1.1

a2 b2 c2 c c c 2 2 a b c c 2 b2 c a2 c2 a 1 a ? 1 sen? sen? cos2
? sen? 1 ? sen2? 2) Deducción de sen 2? ? cos2 ? ? 1
Solución: Afirmaciones 2.1) a 2 ? b2 ? c2 2.2) 2 ? 2 ? 2
Razones Por Teorema de Pitágoras Dividiendo para c2 2.3) 2
? 2 ? 1 2.4) sen ? ? cos2 ? ? 1 3) Deducción de sen? ?
Solución: Afirmaciones 3.1) sen? ? c 1 csc? Simplificando
Reemplazando sen2 ? Razones Definición de sen? y cos2 ? 2
en 2.3 3.2) 1 csc? ? 1 c Reemplazando csc? ? c a a 2.4) csc? c
Operando 2.5) sen? ? 1 csc? Reemplazando 3.3 en 3.1 Nota: Las
demás demostraciones de las otras relaciones fundamentales
se dejan como tarea para el discente (alumno) EJEMPLOS
ILUSTRATIVOS 1) Expresar sec? . tan ? en términos de sen?
Solución: Afirmaciones 1.1) sec? ? tan ? ? ? cos? cos?
1.2) sec? ? tan ? ? 1.3) cos2 ? ? 1 ? sen 2? 1.4) sec? ? tan ? ?
Razones Sustituyendo sec? y tan? Multiplicando Despejando de sen
2? ? cos2 ? ? 1 Reemplazando 1.3 en 1.2

1 cos ? 2 3 3 I 2) Simplificar la expresión sec2 ? .cos2 ?
? csc2 ? .sen 2? Solución: Reemplazando sec2 ? ? 1/ cos2 ?
y csc2 ? ? 1/ sen 2? tenemos 2.1) sec2 ? .cos2 ? ? csc2 ? .sen2?
? 2 2.2) sec2 ? .cos2 ? ? csc2 ? .sen 2? ? 1 ? 1 .cos2 ? ? 1 sen
? .sen2? Simplificando 2.3) sec2 ? .cos2 ? ? csc2 ? .sen 2? ? 2
Sumando 3) Utilizar las relaciones fundamentales para encontrar
los valores de las funciones del ángulo ?, dado sen ?=3/5
Solución: Afirmaciones 3.1) cos? ? ? 1 ? sen2? 3.2) cos? ?
? 1 ? (3 / 5)2 3.3) cos? ? ?4 / 5 Razones Despejando de sen 2? ?
cos2 ? ? 1 Reemplazando valores Operando Nota: Recuerde los
signos de las funciones trigonométricas: Cuadrante
Función positiva I Todas todas II sen?-csc? sin III
tan?-cot? ta IV cos?-sec? cos Entonces el resultado de la
función cos? queda: Cuadrante cos? 3.4) tan ? ? I 4/5 sen?
cos? II -4/5 III -4/5 IV 4/5 Relación por cociente
Reemplazando valores y operando 3.5) tan ? ? 5 ? 4 4 5 Cuadrante
II III IV Aplicando los signos tan? 3/4 -3/4 3/4 -3/4 De las
funciones trigonométricas 3.6) cot? ? 1 tan ?
Relación inversa

? 1 5 1 5 3.7) cot? ? 1 4 3 3 4 Reemplazando valores y operando
Cuadrante I II III IV Aplicando los signos de las cot ? 3.8) sec?
? 4/3 -4/3 1 cos? 4/3 -4/3 Funciones trigonométricas
Relación inversa 3.9) sec? ? ? 4 4 5 Reemplazando valores
y operando Cuadrante I II III IV Aplicando los signos de las sec
? 5/4 -5/4 -5/4 -5/3 Funciones trigonométricas 3.10) csc?
? 1 sen? Relación inversa 3.11) csc? ? ? 3 3 5
Reemplazando valores y operando Cuadrante I II III IV Aplicando
los signos de las csc ? 5/3 5/3 -5/3 -5/3 Funciones
trigonométricas 2) IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Son
igualdades entre funciones trigonométricas y que la
condición de igualdad se cumple o se verifica para
cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. Para
demostrar una identidad x = y, se puede emplear cualquiera de los
siguientes procedimientos. 1) Transformar x en y 2) Transformar y
en x En la demostración de una identidad es necesario
saber que: – Se debe tener completa familiaridad con las
relaciones trigonométricas fundamentales. – Se puede
escoger el lado más complicado de la identidad para ser
transformado en términos de otras funciones cualquiera. En
particular se transforma en términos de seno y coseno. –
Se puede emplear cualquier artificio algebraico.

2 ? tan 2 ? 2 sen2? cos ? sen? sen2? cos? cos2 ? 2 2 4 1? sen ?
cos4 ? sec ? ? tan ? ? sec2 ? ? tan 2 ? ? 1 ? sen 2? 1 sen2? cos2
? cos2 ? 1 sen? cos? cos? 2 ? tan 2 ? 2 ? sen? cos? EJEMPLOS
ILUSTRATIVOS Demostrar las siguientes identidades
trigonométricas: 1) sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? Solución:
Afirmaciones 1) sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? Razones 1.1) 1 cos ? ? 1 ?
tan 2 ? sec? ? 1 cos? ? sec2 ? ? 1 cos2 ? 1 ? cos2 ? 1.2) cos ?
1.3) 2 ? tan 2 ? 1.4) tan 2 ? ? tan 2 ? Operando sen 2? ? cos2 ?
? 1 ? sen 2? ? 1 ? cos2 ? tan? ? ? tan 2 ? ? 2) sec ? ? tan ? ?
Solución: 1 ? sen4? cos4 ? Afirmaciones 2) sec2 ? ? tan 2
? ? 2 2 (1 ? sen2? )(1 ? sen2? ) 2.1) cos4 ? (1 ? sen 2? )(cos2 ?
) 2.2) cos4 ? 2.3) sec2 ? ? tan 2 ? ? cos2 ? 2.4) sec2 ? ? tan 2
? ? ? 2.5) sec2 ? ? tan 2 ? ? sec2 ? ? tan 2 ? Razones Diferencia
de cuadrados: a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) sen 2? ? cos2 ? ? 1 ? cos2
? ? 1 ? sen 2? Simplificando Propiedad distributiva sec? ? y tan
? ? 3) tan 2 ? ? 1 cot ? ? 1 ? tan 2 ? Solución:
Afirmaciones tan 2 ? ? 1 3) cot ? ? 1 sec2 ? sen 2? 3.1) csc2 ?
cos2 ? Razones 1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ;1 ? cot2 ? ? csc2 ? ; tan ?
?

2 ? 2 2 2 2 senx 1 3.2) cos ? ? 1 sen 2? sen 2? cos2 ? cos? ?
sen? ? 1 sec? 1 csc? ? sec? ? ? csc? ? 1 cos? 1 sen? ? sec2 ? ? ?
csc2 ? ? 1 cos2 ? 1 sen 2? 3.3) sen 2? sen 2? cos2 ? cos2 ?
Operando 3) ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación
trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones
trigonométricas que es válida únicamente
para ciertos valores de los ángulos. En una
ecuación trigonométrica la incógnita el
ángulo y, por tanto, resolver una ecuación de este
tipo es hallar el valor o los valores (si existen) del
ángulo que cumpla la igualdad. Ejemplo: 2 ? senx ? 2 cos2
x Para resolver una ecuación trigonométrica se
recomienda los siguientes pasos: 1.- Emplear las identidades
trigonométricas para expresar todas las funciones que
intervienen en la ecuación en una sola función, ya
sea solo en función de senx, cosx o tanx en la
mayoría de los casos, dependiendo de la ecuación.
2.- Factorizar siempre que sea posible. 3.- Recordar que si a ? b
? 0 , entonces se debe resolver para a=0 y b=0 4.- Resolver la
parte trigonométrica, que consiste en hallar los valores
del ángulo que satisfacen la ecuación. 5.- Realizar
la respectiva comprobación. Ejemplo ilustrativo: Resolver
la ecuación 2 ? senx ? 2 cos2 x para todos los valores
comprendidos entre 00 y 3600. Solución: Afirmaciones 2 ?
senx ? 2 cos2 x 2 ? senx ? 2(1 ? sen2 x) 2 ? senx ? 2 ? 2sen 2 x
2 ? senx ? 2 ? 2sen 2 x ? 0 2sen 2 x ? senx ? 2 ? 2 ? 0 2sen 2 x
? senx ? 0 Razones Ecuación dada Transformando en
función de ( sen x ? cos x ? 1 ? cos x ? 1 ? sen x)
Eliminando paréntesis Transposición de
términos El orden de los sumandos no altera la suma total
(Propiedad conmutativa) Reducción de términos
semejantes

1 1 ? 3 ? ? 2 ? 2 2 ? ? senx(2senx ? 1) ? 0 senx ? 0 ; 2senx ? 1
? 0 senx ? 0 ? x ? sen?1 0 ? x ? 00 , 1800 2senx ? 1 ? 0 ? x ?
sen ?1 ? x ? 300 , 1500 2 Factor común Si a ? b ? 0 ,
entonces se debe resolver para a=0 y b=0 (Igualando a cero cada
uno de los factores) Respuestas para senx ? 0 Respuestas para
2senx ? 1 ? 0 Comprobación: Se reemplaza cualquier valor
encontrado en la ecuación dada, por ejemplo 300
Afirmaciones 2 ? senx ? 2 cos2 x 2 ? sen300 ? 2 cos2 300 2 ? ? 2?
? ? ? Razones Ecuación dada Reemplazando 300 en la
ecuación Reemplazando los valores de 300 2 ? 1 2 ? 2 3 4
Elevando al cuadrado 4 ? 1 3 2 2 3 3 2 2 Operando
Supresión de términos semejantes Graficando en
Graph 2 ? senx ? 2 cos2 x se obtiene las respuestas