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Relaciones fundamentales, identidades y ecuaciones trigonométricas






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Y b a ? 1.3) sen? cos? RELACIONES FUNDAMENTALES, IDENTIDADES ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Existen algunas relaciones que se establecen entre las funciones trigonométricas, las mismas que se cumplen para cualquier valor que se de al ángulo. Estas relaciones se llaman relaciones trigonométricas fundamentales. Las relaciones trigonométricas se clasifican de la siguiente manera: RELACIONES FUNDAMENTALES POR COCIENTE PITAGÓRICAS INVERSAS tan ? ? cot? ? sen? cos? cos? sen? sen 2? ? cos2 ? ? 1 1 ? tan 2 ? ? sec2 ? 1 ? cot2 ? ? csc2 ? sen? ? cos? ? tan ? ? 1 csc? 1 sec? 1 cot? DEDUCCIONES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Considere la siguiente figura siguiente en donde sen? ? a / b , cos? ? b / c y tan ? ? a / b 1) Deducción de tan ? ? Solución: Afirmaciones 1.1) tan ? ? sen? cos? Razones Por definición de tangente 1.2) sen? cos? a ? c b Reemplazando valores de sen? y cos? c sen? a cos? b 1.4) tan ? ? Simplificando c Reemplazando 1.3 en 1.1

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a2 b2 c2 c c c 2 2 a b c c 2 b2 c a2 c2 a 1 a ? 1 sen? sen? cos2 ? sen? 1 ? sen2? 2) Deducción de sen 2? ? cos2 ? ? 1 Solución: Afirmaciones 2.1) a 2 ? b2 ? c2 2.2) 2 ? 2 ? 2 Razones Por Teorema de Pitágoras Dividiendo para c2 2.3) 2 ? 2 ? 1 2.4) sen ? ? cos2 ? ? 1 3) Deducción de sen? ? Solución: Afirmaciones 3.1) sen? ? c 1 csc? Simplificando Reemplazando sen2 ? Razones Definición de sen? y cos2 ? 2 en 2.3 3.2) 1 csc? ? 1 c Reemplazando csc? ? c a a 2.4) csc? c Operando 2.5) sen? ? 1 csc? Reemplazando 3.3 en 3.1 Nota: Las demás demostraciones de las otras relaciones fundamentales se dejan como tarea para el discente (alumno) EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1) Expresar sec? . tan ? en términos de sen? Solución: Afirmaciones 1.1) sec? ? tan ? ? ? cos? cos? 1.2) sec? ? tan ? ? 1.3) cos2 ? ? 1 ? sen 2? 1.4) sec? ? tan ? ? Razones Sustituyendo sec? y tan? Multiplicando Despejando de sen 2? ? cos2 ? ? 1 Reemplazando 1.3 en 1.2

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1 cos ? 2 3 3 I 2) Simplificar la expresión sec2 ? .cos2 ? ? csc2 ? .sen 2? Solución: Reemplazando sec2 ? ? 1/ cos2 ? y csc2 ? ? 1/ sen 2? tenemos 2.1) sec2 ? .cos2 ? ? csc2 ? .sen2? ? 2 2.2) sec2 ? .cos2 ? ? csc2 ? .sen 2? ? 1 ? 1 .cos2 ? ? 1 sen ? .sen2? Simplificando 2.3) sec2 ? .cos2 ? ? csc2 ? .sen 2? ? 2 Sumando 3) Utilizar las relaciones fundamentales para encontrar los valores de las funciones del ángulo ?, dado sen ?=3/5 Solución: Afirmaciones 3.1) cos? ? ? 1 ? sen2? 3.2) cos? ? ? 1 ? (3 / 5)2 3.3) cos? ? ?4 / 5 Razones Despejando de sen 2? ? cos2 ? ? 1 Reemplazando valores Operando Nota: Recuerde los signos de las funciones trigonométricas: Cuadrante Función positiva I Todas todas II sen?-csc? sin III tan?-cot? ta IV cos?-sec? cos Entonces el resultado de la función cos? queda: Cuadrante cos? 3.4) tan ? ? I 4/5 sen? cos? II -4/5 III -4/5 IV 4/5 Relación por cociente Reemplazando valores y operando 3.5) tan ? ? 5 ? 4 4 5 Cuadrante II III IV Aplicando los signos tan? 3/4 -3/4 3/4 -3/4 De las funciones trigonométricas 3.6) cot? ? 1 tan ? Relación inversa

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? 1 5 1 5 3.7) cot? ? 1 4 3 3 4 Reemplazando valores y operando Cuadrante I II III IV Aplicando los signos de las cot ? 3.8) sec? ? 4/3 -4/3 1 cos? 4/3 -4/3 Funciones trigonométricas Relación inversa 3.9) sec? ? ? 4 4 5 Reemplazando valores y operando Cuadrante I II III IV Aplicando los signos de las sec ? 5/4 -5/4 -5/4 -5/3 Funciones trigonométricas 3.10) csc? ? 1 sen? Relación inversa 3.11) csc? ? ? 3 3 5 Reemplazando valores y operando Cuadrante I II III IV Aplicando los signos de las csc ? 5/3 5/3 -5/3 -5/3 Funciones trigonométricas 2) IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Son igualdades entre funciones trigonométricas y que la condición de igualdad se cumple o se verifica para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. Para demostrar una identidad x = y, se puede emplear cualquiera de los siguientes procedimientos. 1) Transformar x en y 2) Transformar y en x En la demostración de una identidad es necesario saber que: - Se debe tener completa familiaridad con las relaciones trigonométricas fundamentales. - Se puede escoger el lado más complicado de la identidad para ser transformado en términos de otras funciones cualquiera. En particular se transforma en términos de seno y coseno. - Se puede emplear cualquier artificio algebraico.

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2 ? tan 2 ? 2 sen2? cos ? sen? sen2? cos? cos2 ? 2 2 4 1? sen ? cos4 ? sec ? ? tan ? ? sec2 ? ? tan 2 ? ? 1 ? sen 2? 1 sen2? cos2 ? cos2 ? 1 sen? cos? cos? 2 ? tan 2 ? 2 ? sen? cos? EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: 1) sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? Solución: Afirmaciones 1) sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? Razones 1.1) 1 cos ? ? 1 ? tan 2 ? sec? ? 1 cos? ? sec2 ? ? 1 cos2 ? 1 ? cos2 ? 1.2) cos ? 1.3) 2 ? tan 2 ? 1.4) tan 2 ? ? tan 2 ? Operando sen 2? ? cos2 ? ? 1 ? sen 2? ? 1 ? cos2 ? tan? ? ? tan 2 ? ? 2) sec ? ? tan ? ? Solución: 1 ? sen4? cos4 ? Afirmaciones 2) sec2 ? ? tan 2 ? ? 2 2 (1 ? sen2? )(1 ? sen2? ) 2.1) cos4 ? (1 ? sen 2? )(cos2 ? ) 2.2) cos4 ? 2.3) sec2 ? ? tan 2 ? ? cos2 ? 2.4) sec2 ? ? tan 2 ? ? ? 2.5) sec2 ? ? tan 2 ? ? sec2 ? ? tan 2 ? Razones Diferencia de cuadrados: a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) sen 2? ? cos2 ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? sen 2? Simplificando Propiedad distributiva sec? ? y tan ? ? 3) tan 2 ? ? 1 cot ? ? 1 ? tan 2 ? Solución: Afirmaciones tan 2 ? ? 1 3) cot ? ? 1 sec2 ? sen 2? 3.1) csc2 ? cos2 ? Razones 1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ;1 ? cot2 ? ? csc2 ? ; tan ? ?

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2 ? 2 2 2 2 senx 1 3.2) cos ? ? 1 sen 2? sen 2? cos2 ? cos? ? sen? ? 1 sec? 1 csc? ? sec? ? ? csc? ? 1 cos? 1 sen? ? sec2 ? ? ? csc2 ? ? 1 cos2 ? 1 sen 2? 3.3) sen 2? sen 2? cos2 ? cos2 ? Operando 3) ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que es válida únicamente para ciertos valores de los ángulos. En una ecuación trigonométrica la incógnita el ángulo y, por tanto, resolver una ecuación de este tipo es hallar el valor o los valores (si existen) del ángulo que cumpla la igualdad. Ejemplo: 2 ? senx ? 2 cos2 x Para resolver una ecuación trigonométrica se recomienda los siguientes pasos: 1.- Emplear las identidades trigonométricas para expresar todas las funciones que intervienen en la ecuación en una sola función, ya sea solo en función de senx, cosx o tanx en la mayoría de los casos, dependiendo de la ecuación. 2.- Factorizar siempre que sea posible. 3.- Recordar que si a ? b ? 0 , entonces se debe resolver para a=0 y b=0 4.- Resolver la parte trigonométrica, que consiste en hallar los valores del ángulo que satisfacen la ecuación. 5.- Realizar la respectiva comprobación. Ejemplo ilustrativo: Resolver la ecuación 2 ? senx ? 2 cos2 x para todos los valores comprendidos entre 00 y 3600. Solución: Afirmaciones 2 ? senx ? 2 cos2 x 2 ? senx ? 2(1 ? sen2 x) 2 ? senx ? 2 ? 2sen 2 x 2 ? senx ? 2 ? 2sen 2 x ? 0 2sen 2 x ? senx ? 2 ? 2 ? 0 2sen 2 x ? senx ? 0 Razones Ecuación dada Transformando en función de ( sen x ? cos x ? 1 ? cos x ? 1 ? sen x) Eliminando paréntesis Transposición de términos El orden de los sumandos no altera la suma total (Propiedad conmutativa) Reducción de términos semejantes

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1 1 ? 3 ? ? 2 ? 2 2 ? ? senx(2senx ? 1) ? 0 senx ? 0 ; 2senx ? 1 ? 0 senx ? 0 ? x ? sen?1 0 ? x ? 00 , 1800 2senx ? 1 ? 0 ? x ? sen ?1 ? x ? 300 , 1500 2 Factor común Si a ? b ? 0 , entonces se debe resolver para a=0 y b=0 (Igualando a cero cada uno de los factores) Respuestas para senx ? 0 Respuestas para 2senx ? 1 ? 0 Comprobación: Se reemplaza cualquier valor encontrado en la ecuación dada, por ejemplo 300 Afirmaciones 2 ? senx ? 2 cos2 x 2 ? sen300 ? 2 cos2 300 2 ? ? 2? ? ? ? Razones Ecuación dada Reemplazando 300 en la ecuación Reemplazando los valores de 300 2 ? 1 2 ? 2 3 4 Elevando al cuadrado 4 ? 1 3 2 2 3 3 2 2 Operando Supresión de términos semejantes Graficando en Graph 2 ? senx ? 2 cos2 x se obtiene las respuestas

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