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Propiedades Básicas de las Matemáticas

Enviado por Mariel C



  1. Introducción
  2. El conjunto de números
  3. Teorema de Pitágoras
  4. Funciones exponenciales
  5. Expresiones algebraicas Fraccionarias
  6. Razones trigonométricas
  7. Funciones logarítmicas
  8. Radicales
  9. Funciones Cuadráticas
  10. Ejercicios
  11. Conclusiones
  12. Bibliografía

Introducción

En este trabajo se desarrollarán en brevedad las diferentes propiedades y funciones básicas que comprende la Matemática a fin de adentrarse en el tema para poder aplicarlas de manera correcta y resolver los ejercicios dados con eficacia.

El conjunto de números

Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R:

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

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Números naturales

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

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La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.

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Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.

Números enteros

Los números enteros son del tipo:

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Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.

El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.

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Números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

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Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

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Regla de los signos para la multiplicación y la división

+ por - = - 2 · (-5) = - 10

- por + = - = (-2) · 5 = - 10

+ por + = + = 2 · 5 = 10

- por - = + = (-2) · (-5) = 10

Signo de una potencia

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

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2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

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Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

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Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

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Área de un triángulo

El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

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Funciones exponenciales

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b?1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x

La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

 

f(x)

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

 

La función exponencial de base 1/2 

y=f(x)=(1/2)x

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

 

f(x)

8

4

2

2

1/2

1/4

1/8

 

La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.

Toma valores positivos para cualquier valor de x.

El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales.

Todas las funciones pasan por el punto (0,1).

Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.

Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.

El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la derecha si b<1.

La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.

Si b=0 la función se transforma en la función constante 0.

Expresiones algebraicas Fraccionarias

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Simplificación:

Para simplificar una fracción algebraica, se debe factorizar el numerador y el denominador y cancelar los factores comunes en ambos; se obtiene así una fracción irreducible equivalente a la original.

Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias

El resultado de multiplicar 2 fracciones algebraicas, es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores

Los pasos a seguir son:

-Factorizar cada uno de los numeradores y denominadores;

- Simplificar;

- Multiplicar numerador por numerador, denominador por denominador aplicando la propiedad distributiva cuando sea necesario.

División de expresiones algebraicas

Para dividir 2 fracciones algebraicas, multiplicamos a la primera por la inversa multiplicativa de la segunda.

Suma y resta de expresiones algebraicas con igual denominador

Se deben agrupar los numeradores y aplicar las propiedades correctas para su resolución.

Suma y resta de expresiones algebraicas con distinto denominador

Se resuelve llevando a cabo los siguientes pasos:

Factorizar los denominadores;

Buscar el denominador común;

Suma o resta de los numeradores;

Factorizar los denominadores y simplificar de ser posible.

Cuatrinomio cubo perfecto

Es el triple del primer número al cuadrado por el segundo número, más el triple del primer número por el segundo nº elevado al cuadrado.

Ejemplo:

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Trinomio cuadrado perfecto

Es el doble del primer término por el segundo:

Ejemplo :

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Diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

El número debe ser par y elevado al cuadrado:

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Pasos:

Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

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Razones trigonométricas

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

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Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa. En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

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Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

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Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

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Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

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Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

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Ángulos complementarios

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Ángulos suplementarios

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Ángulos que difieren en 180°

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Ángulos opuestos

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Ángulos negativos

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Funciones logarítmicas

Es la función inversa de la exponencial en base a

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Propiedades de los logaritmos

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

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Logaritmos decimales: base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos: base e. Se representan por ln (x) o L(x).

Radicales

Es el proceso inverso a la extracción y para ello basta MULTIPLICAR el exponente de cada factor de fuera de la raíz por el índice de la raíz y sumarle el exponente de los factores de dentro de la raíz si los hubiera.

El número que está dentro de la raíz se denomina radicando, el grado de una raíz se denomina índice del radical, el resultado se denomina coeficiente.

Las propiedades de la radicación son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional.

Ejemplo de un radical en forma de potencia:

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Propiedades de la radicación:

Es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.

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Racionalización de radicales

Consiste en quitar los radicales del denominador

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Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

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Extracción

SE pueden salir fuera del radical aquellos términos que el exponente sea igual o mayor que el índice de la raíz (tener en cuenta que los números enteros a veces se pueden factorizar y sacar del radical después de factorizarlos). Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.

Suma y resta de coeficientes del mismo radical

En todo radical hemos de tener en cuenta el número que va delante de la raíz que se llama como siempre COEFICIENTE, lo que hay despues del coeficiente se llama PARTE RADICAL y para sumar o restar basta sumar o restar los coeficientes y poner la misma parte radical (semejantes).

Multiplicación de radicales

1. Se multiplican los signos. 2. Se multiplican los coeficientes.3. Se multiplica la parte radical.

Raíz de otra raíz

1. Se multiplican los índices.

2. Se introducen los radicales si es necesario.

3. Se factorizan los números.

4. Se extrae si se puede.

Multiplicación y división de radicales de diferente índice.

1. Se halla el m.c.m. de los índices y se pone el común.

2. Este índice se divide entre cada índice de la raíz y el resultado lo elevamos al radicando.

3. Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.

4. Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes.

5. Se extrae lo que se pueda del radical.

Racionalizar

Consiste en hacer desaparecer la raíz de un denominador:

Con un solo radical en el denominador

Multiplicar numerador y denominador por denominador.

1) Cuando detrás de un número entero no hay ninguna raíz, es como si llevara raíz de 1.

2) Cuando delante de una raíz no hay ningún número, siempre está la unidad

3) Cuando un radical no tiene ningún número como índice, siempre será 2 aunque no se ponga.

Con dos radicales:

1. Se multiplica el numerador y el denominador por la conjugada*.

2. El numerador se resuelve con una doble propiedad distributiva.

3. El denominador al hacer la conjugada siempre nos da el producto notable suma por diferencia o lo que es lo mismo el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

*La conjugada es el denominador con el segundo miembro cambiado de signo.

Funciones Cuadráticas

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

Forma polinómica

Se llama así porque la función está expresada por un polinomio:

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 En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

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 Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados.

 Forma canónica y factorizada de una función cuadrática

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Ejercicios

 

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Conclusiones

La recopilación para la información de este trabajo fue compleja, ya que se comparó entre varias fuentes para proporcionar los conocimientos de la manera clara y precisamente posible. Se tuvo en cuenta muchos aspectos como la explicación de ciertas fórmulas o ejemplos representativos para ser más fácil la aplicación de estos a lo largo de la cursada, resolviendo problemáticas de la materia.

Bibliografía

-Diego Luis Feria Gómez,Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa, CNICE, Proyecto Descartes (http://descartes.cnice.mecd.es)

-http://www.how-to-study.com/

-http://www.ditutor.com

-Apuntes del nivel secundario.

-http://www.Física.net

-http://matematica.laguia2000.com

 

 

Autor:

Mariel C

Trabajo Final: Investigación sobre las Propiedades básicas de la Matemática y sesenta ejercicios.

Materia: Elementos de Física y Matemática


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