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Propiedades Básicas de las Matemáticas




Enviado por Mariel C



  1. Introducción
  2. El
    conjunto de números
  3. Teorema de Pitágoras
  4. Funciones exponenciales
  5. Expresiones algebraicas
    Fraccionarias
  6. Razones
    trigonométricas
  7. Funciones
    logarítmicas
  8. Radicales
  9. Funciones Cuadráticas
  10. Ejercicios
  11. Conclusiones
  12. Bibliografía

Introducción

En este trabajo se desarrollarán en
brevedad las diferentes propiedades y funciones básicas
que comprende la Matemática a fin de adentrarse en el tema
para poder aplicarlas de manera correcta y resolver los
ejercicios dados con eficacia.

El conjunto de
números

Números reales

El conjunto formado por los números
racionales e irracionales es el conjunto de los
números reales, se designa por
R:

La recta real

A todo número real le corresponde un
punto de la recta y a todo punto de la recta un número
real.

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Números naturales

Con los números naturales contamos
los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien
expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un
conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales
está formado por:

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La suma y el producto de dos números
naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números
naturales no siempre es un número natural,
sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que
sustraendo.

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Podemos utilizar potencias, ya que es la
forma abreviada de escribir un producto formado por varios
factores iguales.

La raíz de un número natural
no siempre es un número natural, sólo
ocurre cuando la raíz es exacta.

Números enteros

Los números enteros son del
tipo:

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Nos permiten expresar: el dinero adeudado,
la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel
del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos
números enteros es otro número entero.

El cociente de dos números enteros
no siempre es un número entero , sólo
ocurre cuando la división es exacta.

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Números racionales

Se llama número racional a todo
número que puede representarse como el cociente de dos
enteros, con denominador distinto de cero.

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Los números decimales (decimal
exacto, periódico puro y periódico mixto) son
números racionales; pero los números decimales
ilimitados no.

La suma, la diferencia , el producto y el
cociente de dos números racionales es otro número
racional.

Podemos operar con potencias, pero el
exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional
no siempre es un número racional, sólo
ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es
par el radicando ha de ser positivo.

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Regla de los signos para la
multiplicación y la división

+ por – = – 2 · (-5) = –
10

– por + = – = (-2) · 5 = –
10

+ por + = + = 2 · 5 = 10

– por – = + = (-2) · (-5) =
10

Signo de una potencia

1. Las potencias de exponente par son
siempre positivas.

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2. Las potencias de exponente impar tiene
el mismo signo de la base.

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Los números
irracionales

Un número es irracional si posee
infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto
no se pueden expresar en forma de
fracción.

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Otros números irracionales
son:

El número e aparece en procesos de
crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la
fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459…

Teorema de
Pitágoras

En un triángulo rectángulo el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados (llamamos "triángulo
rectángulo" a un triángulo con un ángulo
recto)

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Área de un
triángulo

El área de un triángulo es la
mitad del producto de una base por la altura
correspondiente.

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Funciones
exponenciales

Se llaman así a todas aquellas
funciones de la forma  f(x) = bx, en donde la base b, es una
constante y el exponente la variable independiente.

La definición de función
exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de
uno (b>0 y b?1). La condición que b sea diferente de
uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la
función bx se transforma en la función constante
f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la
forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los
números reales.

El dominio de la función exponencial
está formada por el conjunto de los números reales
y su recorrido está representado por el conjunto de los
números positivos.

1. La función exponencial de base
dos: y=f(x)=2x

La tabla siguiente muestra algunos valores
para la función de base dos.

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

 

f(x)

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

 

La función exponencial de base
1/2 

y=f(x)=(1/2)x

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

 

f(x)

8

4

2

2

1/2

1/4

1/8

 

La función exponencial existe
siempre para cualquier valor de la variable independiente
x.

Toma valores positivos para cualquier valor
de x.

El dominio de la función exponencial
es todo el conjunto de los números reales.

Todas las funciones pasan por el punto
(0,1).

Las gráficas de las funciones
exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son crecientes. Los
valores de la función crecen cuando x aumenta.

Las gráficas de las funciones
exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<1 son
decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x
aumenta.

El eje x es una asíntota
horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la
derecha si b<1.

La definición exige que la base
sea positiva y diferente de uno.

Si b=0 la función se transforma
en la función constante 0.

Expresiones
algebraicas Fraccionarias

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Simplificación:

Para simplificar una fracción
algebraica, se debe factorizar el numerador y el denominador y
cancelar los factores comunes en ambos; se obtiene así una
fracción irreducible equivalente a la original.

Multiplicación de expresiones
algebraicas fraccionarias

El resultado de multiplicar 2 fracciones
algebraicas, es otra fracción algebraica cuyo numerador es
el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores

Los pasos a seguir son:

-Factorizar cada uno de los numeradores y
denominadores;

– Simplificar;

– Multiplicar numerador por numerador,
denominador por denominador aplicando la propiedad distributiva
cuando sea necesario.

División de expresiones
algebraicas

Para dividir 2 fracciones algebraicas,
multiplicamos a la primera por la inversa multiplicativa de la
segunda.

Suma y resta de expresiones
algebraicas con igual denominador

Se deben agrupar los numeradores y aplicar
las propiedades correctas para su resolución.

Suma y resta de expresiones
algebraicas con distinto denominador

Se resuelve llevando a cabo los siguientes
pasos:

Factorizar los denominadores;

Buscar el denominador
común;

Suma o resta de los
numeradores;

Factorizar los denominadores y simplificar
de ser posible.

Cuatrinomio cubo
perfecto

Es el triple del primer número al
cuadrado por el segundo número, más el triple del
primer número por el segundo nº elevado al
cuadrado.

Ejemplo:

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Trinomio cuadrado
perfecto

Es el doble del primer término por
el segundo:

Ejemplo :

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Diferencia de
cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al
binomio conformado por dos términos a los que se les puede
sacar raíz cuadrada exacta.

La diferencia de cuadrados es igual al
producto de la suma por la diferencia de sus
bases.

El número debe ser par y elevado al
cuadrado:

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Pasos:

Se extrae la raíz cuadrada de ambos
términos.

Se multiplica la suma por la diferencia de
estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la
raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

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Razones
trigonométricas

Razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la
razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa
.

Se denota por sen B.

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Coseno

El coseno del ángulo B es la
razón entre el cateto contiguo al ángulo y la
hipotenusa
. La función Coseno se obtiene de dividir el
cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre
su hipotenusa. En un triángulo el cuadrado de cada lado es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble
producto del producto de ambos por el coseno del ángulo
que forman.

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Tangente

La tangente del ángulo B es
la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el
cateto contiguo al ángulo
.

Se denota por tg B.

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Secante

La secante del ángulo B es la
razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

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Cosecante

La cosecante del ángulo B es
la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

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Cotangente

La cotangente del ángulo B es
la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

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Ángulos
complementarios

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Ángulos
suplementarios

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Ángulos que difieren en
180°

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Ángulos
opuestos

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Ángulos
negativos

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Funciones
logarítmicas

Es la función inversa de la
exponencial
en base a

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Propiedades de los
logaritmos

El logaritmo de un producto es igual a la
suma de los logaritmos de los factores.

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Logaritmos decimales: base 10. Se
representan por log (x).

Logaritmos neperianos: base e. Se
representan por ln (x) o L(x).

Radicales

Es el proceso inverso a la
extracción y para ello basta MULTIPLICAR el exponente de
cada factor de fuera de la raíz por el índice de la
raíz y sumarle el exponente de los factores de dentro de
la raíz si los hubiera.

El número que está dentro de
la raíz se denomina radicando, el grado de una raíz
se denomina índice del radical, el resultado se denomina
coeficiente.

Las propiedades de la radicación son
bastante parecidas a las propiedades de la potenciación,
ya que una raíz es una potencia con exponente
racional.

Ejemplo de un radical en forma de
potencia:

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Propiedades de la
radicación:

Es distributiva con respecto a la
multiplicación y a la división.

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Racionalización de
radicales

Consiste en quitar los radicales del
denominador

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Se multiplica el numerador y denominador
por el conjugado del denominador.

También tenemos que tener en cuenta
que: "suma por diferencia es igual a diferencia de
cuadrados
".

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Extracción

SE pueden salir fuera del radical aquellos
términos que el exponente sea igual o mayor que el
índice de la raíz (tener en cuenta que los
números enteros a veces se pueden factorizar y sacar del
radical después de factorizarlos). Para sacar un
término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando
por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al
cociente y queda dentro elevado al resto.

Suma y resta de coeficientes del mismo
radical

En todo radical hemos de tener en cuenta el
número que va delante de la raíz que se llama como
siempre COEFICIENTE, lo que hay despues del coeficiente se llama
PARTE RADICAL y para sumar o restar basta sumar o restar los
coeficientes y poner la misma parte radical
(semejantes).

Multiplicación de
radicales

1. Se multiplican los signos. 2. Se
multiplican los coeficientes.3. Se multiplica la parte
radical.

Raíz de otra
raíz

1. Se multiplican los
índices.

2. Se introducen los radicales si es
necesario.

3. Se factorizan los
números.

4. Se extrae si se puede.

Multiplicación y división
de radicales de diferente índice.

1. Se halla el m.c.m. de los índices
y se pone el común.

2. Este índice se divide entre cada
índice de la raíz y el resultado lo elevamos al
radicando.

3. Se resuelven los radicandos como
potencia de otra potencia, es decir multiplicando los
exponentes.

4. Se multiplican los radicandos como
potencias de la misma base, es decir sumando los
exponentes.

5. Se extrae lo que se pueda del
radical.

Racionalizar

Consiste en hacer desaparecer la
raíz de un denominador:

Con un solo radical en el
denominador

Multiplicar numerador y denominador por
denominador.

1) Cuando detrás de un número
entero no hay ninguna raíz, es como si llevara raíz
de 1.

2) Cuando delante de una raíz no hay
ningún número, siempre está la
unidad

3) Cuando un radical no tiene ningún
número como índice, siempre será 2 aunque no
se ponga.

Con dos radicales:

1. Se multiplica el numerador y el
denominador por la conjugada*.

2. El numerador se resuelve con una doble
propiedad distributiva.

3. El denominador al hacer la conjugada
siempre nos da el producto notable suma por diferencia o lo que
es lo mismo el cuadrado del primero menos el cuadrado del
segundo.

*La conjugada es el denominador con el
segundo miembro cambiado de signo.

Funciones
Cuadráticas

Toda función cuadrática f(x)
= ax2 + bx + c, representa una parábola tal
que:

Su forma depende exclusivamente del
coeficiente a de x2.

Los coeficientes b y c trasladan la
parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba y
si a < 0, hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor
absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe
un único punto de corte con el eje OY, que es el
(0,c)

Los cortes con el eje OX se obtienen
resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir
que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

La primera coordenada del vértice es
Xv = -b/2a.

Forma
polinómica

Se llama así porque la
función está expresada por un polinomio:

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 En este caso a x1 se la denomina
raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es
2.

Forma
canónica

Toda función cuadrática puede
ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente
manera:

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 Siendo a el coeficiente principal y
el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la
parábola. Para llegar a esta expresión se parte de
la forma polinómica y se completan cuadrados.

 Forma canónica y
factorizada de una función
cuadrática

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Ejercicios

 

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Conclusiones

La recopilación para la información de
este trabajo fue compleja, ya que se comparó entre varias
fuentes para proporcionar los conocimientos de la manera clara y
precisamente posible. Se tuvo en cuenta muchos aspectos como la
explicación de ciertas fórmulas o ejemplos
representativos para ser más fácil la
aplicación de estos a lo largo de la cursada, resolviendo
problemáticas de la materia.

Bibliografía

-Diego Luis Feria Gómez,Centro Nacional de
Información y Comunicación Educativa, CNICE,
Proyecto Descartes (http://descartes.cnice.mecd.es)

-http://www.how-to-study.com/

-http://www.ditutor.com

-Apuntes del nivel secundario.

-http://www.Física.net

-http://matematica.laguia2000.com

 

 

Autor:

Mariel C

Trabajo Final: Investigación sobre las
Propiedades básicas de la Matemática y sesenta
ejercicios.

Materia: Elementos de Física y
Matemática

Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

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