Apuntes y Ejercicios de Cinemática

Introducción

La Física es una ciencia fundamental que tiene
profunda influencia en todas las otras ciencias. Por
consiguiente, no solo los estudiantes de física e
ingeniería, sino todo aquel que piense seguir una carrera
científica (biología, química y
matemática) debe de tener una amplia comprensión de
sus ideas fundamentales.

La palabra Física proviene del vocablo griego que
significa naturaleza, y por ello la Física debe ser una
ciencia dedicada al estudio de los fenómenos naturales. De
hecho, hasta principios del siglo XIX se entendió a la
Física en un sentido amplio, y se denomino
"Filosofía natural". Sin embargo, a partir del siglo XIX y
hasta el presente, La física se ha restringido al estudio
de un grupo más limitado de fenómenos, designados
por el nombre de fenómenos físicos.

Las partes de la
física clásica

El hombre es poseedor de una mente investigadora, tiene
una curiosidad acerca de cómo funciona el mundo que lo
rodea. Al principio sus fuentes de información fueron sus
sentidos y por ello clasifico los fenómenos observados de
acuerdo a la manera en que percibía la luz esta a su vez
fue relacionada con la visión y la óptica inicio a
partir de esta idea. El sonido fue relacionado con la
audición que dio origen a la acústica. El calor fue
relacionado a otro tipo de sensación física y con
la aparición de la Revolución Industrial se dio un
fuerte impulso al desarrollo de la termodinámica. El
movimiento, evidentemente es el más común de todos
los fenómenos observados cotidianamente, y la ciencia del
movimiento, la mecánica, se desarrollo más temprano
que cualquier otra rama de la física. El movimiento de los
planetas causado por sus interacciones gravitatorias, así
como la caída libre de los cuerpos, fue satisfactoriamente
explicado por las leyes de la mecánica; El
electromagnetismo, no estando relacionado tan directamente con
los sentidos, aparece como una parte organizada de la
física hasta el siglo XIX.

De esta manera desde el siglo XIX la física
aparecía dividida en las siguientes partes
"clásicas":

a) Mecánica.- Estudio del movimiento de los
cuerpos

b) Calor (termodinámica).- Estudio del calor y
sus interacciones con otros tipos de energía.

c) Acústica.- Estudio las propiedades y
propagación del sonido.

d) Óptica.- Estudio de la luz

e) Electromagnetismo.- Estudio de los fenómenos
eléctricos y magnéticos.

En el siglo XX se amplia el conocimiento de los
fenómenos físicos y se enriquece la física
con la denominada física moderna.

La relación de
la física con otras ciencias

Se puede decir que el objetivo de la física es
capacitarnos para comprender los principios básicos de la
materia y sus interacciones, y explicar así los
fenómenos naturales. La química trata
básicamente de la aplicación de las leyes de
la física a la formación de moléculas y
ayuda a la explicación de los variados métodos de
transformación de ciertas moléculas en otras. La
biología se basa fundamentalmente en la física y la
química para explicar los procesos que ocurren en los
seres vivos. La aplicación de los principios de la
física a problemas prácticos, en la
investigación de alto nivel, así como en la vida
profesional. La practica moderna de la ingeniería al igual
que la investigación en el área de ciencias
naturales sería imposible sin la comprensión de las
ideas fundamentales de las ciencias físicas.

Pero la física no es solo importante porque
proporciona la base conceptual y la estructura teórica
sobre la cual se fundan las otras ciencias naturales. Desde el
punto de vista practico es importante porque proporciona
técnicas que pueden utilizarse casi en cualquier
área de la investigación pura o aplicada. El
astrónomo requiere de técnicas ópticas, de
radio y espectroscópicas, El geólogo utiliza en sus
investigaciones métodos gravimétricos,
acústicos, nucleares y mecánicos. Lo mismo puede
decirse del oceanógrafo, el meteorólogo, el
sismólogo, etc. Un hospital moderno esta equipado con
laboratorios en los cuales se usan la técnicas más
refinadas de la física. En resumen, casi todas las
actividades de investigación incluyendo campos como la
arqueología, paleontología, historia y arte
utilizan técnicas modernas de la física en sus
investigaciones.

El método
experimental

A fin de cumplir con sus objetivos la Física,
como todas las ciencias experimentales, dependen de la
observación y de la
experimentación.

La observación consiste en un examen
crítico y cuidadoso de los fenómenos, notando y
analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen
influenciarlos. Este proceso generalmente no es inmediato y
requiere de un proceso de análisis cuidadoso y
profundo.

La experimentación consiste en la
observación del fenómeno pero en condiciones
controladas de antemano por el experimentador. De esta manera el
científico puede variar los parámetros del
experimento para conocer como estos afectan los procesos que
ocurren en dicho fenómeno.

Sin la experimentación la ciencia moderna nunca
habría alcanzado los avances actuales. Por tal
razón los laboratorios son esenciales para el
científico.

Aunque hasta hace algunos años un
científico podía trabajar en forma más o
menos aislada, la ciencia moderna, debido a su complejidad, es
principalmente el resultado de trabajo interdisciplinario, en el
cual teóricos y experimentales piensan y trabajan
juntos.

Mediciones

La observación de un fenómeno es en
general incompleta a menos que, dé lugar a un
información cuantitativa. Para obtener dicha
información se requiere la medición de una
propiedad física, y así la medición
constituye una buena parte de la rutina diaria del investigador
experimental.

La medición es una técnica por medio de la
cual asignamos un número a una propiedad física,
como resultado de una comparación de dicha propiedad con
otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado
como unidad. La mayor parte de las mediciones realizadas en el
laboratorio se reducen esencialmente a las mediciones de
longitud, tiempo, masa, corriente eléctrica y temperatura.
Utilizando estas mediciones y ciertas convecciones expresadas en
formulas obtenemos la cantidad deseada. Cuando el investigador
mide su objeto de estudio debe de tener gran cuidado de modo de
no producir una perturbación mínima del sistema que
esta bajo su observación. Por ejemplo, cuando medimos la
temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un
termómetro. Pero al ponerlos juntos, algo de
energía o calor se intercambia entre el cuerpo y el
termómetro, dando por resultado un pequeño cambio
en la temperatura del cuerpo afectando así la misma
cantidad que deseábamos medir. Además todas las
medidas son afectadas en algún grado por el error
experimental debido a las imperfecciones inevitables del
instrumento de medida o a las limitaciones impuestas por los
sentidos que deben de registrar la información. Por lo
tanto cuando un investigador diseña su técnica de
medición procura que la perturbación de la cantidad
a medirse tenga un error experimental lo más
pequeño posible.

Cantidades físicas fundamentales y
unidades

Antes de efectuar una medición, debemos de
seleccionar una unidad para cada cantidad física a
medirse. Para propósitos de medición hay cantidades
fundamentales y derivadas. El físico en general reconoce
cinco cantidades fundamentales: longitud, tiempo, masa, carga
eléctrica y temperatura.

Son tres los sistemas de unidades que se usan
comúnmente. Estos son:

a) Sistema metro-kilogramo-segundo conocido
también como sistema (MKS) o sistema
internacional.

b) Sistema centímetro-gramo-segundo conocido como
sistema (CGS).

c) Sistema pie-libra-segundo llamado sistema
ingles.

Una vez escogidas las cantidades fundamentales
automáticamente quedan determinadas las unidades de las
cantidades derivadas.

Preguntas

1) ¿Qué es una medida
patrón?

2 Si un desconocido le dijera que todas las dimensiones
de todos los objetos se habían reducido a la mitad que
tenían un día anterior ¿ Cómo
refutaría Ud. esta afirmación, explique?

Problemas

1) En competencias de pista se usan 100 yardas y 100
metros como distancias de carreras:

a) ¿Que longitud es mayor?

b) ¿En cuantos metros es mayor?

2) 48 X 10-89 litros equivale a que cantidad de
cm3

3) 6 x 1090 segundos equivale a cuantos
días.

4) Considere que se han construido cajas cúbicas
iguales de volumen tal, que en cada caja se acomodan 10-12 partes
de moléculas de aire. ¿Cuántas cajas de este
tipo se necesitan para almacenar 1097 partes de moléculas
de aire?

Mecánica

La Mecánica, la más antigua de las
ciencias físicas, es el estudio del movimiento de los
cuerpos. Entre algunos de sus problemas está el
cálculo de la trayectoria de proyectiles, la trayectoria
de un satélite de telecomunicaciones o de
exploración enviado a Marte o el análisis de las
trayectorias formadas en una cámara de burbujas, que
representan las interacciones de partículas
elementales.

La Mecánica se divide en tres partes:

a) Cinemática, en donde se define como la
parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los
cuerpos sin importar las causas que produce dicho
movimiento.

b) Dinámica estudia las fuerzas que
intervienen en el movimiento.

c) Estática estudia los sistemas
mecánicos en donde las fuerzas que intervienen se
encuentran en equilibrio, formalmente se puede demostrar que la
Estática es un caso particular de la
Dinámica.

Cinemática

Un objeto real puede girar al ir moviéndose. Por
ejemplo, una pelota de béisbol puede girar mientras va en
movimiento como un todo describiendo alguna trayectoria.
Análogamente, un cuerpo puede vibrar al ir
moviéndose, como por ejemplo una gota de agua al caer.
Estas complicaciones se pueden evitar considerando el movimiento
de un cuerpo muy pequeño llamado partícula.
Matemáticamente, una partícula se considera como un
punto, como un objeto sin tamaño, de manera que no hay
hacer consideraciones de rotaciones y vibraciones durante su
trayectoria. En realidad no existe en la naturaleza nada que
pueda considerarse un objeto sin extensión. Sin embargo,
el concepto de partícula es muy útil porque los
objetos reales a menudo se comportan, con una gran
aproximación, como si fueran partículas.

3.1.1 Rapidez media

La rapidez media es la rapidez con que un cuerpo cambia
de posición al transcurrir el tiempo y su
definición operacional esta dada por:

3.1.2 Aceleración media

A menudo la velocidad de un móvil cambia, ya sea
en magnitud, dirección, o sentido en algunas de ellas o en
todas. Entonces se dice que el cuerpo lleva una
aceleración. La aceleración de un móvil es
la rapidez con que cambia su velocidad al transcurrir el tiempo.
La aceleración media se define por:

3.1.3 Rapidez promedio

La rapidez promedio como lo indica su nombre es el
promedio de la rapidez inicial y la rapidez final del
móvil definiéndose por:

En particular considerando el movimiento de un
móvil que se desplaza con un movimiento rectilíneo
horizontal con aceleración constante se considera las
siguientes relaciones de movimiento:

Las ecuaciones (1) a (6) permiten resolver una gran
cantidad de problemas en cinemática.

PREGUNTAS DE CINEMATICA.

3) Un conejo avanza cada segundo la mitad de la
distancia que hay de su nariz a una lechuga ¿Podrá
llegar hasta la lechuga? Justifique su respuesta.

4) Puede un cuerpo no adquirir una aceleración y
sin embargo llevar una velocidad diferente de cero. Justifique su
respuesta.

PROBLEMAS DE CINEMATICA

1 Un automóvil viaja a una velocidad constante de
60 Km/h. ¿Qué distancia recorrerá el
automóvil en un periodo de 1.5 h.?

Soluciones:

Método a: El automóvil se desplaza sin
cambios de su velocidad con respecto al tiempo transcurrido en su
viaje. Por consiguiente siempre recorre 60 Km en 1 h que
representa 60 Km/h, entonces para 1.5 h habrá recorrido la
distancia de 1h más la distancia de .5 h pero como cada
hora recorre 60 Km por lo tanto en 1.5h recorrerá 60 km +
30 Km cuyo resultado es de 90 Km.

Método b: Utilizando la expresión formal 1
que se muestra a continuación:

Observe que h se cancela y queda simplemente Km que
efectivamente corresponden a unidades de distancia. Si se pide el
resultado en el sistema de unidades internacional se
realizaría la conversión de unidades de Km a m, en
este caso particular, si sabemos la siguiente equivalencia: 1 Km
= 1000 m, entonces 90 Km corresponden a 90 000 m. Es decir 90 Km
= 90 000 m. son dos cantidades iguales con diferentes
unidades.

2) Un auto viaja hacia el Este con una rapidez constante
de 70 km/h ¿Calcular el valor de su
aceleración?

Considerando el modelo:

3 Un auto desacelera desde una rapidez de 25 m/s hasta
el reposo en una distancia de 120 m ¿Cuál es su
desaceleración, suponiendo que es constante?

Considerando el modelo:

4 Un auto logra una aceleración de 3.2 m/s2: A
esta razón ¿Cuánto tiempo le llevara
acelerar de 85 km/h a 100 km/h?

Considerando el modelo:

5 Un auto viaja de noche a 72 km/h y de repente se
encuentra un camión estacionado a 30m de distancia, en ese
instante frena con una desaceleración de 5 m/s2. Calcular
a) El tiempo que tarda el auto en detenerse. b) Choca el auto con
el camión?

a)

Considerando el modelo:

b)

La distancia que recorre el auto en su frenado esta dada
por la relación:

Es decir la distancia que recorre el auto en el frenado
antes de detenerse es de 40m, por lo tanto el auto si choca con
el camión.

6 Dos automóviles que viajan en el mismo sentido
y dirección, ambos se desplazan con velocidad constante y
se encuentran a una distancia de 126 km. Si el mas lento va a 42
km/h. Calcular la velocidad del más rápido,
sabiendo que lo alcanza en 6h.

Considerando la relación de distancias entre el
auto A y B expresada por:

Es decir la velocidad del auto más rápido
es 63 km/h

7 Un deportista sale de su casa en bicicleta a las 6 de
la mañana. Al llegar a un cierto lugar, se le estropea la
bicicleta y ha de volver andando. Calcular a que distancia
ocurrió el percance sabiendo que las velocidades fueron
constantes y han sido de 30 km/h en bicicleta y 6 km/h andando y
que llega a su casa al medio día.

Considerando la relación de los tiempos que
tardaron en recorrer el deportista con bicicleta y andando se
establece la relación:

Es decir:

Es decir la distancia que ocurrió el percance es
de 30 km

Para determinar la distancia que recorre el tren A desde
que el maquinista aplica los frenos hasta que el tren se detiene,
se considera la relación:

Es decir la distancia que recorre el tren A desde que
frena hasta detenerse es: 631.9 m

Para determinar la distancia que recorre el tren B desde
que el maquinista aplica los frenos hasta que el tren se detiene,
se considera la relación:

Por lo tanto los trenes A y B no chocan.

9 En el momento en que se enciende la luz verde de un
semáforo de transito, arranca un automóvil con
aceleración constante ax de 1 m/s2 en ese mismo instante,
un camión que lleva una rapidez constante de 30 m/s
alcanza y rebasa al automóvil.

a) ¿A que distancia del punto de partida
alcanzara el automóvil al camión?

b) ¿A que rapidez ira el automóvil en
dicho instante?

a)

La ecuación de movimiento para el
automóvil esta dada:

Es decir en 60 s el automóvil alcanza al
camión.

A partir del modelo:

Por lo tanto el automóvil alcanza al
camión a una distancia de 1800 m del
semáforo

b)

En este caso la ecuación de movimiento del
automóvil esta dada por:

Por lo tanto la rapidez del automóvil cuando
alcanza al camión es de 60 m/s.

Movimiento vertical:
Caída libre

El ejemplo más común de movimiento con
aceleración constante es el de un cuerpo que cae hacia la
superficie de la tierra. No habiendo resistencia sobre el cuerpo,
independientemente de su tamaño, peso o
composición, Es decir si la resistencia del aire es
despreciable todos los cuerpos caen con la misma
aceleración desde una cierta altura sobre la superficie de
la tierra. Este movimiento ideal, se llama caída
libre.

La aceleración de un cuerpo que cae libremente se
llama aceleración debida a la gravedad y se representa por
el símbolo g. Cerca de la superficie de la tierra su
magnitud es aproximadamente de 9.81 m/s2, y está dirigida
hacia abajo, hacia el centro de la tierra.

Las ecuaciones de movimiento de caída libre
son:

Donde h es la altura en que esta ubicado el cuerpo con
respecto a la superficie de la tierra.

Note la simetría de las ecuaciones (2), (4) y (6)
con (7), (8) y (9).

PREGUNTAS

5) ¿La aceleración de caída libre
de un cuerpo es igual en la superficie terrestre que en la
superficie lunar? Explique.

PROBLEMAS

6) ¿La velocidad que debe lanzarse verticalmente
una pelota hacia arriba para que llegue a una altura de 12.5 m?
¿Cuánto tiempo estará en el aire?

7) Un balín de plomo se deja caer a un lago desde
un trampolín que esta a 5 m del agua. Pega en el agua a
una cierta rapidez y después se hunde hasta el fondo con
esa misma rapidez constante. Llega al fondo 5 seg después
que se soltó.

a) ¿Qué profundidad tiene el
lago?

b) Supóngase que se extrae toda el agua del lago.
El balín se arroja desde el trampolín, de manera
que llega nuevamente al fondo en 5 seg ¿Cuál es la
velocidad inicial del balín?

PROBLEMAS DE CAIDA LIBRE

1 a) ¿Cuánto tarda una piedra
en llegar al piso si se soltó a una altura de 65
m?

b) ¿Cuál será su
rapidez al llegar al piso?

En este problema conviene resolver primero
el inciso b

b)

Considerando el modelo:

a)

A partir del modelo:

2 Se lanza una pelota verticalmente hacia
abajo desde la cornisa de un edificio, imprimiéndole la
mano de una persona una velocidad de 15 m/s.

a) ¿Cuál será su
velocidad después de haber descendido durante 3
s?

b) ¿Qué distancia
descenderá en 3s?

c) ¿Cuál será su
rapidez después de haber descendido 20 m?

d) Si la pelota se lanzo desde un punto a
50 m sobre el piso ¿En que tiempo llega la pelota al
piso?

e) En el caso del inciso anterior
¿Cuál será su velocidad al llegar al
piso?

a)

Considerando el modelo:

b)

Considerando el modelo:

c)

Considerando el modelo:

d)

Considerando el modelo:

Aplicando a la formula general para las
soluciones de ecuaciones de segundo grado:

d)

Considerando el modelo:

3 Un objeto se lanza horizontalmente con
una velocidad de 10 m/s desde la parte superior de un edificio de
20 m de altura. ¿ A que distancia de la base del edificio
el objeto toca el piso.?

Considerando el modelo:

Es decir la distancia que el objeto toca el
piso y la ubicación del edificio es: 20 m.

4 La velocidad mínima debe de salir
del agua un salmón para brincar hasta el borde de una
caída de agua de 2.1 m de altura.

Considerando el modelo:

5 Un helicóptero asciende
verticalmente con una rapidez de 8 m/s; a una altura de 120 m
sobre la superficie, se suelta un paquete por una ventanilla:
¿Cuánto tardara el paquete en llegar al
piso?

Considerando el modelo:

Movimiento en un
plano: Tiro parabólico

El ejemplo más común de movimiento de
proyectiles en un plano, corresponde a la trayectoria que
describe el balón de fútbol americano que sale con
una cierta rapidez Vo y a un cierto ángulo ( cuando es
golpeado por el jugador. Si se desprecia la resistencia del aire,
entonces se dice que la única aceleración que
actúa sobre el balón es constante y corresponde a
la aceleración de la gravedad, por lo tanto las ecuaciones
de movimiento de describen dicho movimiento, también
llamadas ecuaciones de tiro parabólico (dado que el perfil
de su trayectoria corresponde a una parábola)
son:

PROBLEMAS DE TIRO
PARABOLICO

1 Un bateador golpea a una pelota que viaja a una altura
de 1.45 m sobre el piso de tal manera que la lanza con un
ángulo de inclinación con respecto a la horizontal
de 500 y con una rapidez inicial de 35 m/s. En su trayectoria la
pelota tiene que sobrepasar una barda de 6 m de altura, situada a
una distancia de 96 m del bateador. ¿Podrá la
pelota sobrepasar la barda?

Para determinar el alcance:

Para calcular la altura que alcanza la pelota cuando
llega a la barda.

Por lo tanto la pelota sobrepasa la barda.

2 Un cazador dispara su arco de manera que sale
disparada una flecha con una velocidad de 30 m/s e
inclinación de 300 con respecto a la horizontal en el
preciso instante en que se le lanza un puma desde una distancia
de 17.22 m. El puma avanza con una velocidad rectilínea
uniforme: Vp. ¿Calcula el valor de Vp si la flecha le pega
al puma?

3 Un cañón dispara un proyectil con una
velocidad inicial de 360 m/s. Se desea batir un blanco situado a
una distancia horizontal de 1000 m del cañón y
elevado a 300 m por encima de el. ¿Cuál debe de ser
el ángulo de elevación del disparo?

Partiendo de las relaciones de alcance y altura del
disparo:

Despejando t de la expresión de alcance
resulta:

Aplicando la formula general para ecuaciones de segundo
grado:

Por consideraciones físicas el ángulo de
elevación es: ( = 19o.

4 Se deja caer una bomba de un aeroplano
que vuela horizontalmente con una rapidez de 100 km/h y a una
altura de 500 m.

a) ¿Cuánto avanzara la bomba
antes de llegar al piso?

b) ¿La rapidez y dirección de
la bomba al momento de llegar al piso?

c) ¿Cuánto tiempo tardara el
llegar al piso?

Conviene resolver primero el inciso
c)

Considerando el modelo:

El tiempo que tarda la bomba en llegar al
piso es t = 10.1 s

b)

Dado que:

La dirección esta dada
por:

5 El pateador de un equipo de fútbol
americano le pega al balón y este sale con una rapidez de
25 m/s. (Considere que la resistencia del aire es
despreciable).

¿Cuáles son los
ángulos máximo y mínimo que debe de ser
pateado el balón con respecto a la horizontal para que se
anote gol?, Si la línea de meta se localiza a 50 m del
lugar en donde se efectúa la patada. La barra horizontal
sobre la cual debe de pasar el balón esta a 3.44 m sobre
el nivel del campo.

Considerando la
ecuación::

Entonces:

Sustituyendo en la ecuación general
para la solución de ecuaciones de segundo grado
resulta:

Por lo tanto:

6 ¿Calcular el ángulo de
elevación con el que debe de ser lanzado un proyectil que
parte con una rapidez de 350 m/s para alcanzar un blanco situado
en el mismo nivel que se encuentra a 4000 m de
distancia?

Considerando la relación:

Resulta:

Bibliografía

– Tippens P. E., Física, conceptos y
aplicaciones, México, 2a edición, Mc. Graw-Hill
Interamericana, 1989.

– Stollberg R. y Hill F., Física, fundamentos y
fronteras, México, Publicaciones Cultural,
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– Pérez Montiel H., Física 1,
Enseñanza Media Superior, México, 1992.

– Buenche F., Fundamentos de Física,
México, Mc. Graw-Hill, 1993.

– Blackwood, O.H., Física General, México,
Edit. Continental, 1990.

– Resnick D. y Holliday R., Física Vol. 1,
México, CECSA, 1978.

– Hecht E., Física en perspectiva, México,
Mc. Graw-Hill, 1993.

– Hewitt P.G., Conceptos de física,
México, Limusa, 1993.

Autor:

José Jesús Mena
Delgadillo