Conjuntos acotados. Inecuaciones

Resumen

En el presente trabajo trataremos acerca de lo que
respecta a conjuntos acotados y inecuaciones relacionadas.Un
conjunto A se dice acotado si y sólo si tiene
cota superior e inferior. Un conjunto que tiene sólo una
cota superior se dice superiormente acotado y,
análogamente, uno con sólo una cota inferior se
dice inferiormente acotado. El concepto de cota en fundamental en
el estudio de sucesiones, ya que
el límite de una sucesión acotada es su
cota superior o inferior según el caso. Una
ecuación irracional no es más que una
ecuación cuyas incógnitas están contenidas
dentro de raíces, llamadas estas expresiones,
radicales.

Para resolver este tipo de ecuaciones se
procederá siempre de la misma manera, eliminando lo que
nos molesta, los radicales. Esto se consigue elevando ambos
miembros de la igualdad al índice de la raíz (es
decir, si está con una raíz cuadrada, al cuadrado,
si es una raíz cubica, al cubo, y así
sucesivamente).

Bounded sets and irrational
Inequations

Abstract

In this paper we discuss about terms bounded sets and
set relacionadas.Un equations A is said bounded if and only if it
has upper and lower bound . A set that has only an upper bound is
said bounded above and, similarly, one with only a lower bound is
bounded inferiorly says . The concept of a fundamental dimension
in the study of inheritance , as the limit of a bounded sequence
is its upper or lower bound as appropriate. An irrational
equation is simply an equation whose unknowns are contained
within roots, called these expressions, radicals.

To solve such equations are always proceed in the same
manner, eliminating what bothers us , radicals . This is achieved
by raising both members of the equality index of the root ( ie ,
if a square root , squared, if a cubic root, cubed, and so on )
.

Estructura:

Justificación

El presente trabajo tiene como propósito
contribuir a la formación integral del alumno en el
desarrollo de habilidades y destrezas básicas para
facilitar la interpretación del medio que lo rodea,
tomando en cuenta el desarrollo científico y
tecnológico.En el área de matemática se
pretende que mediante el manejo de estrategias, los alumnos vayan
desarrollando su pensamiento lógico y su capacidad de
resolución de problemas.

La matemática implica la consideración de
una nueva visión para sustituir y revisar la
planificación de estrategias que se han venido haciendo
hasta ahora, así como también las creencias que han
influido sobre ellas. Se apoya en un conjunto
de teorías, métodos y procedimientos para
alcanzar una visión compleja y comprometida de la
realidad; educar para la vida

Metodología:

Fuentes:

La información de los datos requerida de la
presente investigación es de tipo secundaria ya
que los datos no son obtenidos por el investigador directamente
si no que son proporcionados por otros medios principalmente
bibliográficos.

Objetivos:

OBJETIVO GENERAL

• Mejorar el desempeño de las operaciones
  básicas de matemática, específicamente
  en lo relacionado a conjuntos acotados y ecuaciones
  irracionales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Determinar las deficiencias presentes en los alumnos
  de matemática básica.

• Facilitar actividades didácticas para mejorar
  el desempeño de las operaciones de conjuntos y
  ecuaciones.

Introducción

La matemática forma parte integral
del ambiente cultural, social, económico y
tecnológico del ser humano". Por ejemplo; a un niño
en la calle se le puede encontrar resolviendo un problema; un
adulto, ya sea un conductor de
un transporte público, una ama de casa, un
agricultor, unalbañil, entre otros; todos utilizan la
matemática y resuelven problemas con sus
propios métodos; a veces, sin percatarse de
ello.

El aprendizaje de las operaciones en
nuestras aulas debe ser el resultado de
la interacción entre
las matemáticas organizadas por
la comunidad científica y los cálculos
como actividad humana. Es decir; el aprendizaje de las mismas es
necesario que se oriente hacia la búsqueda
de soluciones a las dificultades surgidas del estudio
de situaciones problemáticas presentadas al alumno en su
ambiente social.

Dentro de estas se considera como uno de los ambientes
donde el estudiante se prepara para la vida; con lo cual el
aprendizaje de conceptos matemáticos exige
la observación de los eventos del
mundo, y así sea una forma particular de organizar los
objetos y los acontecimientos en el mundo. Por otra parte, no se
puede seguir pensando que la matemática se aprende
practicando, realizando toneladas de ejercicios y memorizando una
gran cantidad de fórmulas; esto conduce, a que los
estudiantes pierdan el interés por esta
asignatura y se desmotiven. Esto puede traer como consecuencia un
alto número de estudiantes no aprobados al final de un
año escolar. Finalmente, la matemática en
la escuela debe preparar al estudiante en su
confrontación con la realidad, para que entienda y se
adapte al entorno donde vive. Así mismo, el estudiante
será creativo, crítico y constructor de su
propio conocimiento matemático.

Proceso o
desarrollo

Venero.B. define:

• CONJUNTOS ACOTADOS.-

Existen conjuntos de números reales cuyos
elementos tienen la característica de no ser
mayores que un cierto valor constante, tal como ocurre
con los elementos del conjunto

A = ? – oo, 6 ? con respecto al
valor constante 7, por ejemplo; como se ve en la
figura.

• DEFINICIÓN Se llama
  COTA SUPERIOR de un conjunto A de números
  reales a todo número real c tal que

Es decir, cualquier número que sea mayor o igual
que todos los elementos de A, se llama COTA SUPERIOR DE
A.

Cuando A tiene alguna cota superior, se dice que el
conjunto A está ACOTADO SUPERIORMENTE. Para ilustrar estas
definiciones, tomaremos el conjunto A = ? — oo , 6 ? y una
de sus cotas superiores c = 7 .

Note que cualquiera de los números reales
mayores que 6, e incluso 6, es
también cota superior de este conjunto A, en particular c
= 6.5, c = 7, c = 8, etc.

De todas estas cotas superiores de A, el
número 6 es la menor, como será
demostrado luego.

• DEFINICIÓN .- A la menor de las cotas
  superiores de un conjunto A de números

reales, acotado superiormente, se le llama
SUPREMO (o MÍNIMA COTA SUPERIOR)de A , y
se denota sup(A).

• OBSERVACIONES.-

• El supremo de A es también una cota superior
  del conjunto A.

• Esta menor cota superior está
  caracterizada por la condición siguiente que o:,
  equivalente a la Definición dada:

• El supremo de un conjunto A, si existe,
  no es necesariamente un elemento de A, como
  es el caso de

A = ? — oo, 6 ? cuyo supremo (que es
igual a 6) no pertenece al conjunto dado A.

La existencia del SUPREMOpara conjuntos acotados
superiormente está asegurada por el siguiente axioma, con
el cual completamos el SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES en lo
que a sus propiedades respecta.

• EJERCICIO.- Demuestre que si A = ?
  — oo, 6 ?) entonces supA =
  6.

La prueba será hecha por reducción
al absurdo:

Supongamos que 6 no es la menor cota superior de A,
entonces se puede asegurar que existe una cota superior c de A
tal que c < 6, y puesto que

• DEFINICIÓN Se llama COTA
  INFERIORde un conjunto A

De números reales a todo
número real c tal que X > C, V X ?
A.

• EJEMPLO Si A = [4,9 ? entonces c = 1 es una
  cota inferior de A.

Si para un conjunto A existe alguna cota inferior,
entonces se dice que A está ACOTADO
INFERIORMENTE, en cuyo caso siempre es posible encontrar
la mayor de las cotas inferiores a la que se le
denomina como el ÍNFIMO DE A o
también LA MAYOR COTA INFERIOR DE A, y se
le denota por inf(A) .

• NOTA .- El ÍNFIMO de un
  conjunto A está caracterizada por la
  condición:

Con respecto al ínfimode un conjunto
de números reales, se pueden hacer observaciones
análogas al supremo,como por ejemplo, que
el ÍNFIMO puede no ser elemento del conjunto
dado.

Además, como consecuencia del AXIOMA DEL
SUPREMO se demuestra que:

"Si A es un conjunto no vacío de números
reales, acotado inferiormente, entonces A posee
una MÁXIMA COTA INFERIOR (o ÍNFIMO)
en R ' '

• EJEMPLO

Melba Báez de Erazo, define:

PRINCIPIO ARQUIMEDIANO.-

PRUEBA

SOLUCIÓN Encontraremos
además, el Supremo y el ínfimo de A, ubicando los
elementos de A en una recta:

De esta manera, inf (A) = 0.

• EJERCICIO.- Si A y B son dos conjuntos de
  números reales, no vacíos y aco_

tados superiormente, tales que A c B ,
demuestre que:

sup A = sup B .

SOLUCIÓN

PRUEBA

DEFINICIÓN.- 1) Se llama MÁXIMO DE A, y se
denota max (A) al supremo

de A cuando éste es el elemento de A.

2) Se llama MÍNIMO DE A, y se denota
min (A) al ínfimo de A cuando éste
es el elemento de A.

EJERCICIO Determine el Supremo y el ínfimo, si
existen, de

SOLUCIÓN:

• TEOREMA Si a > 0 , b > 0 , demostrar que
  existe un entero positivo

n? N tal que 0 < b < n a .

(Ver el Ejercicio Propuesto [9]).

• PRINCIPIO DEL BUEN ORDENAMIENTO

Todo conjunto no vacío de
números naturales posee un menor elemento, en dicho
conjunto.

Por ejemplo, sea S = {enteros positivos múltiplos
de 4 y 6 a la vez}

= {12, 24, 36,…}

Entonces 12 = menor elemento de S, 12 ? s.

• TEOREMA

PRUEBA:

Espinoza, R. (2009) define

• TEOREMA (EXISTENCIA DE UN RACIONAL ENTRE DOS
  NÚMEROS REALES)

Para cualquier par de números reales a
ybtales que a <</b>bsiempre existe un número
RACIONAL rtal que:

a < r < b.

NOTA.- Como consecuencia de este teorema, y
debido a que el número racional r es al mismo
tiempo un número REAL tal que a < r, entonces
existirá otro número RACIONAL r' tal que:
a < r' < r < b.

De aquí se sigue que entre dos números
reales en realidad existe una cantidad infinita de números
racionales. Por tal razón al teorema [9.24] también
se le conoce como la PROPIEDAD DE DENSIDAD DE LOS RACIONALES EN
R.

PRUEBA.-

• EJERCICIO.-

SOLUCIÓN.-

OTRAS SOLUCIONES

2.3 EJERCICIOS.-

• TEOREMA.-

• COROLARIO.- Sea A un conjunto acotado en R.
  Definimos el conjunto

PRUEBA.- Hacer k = -l en la parte (a) del TEOREMA [9.27]
previo.

• COROLARIO.- Sea A un conjunto de
  números reales no vacío y acotado
  superiormente,

y sea k un número real fijo. Si se
define

• EJERCICIO.-

Y como para n = 3k = múltiplo de 3, z coincide
con 1/3 entonces sup (E) = 1/3. Lugo, E resulta ser un conjunto
acotado.

2)

• EJERCICIO.-

2.9 EJERCICIO.- Si existe, halle el supremo y el
infinito de:

SERIE DE EJERCICIOS

• Si A y B son dos conjunto no
  vacíos y acotados interiormente tales que

A c B, pruebe que. Inf= B infA .

• Si A y B son dos conjuntos acotados y disjuntos,
  pruebe que:

• Dar un ejemplo de dos conjuntos Ay B , mediante
  intervalos tales que

• Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B, tales
  que:

• Dado el conjunto A cuyos elementos tienen la
  forma:

Pruebe que A no tiene Supremo y que inf (A) =
-0.125.

• Encuentre el Supremo y el ínfimo de cada uno
  de los conjuntos:

Inecuaciones
irracionales

Espinoza, R. (2010), define

ii) Si n es entero positivo impar.

Daremos algunos ejemplos de ilustración e estas
propiedades, para después estudiar las diversas formas de
inecuaciones irracionales.

Ejemplos.- Resolver las siguientes
inecuaciones.

Figueroa García R (1992)
define:

• 1. Ahora veremos cómo resolver diversas
  formas de la inecuación con radicales aplicando
  criterios de acuerdo a cada tipo de inecuaciones.

• 1)  Para las inecuaciones
  irracionales de las formas:

• 2) Para las inecuaciones
  irracionales de las formas:

• 3) Para las inecuaciones
  irracionales de las formas.

• 4) Para las inecuaciones
  irracionales de las formas.

• 5) Para las inecuaciones
  irracionales de las formas.

Conclusiones

• Hay conjuntos de números reales cuyos
  elementos tienen la característica de no ser mayores
  que un cierto valor constante.

• Si en un conjunto existe alguna cota inferior se
  dice que esta acotado inferiormente en cuyo caso siempre es
  posible encontrar la mayor de las cotas inferiores a la que
  se denomina como el ínfimo de a o también la
  mayor cota inferior de a y se le denota por
  inf(a).

• A la menor de las cotas superiores de un conjunto de
  números reales, acotado superiormente, se le llama
  SUPREMO (o minima cota superior) y se denota
  sup(A).

Bibliografía

• Figueroa García R, Matemática
  Básica. Editorial América. Lima – Perú.
  1992

• Espinoza, R. 2000. Matemática basica.2°
  edición. Editorial educa Perú.
  Lima-Perú, Pg 185 – 196.

• Venero.B. 2004. Introducción al
  análisis matemático. 2° edición.
  Ediciones Gemar. Perú, Pg 134 – 150.

• Melba Báez de Erazo, Reyita T. de
  Frías. Matemática básica 1. 3º
  edición Editor Editora "Alfa y Omega", 1982.Pg 94
  – 128.

• Peña Rafael, Geraldino. Matemática
  Básica Superior. 3ra Edición.

Autor:

Aceijas Pérez Paul1

Becerra Camacho Luis2

Romero Ruiz Heber3

1Estudiante, Carrera Profesional de Ingeniería
Geológica de la Universidad Nacional de
Cajamarca.

2Estudiante, Carrera Profesional de Ingeniería
Geológica de la Universidad Nacional de
Cajamarca.

3Estudiante, Carrera Profesional de Ingeniería
Geológica de la Universidad Nacional de
Cajamarca.

CURSO:

MATEMATICA BASICA I

DOCENTE:

ING.

HOMERO BARDALES TACULI