Demostración del binomio de Newton

Newton nunca publicó cómo obtuvo su famoso
desarrollo del binomio, así es que voy a hacerlo yo. La
idea es ir paso a paso, en forma simple e intuitiva, como
probablemente hizo Newton, desarrollando la potencia un binomio
en sus componentes. Gradualmente, voy elevando la potencia del
binomio hasta generalizarlo en n. Voy a comenzar con la potencia
4 del binomio, sólo por un tema de
visualización:

Observa los términos subrayados, los que
contienen tres letras a y una letra b ¿De cuántas
formas/colores se pueden agrupar tres letras a y una letra b sin
que el orden en que aparezcan importe (propiedad conmutativa). Es
decir, imagina un grupo de cuatro casilleros: para la letra a,
hay cuatro colores posibles, de los cuales, debemos elegir
sólo tres colores, para llenar así los primeros
tres casilleros, mientras que, para la letra b, también
hay cuatro colores posibles, pero podemos escoger sólo un
casillero de los cuatro que se deben llenar. En forma
coloreada:

Alterar el orden de los casilleros que contienen letras
a, por ejemplo, no cuenta como una nueva combinación pues,
por propiedad conmutativa, el orden en que aparecen no importa.Es
fácil ver que para el primer casillero, tengo 4 opciones
posibles de colores para la letra a, para el segundo casillero,
sólo tendré 3 opciones posibles de colores para la
letra a (porque el primer color ya no está disponible para
ser seleccionado), y para el tercer casillero sólo
tendré 2 opciones de colores posibles para la letra a (los
dos colores restantes). Es decir, la cantidad de combinaciones
posibles de letra a está dada por 4x3x2.

Ahora, dado que el orden con que aparece el trío
de colores no me importa (cuenta como un sólo trío
independiente del orden en que estén los colores dentro de
él) tengo que descontar esas veces en que aparece un mismo
trío de colores pero desordenado, pues, como dije,
sólo debe contar como un único trío. Para
lograrlo, procedo a dividir por la cantidad de veces en que un
trío dado de colores dado puede reordenarse a sí
mismo (es decir, el número de veces en que puedes
desordenar un trío de colores dado, intercambiando la
posición en que aparecen sus colores). Esto último
es, 3x2x1 veces, o más conocido como tres factorial (3!)
veces.

Es decir, un trío de colores dado puede
desordenarse de tres factorial formas distintas. Como, para
nuestro ejercicio, todas estas formas de desordenar un
trío cuentan sólo como una vez, procedo a realizar
el cociente:

Donde n es el número de
posibilidades (colores) y r es el número de casilleros
(posiciones) a llenar con esos colores, para el caso de la letra
a. Esta ecuación suele escribirse en matemática de
la siguiente manera:

Es decir, cuando tengamos tres letras a y una letra b el
coeficiente que acompaña a este término equivale a
la cantidad de veces en que se pueden multiplicar las cuatro
letras "a" posibles (los cuatro colores posible para la letra a)
con las cuatro letras "b" posibles (colores), de forma tal que
conformen una agrupación de cuatro casilleros, donde, a su
vez, 3 de esos casilleros son llenados con letras "a" y
sólo uno de los casillerospuede contener la letra "b".
Esto es, 3a3b1, donde la potencia indica el número de
casilleros que llena cada letra (en este caso, "a" llena 3
casilleros y "b" llena sólo uno). En forma
matemática

Lo interesante de notar es que, escoger las 3 letras "a"
de entre los 4 posibles colores, es equivalente a escoger una
sola letra "b" de entre sus, también, cuatro posibles
colores. Observa el siguiente ejercicio coloreado que
gráfica lo señalado:

Es decir, el número de formas de escoger 3
colores de 4 posibles, es igual al número de formas de
escoger un único color de entre los mismos cuatro
posibles, siempre y cuando el orden no importe.

En términos matemáticos, esta
increíble simetría es bien conocida y se expresa
así:

Nota: En forma equivalente, para el grupo de cuatro
casilleros, pero que esta vez tiene dos letras "a" y dos letras
"b" (en lugar de las 3 letras "a" y una letra "b" que vimos
anteriormente), el coeficiente que los acompaña equivale a
la cantidad de veces en que se pueden multiplicar,
conmutativamente, las cuatro posibles letras "a" con las cuatro
posibles letra "b" de forma tal que conformen una
agrupación con cuatro casilleros, donde,dos de ellos son
llenados con letras "a", y doscasilleros son llenados con
letras"b". Utilizando la fórmula vista anteriormente, el
nuevo caso sería:

Esto es, 6a2b2, donde la potencia indica el
número de casilleros que cada letra está llenando,
en el grupo de cuatro casilleros.

Entonces volviendo al primerísimo
ejemplo de la primera página:

Esto puede escribirse, como hemos visto, en
nomenclatura combinatoria. Recuérdese la propiedad de
simetría:

Como se vio, por simetría, ambas formas de
escribir la serie son completamente equivalentes, pues, cuando el
orden no importa, escoger 3 letras a de cuatro posibles es lo
mismo que escoger una letra b de entre 4 posibles. Escojamos por
conveniencia y belleza matemática la última
nomenclatura. (La escogí en realidad por el hecho de que
sigue una progresión ascendente de números enteros,
lo cual será útil más adelante como se
verá a continuación)

Entonces:

Lo anterior puede generalizarse (por
inducción) para cualquier potencia n del binomio de la
siguiente forma:

Este la demostración binomio de
newton, el cual es esencial para el cálculo diferencial e
integral. La demostración de esta sucesión puede
lograrse mediante la técnica conocida como
"inducción" y está en la web.

Autor:

Dennis Quezada