La Eliminación Gaussiana

El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales
simultaneas está ligado íntimamente al estudio de
las matrices rectangulares de números, definidas por el
arreglo de los coeficientes de dichas ecuaciones.

Definición 1.- Una matriz es una tabla de "mxn"
elementos dispuestos en "m" filas y "n" columnas.

Definición 2.- Se llama matriz diagonal a aquella
matriz cuadrada cuyos elementos no diagonales son todos
nulos:

Definición 3.- Se llama matriz escalar a aquella
matriz diagonal cuyos elementos diagonales son todos
iguales:

Definición 4. La suma de matrices se
efectúa mediante la adición de los correspondientes
elementos individuales.

Ejemplo: Conociendo las matrices S, B y C,
hallar

D = S + B +
C,

Solución: Lo primero que debe hacerse es
organizar los datos en forma matricial:

Ahora, para hallar la suma de las tres matrices,
tendremos:

De lo anterior, puede deducirse:

• que solo pueden ser sumadas matrices que tengan la
  misma dimensión. En consecuencia, la suma y resta de
  matrices con dimensiones desiguales, no está
  definida.

• es posible sumar y restar más de dos matrices
  de iguales dimensiones, simplemente efectuando estas
  operaciones por pares, esto es:

[ (S + B + C) –
X ] = [ (B + C) + (S – X)] = [
(S + C) + (B – X)] = [ (S +
B) + (C – X)]

Definición 5.- La multiplicación de
matrices solamente está definida si en cada producto
posible el numero de columnas de la matriz de la izquierda, es
igual al número de filas de la matriz de la derecha"
(Thierauf, 1995).

considerando, por ejemplo, el siguiente producto de
matrices, se observa que

"si el producto PT.p =
V es definido, siendo V denotado como [vij],
entonces cada elemento vij se obtiene mediante la suma de los
productos que resultan de la multiplicación del elemento
en la fila i-ésima de P por el correspondiente elemento en
la columna j-ésima de p".

Definición 6.- Dado el sistema Ax = b, la
matriz del sistema dado, designada por Ab y llamada
también matriz ampliada, es una matriz que se obtiene a
partir de A agregándole una columna extra,
denominada "b".

Consideremos por ejemplo, el siguiente caso de un
sistema de tres ecuaciones:

"Tres apostadores en maquinitas de juegos de azar
manifiestan haber ganado. El primero dice que el duplo de lo que
él ha ganado con lo de los otros dos arroja la cifra de 3
unidades. El segundo dice que lo que él ha ganado excede a
la suma del triplo del anterior con el duplo del tercero en seis
unidades. El tercero afirma que la suma del duplo del primero con
el cuádruplo del segundo excede en dos unidades al triplo
de lo que ha ganado. Se quiere saber cuánto ha ganado cada
uno".

Describiendo el sistema en la forma de tres ecuaciones
lineales simultáneas, tendremos:

cuya representación matricial es:

y su representación como matriz ampliada,
será:

Definición 7.- Se denominan Transformaciones
Elementales a aquellas operaciones que se realizan con matrices
para modificar, en determinadas formas, los elementos de una fila
o una columna de la matriz.

Entre los métodos de solución algebraica
de los sistemas de ecuaciones existen tres transformaciones
elementales que alteran las ecuaciones pero no cambian las
soluciones, es decir que transforman el sistema dado en otro
sistema equivalente. Estas operaciones son:

Fij : Intercambiar la posición de
fila "i" de una matriz A por la posición de fila
"j".

Fi (a): Multiplicar la fila "i" por una escalar alfa
distinta de cero

Fij (a): Sumar a la fila "i" de una matriz A la
fila "j" multiplicada por una escalar alfa.

Si establecemos estas mismas operaciones referidas a una
matriz escalonada reducida por filas, se obtienen las operaciones
de fila elementales:

(E1 ): Intercambiar dos filas cualesquiera de una matriz
escalonada reducida por filas (EA).

(E2 ): Multiplicar cualquier fila de una matriz por una
escalar diferente de cero

(E3 ): Sumar a una fila de una matriz otra fila
multiplicada por una escalar diferente de cero.

Definición 8.- Toda transformación puede
representarse como el producto por la izquierda de la matriz
asociada de la transformación elemental fila por la matriz
original, o del producto por la derecha de la
transformación elemental columna por la matriz original.
Sea por ejemplo:

entonces, en notación, la operación de
transformación elemental fila en la que han permutado la
primera fila y la segunda fila, será:

Igualmente, la operación de transformación
elemental columna en la que se han permutado la primera columna
por la tercera columna de la matriz Ab y, la segunda
columna por la tercera, se debe hacer en dos pasos elementales, a
saber:

La transformación elemental en la que se
multiplican la segunda y la tercera filas de la matriz Ab
por una escalar (-1) diferente de cero, también se debe
hacer en mas de un paso, a saber:

La transformación elemental en la que se suma a
una fila de una matriz otra fila multiplicada por una escalar
será:

Definición 9.- Un sistema de ecuaciones lineales
simultaneas se llama "escalonado o reducido" si la matriz del
sistema cumple que:

• Todos los elementos por debajo de los aij son
  nulos.

• El primer elemento no nulo de cada fila, llamado
  "pivote", está a la derecha del primer elemento
  diferente de cero de la fila anterior.

• Cualquier fila formada únicamente por ceros
  esta bajo todas las filas con elementos diferentes de
  cero.

Definición 10.- La eliminación gaussiana
es un algoritmo que transforma sucesivamente un sistema de
ecuaciones lineales simultáneas en otro equivalente, hasta
obtener al final un sistema escalonado fácilmente
resoluble. Los pasos a seguir en la eliminación gaussiana
son:

• Localizamos el primer elemento no nulo en la primera
  columna no nula del sistema.

• Tomamos como primer pivote aquella columna con menor
  valor no nulo.

• Eliminamos todos los términos debajo del
  pivote

• Seleccionamos un nuevo pivote.

Ahora ilustramos este procedimiento en forma
numérica, a partir de la matriz Ab modificada, esto
es:

en la que las transformaciones elementales han dado
lugar a la necesidad de una reasignación del nombre de las
variables, de tal modo que z = r, x = s, y = t para efectos de
conservar un ordenamiento alfabético de las columnas.
Continuamos, pues, con las transformaciones elementales en las
que se suman a las filas otra fila multiplicada por una
escalar:

Un sistema escalonado triangular, como el que hemos
obtenido, se resuelve muy fácilmente mediante el
método de sustitución, en el que la ultima
ecuación se resuelve para la ultima incógnita y se
sustituye hacia atrás en la penúltima
ecuación, la cual se vuelve a resolver para la
penúltima incógnita y, continuamos así hasta
llegar a la primera ecuación, eso es:

r + 2s + t = 3

s + 3t = 12

t = 5

la tercera ecuación está resuelta para
t=5, luego en la segunda tenemos s = -3, para finalmente hallar
en la primera r= 4.

En la búsqueda de solución al sistema
escalonado obtenido, nos podríamos encontrar con las
siguientes situaciones:

• Que se trate de un sistema en el que el numero de
  pivotes coincide con el numero de incógnitas y, en
  consecuencia, el sistema tiene solución única.
  La solución se obtiene por sustitución
  regresiva empezando por la ultima ecuación hasta
  llegar a la primera.

• Que se trate de un sistema "inconsistente" o
  "incompatible" con todos sus elementos no nulos menos uno,
  dando lugar a alguna ecuación absurda de la forma 0 =
  b, con b distinto de cero. En estos sistemas no existe
  solución pues resulta imposible asignar valores a las
  incógnitas para hacer verdadera la ecuación
  absurda (Bronson, 1991).

• Que se trate de un sistema cuyo número de
  pivotes sea menor que el número de incógnitas
  por lo tanto tal sistema tendrá infinitas soluciones y
  se dice que es indeterminado. Se pueden obtener soluciones
  particulares asignando valores arbitrarios a una de las
  incógnitas para hallar las otras mediante
  sustitución regresiva (Bronson, 1991).

Por ejemplo:

• A veces, se construyen sistemas de ecuaciones en los
  cuales ciertos coeficientes o términos independientes
  no tiene un valor fijo predeterminado, sino que son
  parámetros y se pide estudiar el sistema (discutir el
  sistema) para todos los valores posibles de dichos
  parámetros.

El objetivo del sistema escalonado es tener una manera
más cómoda de obtener su resolución y en
consecuencia del sistema de ecuaciones originalmente planteado.
La eliminación gaussiana es muy a menudo programada para
ser utilizada por la computadora, de tal modo que conduzca al
menor error por concepto del redondeo de fracciones. Otra
propiedad del sistema escalonado es que dada una matriz
cualquiera A, existen matrices F y U tales
que FA = U, siendo U una matriz escalonada.
Por ejemplo:

Estrategias del
Pivoteo

Durante la transformación de una matriz
rectangular a la forma de filas reducidas, es aconsejable
ajustarse a las siguientes reglas:

• Se trabaja con referencia a las columnas, es decir
  de izquierda a derecha

• Normalmente, el primer pivote esperado es la unidad
  en la posición (1.1). Para ello, se examinan todos los
  elementos constituyentes de la primera columna y se prefiere
  transformar la matriz para colocar como primera fila a
  aquella que contiene el valor mas alto de la primera columna.
  Obviamente, el paso siguiente será dividir dicha
  primera por tal valor mas alto para que el primer pivote
  tenga el valor unitario.

• En aquellos casos de la primera fila presentar
  varios valores unitarios (en el caso de la matriz Ab,
  las columnas 2 y 3) se prefiere tomar aquella (columna3) con
  menor suma de razones respecto del elemento mayor de su
  propia fila, ignorando la última columna, o respecto
  del elemento de su fila contenido por la columna a sustituir
  (pivoteo escalonado). En este caso, del intercambio, la
  primera columna pasa a ser tercera y la tercera pasa a
  segunda.

• Una vez que la primera columna tenga la forma
  apropiada, ningún nuevo pivote podrá partir de
  esta misma primera fila, ni una vez que la segunda columna
  haya adquirido la forma apropiada, ningún otro pivote
  puede proceder de esta segunda fila y, así
  sucesivamente.

• El segundo pivote esperado es la unidad en la
  posición (2.2). Para ello se examinan todos los
  elementos de la segunda columna por debajo de la segunda fila
  y se prefiere transformar la matriz para colocar en la
  posición del segundo pivote al valor más alto.
  Obviamente, el siguiente paso será dividir dicha
  segunda fila por el valor más alto para que el segundo
  pivote tenga el valor unitario (pivoteo parcial).

• Antes de considerar cualquier otra columna, debe
  haberse completado la transformación de la columna
  anterior.

• Todos los coeficientes de la primera columna son
  positivos (pivoteo total). En cada paso nos movemos hacia
  abajo y hacia la derecha para seleccionar el nuevo pivote.
  Cuando no haya términos que eliminar por debajo del
  nuevo pivote, termina el proceso. En este punto decimos que
  hemos escalonado el sistema.

La
combinación de vectores

Definición 11.- Un vector Vij es una
combinación lineal de otros vectores Vmn, de su misma
dimensión, si existen las escalares u1, u2,…, un; tales
que:

Vij = u1 (V1.1 + V2.1 …..+Vm.1) +
u2 (V12 + V2.2 …+Vm.2 ) …+un(V1.n +
V2.n…+Vm.n)

Definición 12.- Un conjunto de vectores Vij de la
misma dimensión es linealmente dependiente, o que forma un
sistema básico o ligado, si existen, no todas nulas, las
escalares a1, a2,…, an; tales que:

a1 (V1.1 + V2.1 …..+Vm.1) + a2
(V12 + V2.2 …+Vm.2 ) …+an(V1.n + V2.n…+Vm.n) =
0

En el evento de existir la condición nula en la
que a1= a2=… an = 0; se dice que tal conjunto finito de
vectores es linealmente independiente, o que forma un sistema
libre.

Aunque hasta ahora, solo hemos trabajado con vectores
columnas, igualmente, estas definiciones son aplicables a los
vectores fila, cuya notación sería.

Hij = a1 (H1.1 + H1.2 …..+H1.m) +
a2 (H2.1 + H2.2 …+H2.m ) …+an(Hn.1 +
Hn.2…+Hm.n)

Por ejemplo, si queremos establecer si el vector fila
(1, 2, 3) es combinación lineal de los vectores (2, 4, 0)
y (0, 0, 1), procedemos del siguiente modo:

El sistema será una combinación lineal si
entre ellos guardan dependencia lineal y, esto será
así, cuando se cumpla:

a1 (1, 2, 3) + a2 (2, 4, 0) + a3 (0, 0,
1) = 0

cuya resolución nos conduce a
que:

a1 = -1; a2 =½; a3 = 3

O también, el sistema no será
una combinación lineal si entre ellos son linealmente
independientes y, ello será así, cuando:

a1= a2=… an = 0

En ocasiones, existe una sola respuesta, como
sería el caso en el que se desea saber si los vectores
fila (1, 2) y (3, 4) son combinación lineal, pues
allí tendríamos el siguiente desarrollo:

a1 (1, 2) + a2 (3, 4) = (0, 0)

(a1, 2a1) + (3a1, 4a2) = (0,
0)

[(a1 + 3a2), (2a1 + 4a2)] = (0,
0)

a1 + 3a2 = 0

2a1 + 4a2 = 0

cuya eliminación gaussiana nos
conduce a la solución única a1 = a2 = 0; por lo
tanto, el sistema es linealmente independiente

Definición 13- El rango columna de una matriz es
el número máximo de columnas linealmente
independientes, considerando cada vector columna por separado.
Análogamente, el rango fila de una matriz es el
número máximo de vectores diferentes de cero, o
linealmente independientes, que pueden ser formados entre las
filas de tal matriz, considerando cada vector fila por
separado.

El rango fila y el rango columna de una matriz son
iguales, sin embargo, es mas fácil obtener el rango fila
de una matriz porque solo hay que mirar el primer elemento
distinto de cero en las filas de una matriz escalonada, el cual
debe ser la unidad. En el caso de la lectura de las columnas, no
debe incluirse la última columna o de los términos
independientes.

Existe una relación entre el número (n) de
incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales
simultáneas, el rango (r) de la matriz ampliada del
sistema y el número (k) de incógnitas arbitrarias
tomadas como base para considerar las soluciones del sistema,
esto es: n – r = k

El valor mínimo de k es cero, pues en el caso
más general, k = 0. Cuando el rango de una matriz es igual
al número de incógnitas del sistema, el sistema es
consistente, presenta una solución única sin ser
ninguna incógnita arbitraria y se dice que tal conjunto de
vectores es linealmente independiente. Cuando el rango de una
matriz es menor que el número de incógnitas, el
sistema es inconsistente, la solución estará en
términos de infinitas incógnitas arbitrarias
incluida la solución trivial y se dice que tal conjunto de
vectores es linealmente dependiente.

Veamos algunos ejemplos:

Definición 14.- Si B se obtiene de
A por una transformación elemental entonces, tiene
rango idéntico al de la matriz original

r(B) = r(A)

Ilustremos esta propiedad mediante el siguiente ejemplo:
Sería posible escribir al vector (1, 1)T como una
combinación de los vectores (3, 6)T y (2, 4)T?. Discutir
la compatibilidad del sistema.

Matriz escalonada
reducida por filas

Hemos visto que los sistemas de ecuaciones lineales
simultáneas de solución única, la
eliminación gaussiana conduce a una reducción de
Ab, en matriz triangular en las que las posiciones pivote
están localizadas sobre la diagonal principal.

En el caso más general, la búsqueda de
soluciones al sistema consiste en tratar de llevar un
número no nulo (convertible en unitario) como
posición pivote. La regla general dice que cuando
algún pivote a utilizar sea cero, deberemos intercambiar
las filas utilizando la operación E1. Otra regla dice que
nunca deberá utilizarse una operación que cambie
algún cero obtenido en una columna previamente
transformada. Sin embargo, para la utilización
práctica de los sistemas parametrizados, indeterminados e
incompatibles, no es posible triangulizar el escalonamiento de
los sistemas rectangulares de ecuaciones.

Tendremos entonces que modificar el procedimiento de la
eliminación gaussiana, admitiendo alternativamente un tipo
triangularizado de filas intercaladas por pivotes
nulos.

Por ejemplo, sea la matriz escalonada en la que puede
verse adquiere un cero en la posición (2,2), proseguimos
con algunos cambios posibles en las filas:

En el último paso de la Matriz escalonada UA, la
presencia de una fila de ceros en un sistema de ecuaciones
asociados en filas reducidas, significa que existen dos
ecuaciones proporcionales entre si.

En cuanto a la preparación de la Matriz
escalonada por filas EA, debemos interpretar cada fila de
una matriz como un vector fila, de tal modo que las operaciones
elementales en la que los vectores filas están siendo
multiplicados por cantidades escalares y luego sumados para
transformar la fila son vistas como operaciones de
combinación lineal.

Se ha buscado que todas las entradas por debajo de los
pivotes nulos (columnas 2 y 4) y por encima de los pivotes no
nulos unitarios (columnas 3 y 5), sean nulas. Precisamente, por
la presencia de tal número reducido de entradas no nulas,
esta matriz (EA) recibe el nombre de Matriz escalonada
reducida por filas, o también método de
Gauss-Jordan. La utilidad de la matriz (EA) reside en su
habilidad para revelar las dependencias entre los datos
almacenados.

• En el conjunto de vectores r, s,…..z de la matriz
  EA pueden distinguirse dos grupos, aquellos que
  corresponden a columnas con pivotes unitarios que llamaremos
  "incógnitas básicas" y las restantes
  correspondientes a las columnas sin pivotes que llamaremos
  "incógnitas libres". Al número de
  incógnitas libres también se les denomina
  "grados de libertad".

• En las columnas básicas de las formas
  escalonadas reducidas por filas solo el valor unitario es el
  pivote, el resto está formado por ceros, por lo tanto,
  en el caso que nos ocupa, las tres columnas básicas
  son E*1, E*3 y E*5

• Las columnas libres pueden expresarse como una
  combinación lineal de las columnas básicas
  situadas a su izquierda. Si E*k es una columna libre
  de la matriz (EA), en notación, tendremos: E*k
  = u1.E*b1 + u2.E*b2 +…..uj.E*bj

• Las relaciones que existan entre las columnas de
  A son exactamente las mismas relaciones que existen
  entre las columnas de (EA). En particular, si A*k es
  una columna libre de A, entonces tendremos: A*k = u1.A*b1 +
  u2.A*b2 +…..uj.A*bj

Referencias

BRONSON Richard. Matrix methods: An introduction.
2ª Ed. San Diego: Academic Press. 1994. p. 503

HILLIER, F. Y HILLIER, M.. (2010). Métodos
cuantitativos para administración. 3ª Ed.
México: McGraw Hill.

RENDER F., STAIR R., HANNA M.. (2010). Métodos
cuantitativos para los negocios. 9ª Ed.. México:
Pearson- Prentice Hall.

SHANK , J. (1972). Matrix methods in accounting. Boston:
Addison Wesley

THIERAUF R. (1995) Toma de decisiones por medio de I.O..
México: Limusa.

Autor:

Samuel Pérez Grau