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La Eliminación Gaussiana

Enviado por Samuel Pérez Grau



  1. Estrategias del Pivoteo
  2. La combinación de vectores
  3. Matriz escalonada reducida por filas
  4. Referencias

El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales simultaneas está ligado íntimamente al estudio de las matrices rectangulares de números, definidas por el arreglo de los coeficientes de dichas ecuaciones.

Definición 1.- Una matriz es una tabla de "mxn" elementos dispuestos en "m" filas y "n" columnas.

Definición 2.- Se llama matriz diagonal a aquella matriz cuadrada cuyos elementos no diagonales son todos nulos:

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Definición 3.- Se llama matriz escalar a aquella matriz diagonal cuyos elementos diagonales son todos iguales:

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Definición 4. La suma de matrices se efectúa mediante la adición de los correspondientes elementos individuales.

Ejemplo: Conociendo las matrices S, B y C, hallar

D = S + B + C,

Solución: Lo primero que debe hacerse es organizar los datos en forma matricial:

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Ahora, para hallar la suma de las tres matrices, tendremos:

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De lo anterior, puede deducirse:

  • que solo pueden ser sumadas matrices que tengan la misma dimensión. En consecuencia, la suma y resta de matrices con dimensiones desiguales, no está definida.

  • es posible sumar y restar más de dos matrices de iguales dimensiones, simplemente efectuando estas operaciones por pares, esto es:

[ (S + B + C) - X ] = [ (B + C) + (S - X)] = [ (S + C) + (B - X)] = [ (S + B) + (C - X)]

Definición 5.- La multiplicación de matrices solamente está definida si en cada producto posible el numero de columnas de la matriz de la izquierda, es igual al número de filas de la matriz de la derecha" (Thierauf, 1995).

considerando, por ejemplo, el siguiente producto de matrices, se observa que

"si el producto PT.p = V es definido, siendo V denotado como [vij], entonces cada elemento vij se obtiene mediante la suma de los productos que resultan de la multiplicación del elemento en la fila i-ésima de P por el correspondiente elemento en la columna j-ésima de p".

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Definición 6.- Dado el sistema Ax = b, la matriz del sistema dado, designada por Ab y llamada también matriz ampliada, es una matriz que se obtiene a partir de A agregándole una columna extra, denominada "b".

Consideremos por ejemplo, el siguiente caso de un sistema de tres ecuaciones:

"Tres apostadores en maquinitas de juegos de azar manifiestan haber ganado. El primero dice que el duplo de lo que él ha ganado con lo de los otros dos arroja la cifra de 3 unidades. El segundo dice que lo que él ha ganado excede a la suma del triplo del anterior con el duplo del tercero en seis unidades. El tercero afirma que la suma del duplo del primero con el cuádruplo del segundo excede en dos unidades al triplo de lo que ha ganado. Se quiere saber cuánto ha ganado cada uno".

Describiendo el sistema en la forma de tres ecuaciones lineales simultáneas, tendremos:

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cuya representación matricial es:

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y su representación como matriz ampliada, será:

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Definición 7.- Se denominan Transformaciones Elementales a aquellas operaciones que se realizan con matrices para modificar, en determinadas formas, los elementos de una fila o una columna de la matriz.

Entre los métodos de solución algebraica de los sistemas de ecuaciones existen tres transformaciones elementales que alteran las ecuaciones pero no cambian las soluciones, es decir que transforman el sistema dado en otro sistema equivalente. Estas operaciones son:

Fij : Intercambiar la posición de fila "i" de una matriz A por la posición de fila "j".

Fi (a): Multiplicar la fila "i" por una escalar alfa distinta de cero

Fij (a): Sumar a la fila "i" de una matriz A la fila "j" multiplicada por una escalar alfa.

Si establecemos estas mismas operaciones referidas a una matriz escalonada reducida por filas, se obtienen las operaciones de fila elementales:

(E1 ): Intercambiar dos filas cualesquiera de una matriz escalonada reducida por filas (EA).

(E2 ): Multiplicar cualquier fila de una matriz por una escalar diferente de cero

(E3 ): Sumar a una fila de una matriz otra fila multiplicada por una escalar diferente de cero.

Definición 8.- Toda transformación puede representarse como el producto por la izquierda de la matriz asociada de la transformación elemental fila por la matriz original, o del producto por la derecha de la transformación elemental columna por la matriz original. Sea por ejemplo:

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entonces, en notación, la operación de transformación elemental fila en la que han permutado la primera fila y la segunda fila, será:

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Igualmente, la operación de transformación elemental columna en la que se han permutado la primera columna por la tercera columna de la matriz Ab y, la segunda columna por la tercera, se debe hacer en dos pasos elementales, a saber:

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La transformación elemental en la que se multiplican la segunda y la tercera filas de la matriz Ab por una escalar (-1) diferente de cero, también se debe hacer en mas de un paso, a saber:

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La transformación elemental en la que se suma a una fila de una matriz otra fila multiplicada por una escalar será:

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Definición 9.- Un sistema de ecuaciones lineales simultaneas se llama "escalonado o reducido" si la matriz del sistema cumple que:

  • Todos los elementos por debajo de los aij son nulos.

  • El primer elemento no nulo de cada fila, llamado "pivote", está a la derecha del primer elemento diferente de cero de la fila anterior.

  • Cualquier fila formada únicamente por ceros esta bajo todas las filas con elementos diferentes de cero.

Definición 10.- La eliminación gaussiana es un algoritmo que transforma sucesivamente un sistema de ecuaciones lineales simultáneas en otro equivalente, hasta obtener al final un sistema escalonado fácilmente resoluble. Los pasos a seguir en la eliminación gaussiana son:

  • Localizamos el primer elemento no nulo en la primera columna no nula del sistema.

  • Tomamos como primer pivote aquella columna con menor valor no nulo.

  • Eliminamos todos los términos debajo del pivote

  • Seleccionamos un nuevo pivote.

Ahora ilustramos este procedimiento en forma numérica, a partir de la matriz Ab modificada, esto es:

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en la que las transformaciones elementales han dado lugar a la necesidad de una reasignación del nombre de las variables, de tal modo que z = r, x = s, y = t para efectos de conservar un ordenamiento alfabético de las columnas. Continuamos, pues, con las transformaciones elementales en las que se suman a las filas otra fila multiplicada por una escalar:

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Un sistema escalonado triangular, como el que hemos obtenido, se resuelve muy fácilmente mediante el método de sustitución, en el que la ultima ecuación se resuelve para la ultima incógnita y se sustituye hacia atrás en la penúltima ecuación, la cual se vuelve a resolver para la penúltima incógnita y, continuamos así hasta llegar a la primera ecuación, eso es:

r + 2s + t = 3

s + 3t = 12

t = 5

la tercera ecuación está resuelta para t=5, luego en la segunda tenemos s = -3, para finalmente hallar en la primera r= 4.

En la búsqueda de solución al sistema escalonado obtenido, nos podríamos encontrar con las siguientes situaciones:

  • Que se trate de un sistema en el que el numero de pivotes coincide con el numero de incógnitas y, en consecuencia, el sistema tiene solución única. La solución se obtiene por sustitución regresiva empezando por la ultima ecuación hasta llegar a la primera.

  • Que se trate de un sistema "inconsistente" o "incompatible" con todos sus elementos no nulos menos uno, dando lugar a alguna ecuación absurda de la forma 0 = b, con b distinto de cero. En estos sistemas no existe solución pues resulta imposible asignar valores a las incógnitas para hacer verdadera la ecuación absurda (Bronson, 1991).

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  • Que se trate de un sistema cuyo número de pivotes sea menor que el número de incógnitas por lo tanto tal sistema tendrá infinitas soluciones y se dice que es indeterminado. Se pueden obtener soluciones particulares asignando valores arbitrarios a una de las incógnitas para hallar las otras mediante sustitución regresiva (Bronson, 1991).

Por ejemplo:

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  • A veces, se construyen sistemas de ecuaciones en los cuales ciertos coeficientes o términos independientes no tiene un valor fijo predeterminado, sino que son parámetros y se pide estudiar el sistema (discutir el sistema) para todos los valores posibles de dichos parámetros.

El objetivo del sistema escalonado es tener una manera más cómoda de obtener su resolución y en consecuencia del sistema de ecuaciones originalmente planteado. La eliminación gaussiana es muy a menudo programada para ser utilizada por la computadora, de tal modo que conduzca al menor error por concepto del redondeo de fracciones. Otra propiedad del sistema escalonado es que dada una matriz cualquiera A, existen matrices F y U tales que FA = U, siendo U una matriz escalonada. Por ejemplo:

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Estrategias del Pivoteo

Durante la transformación de una matriz rectangular a la forma de filas reducidas, es aconsejable ajustarse a las siguientes reglas:

  • Se trabaja con referencia a las columnas, es decir de izquierda a derecha

  • Normalmente, el primer pivote esperado es la unidad en la posición (1.1). Para ello, se examinan todos los elementos constituyentes de la primera columna y se prefiere transformar la matriz para colocar como primera fila a aquella que contiene el valor mas alto de la primera columna. Obviamente, el paso siguiente será dividir dicha primera por tal valor mas alto para que el primer pivote tenga el valor unitario.

  • En aquellos casos de la primera fila presentar varios valores unitarios (en el caso de la matriz Ab, las columnas 2 y 3) se prefiere tomar aquella (columna3) con menor suma de razones respecto del elemento mayor de su propia fila, ignorando la última columna, o respecto del elemento de su fila contenido por la columna a sustituir (pivoteo escalonado). En este caso, del intercambio, la primera columna pasa a ser tercera y la tercera pasa a segunda.

  • Una vez que la primera columna tenga la forma apropiada, ningún nuevo pivote podrá partir de esta misma primera fila, ni una vez que la segunda columna haya adquirido la forma apropiada, ningún otro pivote puede proceder de esta segunda fila y, así sucesivamente.

  • El segundo pivote esperado es la unidad en la posición (2.2). Para ello se examinan todos los elementos de la segunda columna por debajo de la segunda fila y se prefiere transformar la matriz para colocar en la posición del segundo pivote al valor más alto. Obviamente, el siguiente paso será dividir dicha segunda fila por el valor más alto para que el segundo pivote tenga el valor unitario (pivoteo parcial).

  • Antes de considerar cualquier otra columna, debe haberse completado la transformación de la columna anterior.

  • Todos los coeficientes de la primera columna son positivos (pivoteo total). En cada paso nos movemos hacia abajo y hacia la derecha para seleccionar el nuevo pivote. Cuando no haya términos que eliminar por debajo del nuevo pivote, termina el proceso. En este punto decimos que hemos escalonado el sistema.

La combinación de vectores

Definición 11.- Un vector Vij es una combinación lineal de otros vectores Vmn, de su misma dimensión, si existen las escalares u1, u2,..., un; tales que:

Vij = u1 (V1.1 + V2.1 …..+Vm.1) + u2 (V12 + V2.2 ...+Vm.2 ) …+un(V1.n + V2.n...+Vm.n)

Definición 12.- Un conjunto de vectores Vij de la misma dimensión es linealmente dependiente, o que forma un sistema básico o ligado, si existen, no todas nulas, las escalares a1, a2,..., an; tales que:

a1 (V1.1 + V2.1 …..+Vm.1) + a2 (V12 + V2.2 ...+Vm.2 ) …+an(V1.n + V2.n...+Vm.n) = 0

En el evento de existir la condición nula en la que a1= a2=... an = 0; se dice que tal conjunto finito de vectores es linealmente independiente, o que forma un sistema libre.

Aunque hasta ahora, solo hemos trabajado con vectores columnas, igualmente, estas definiciones son aplicables a los vectores fila, cuya notación sería.

Hij = a1 (H1.1 + H1.2 …..+H1.m) + a2 (H2.1 + H2.2 ...+H2.m ) …+an(Hn.1 + Hn.2...+Hm.n)

Por ejemplo, si queremos establecer si el vector fila (1, 2, 3) es combinación lineal de los vectores (2, 4, 0) y (0, 0, 1), procedemos del siguiente modo:

El sistema será una combinación lineal si entre ellos guardan dependencia lineal y, esto será así, cuando se cumpla:

a1 (1, 2, 3) + a2 (2, 4, 0) + a3 (0, 0, 1) = 0

cuya resolución nos conduce a que:

a1 = -1; a2 =½; a3 = 3

O también, el sistema no será una combinación lineal si entre ellos son linealmente independientes y, ello será así, cuando:

a1= a2=... an = 0

En ocasiones, existe una sola respuesta, como sería el caso en el que se desea saber si los vectores fila (1, 2) y (3, 4) son combinación lineal, pues allí tendríamos el siguiente desarrollo:

a1 (1, 2) + a2 (3, 4) = (0, 0)

(a1, 2a1) + (3a1, 4a2) = (0, 0)

[(a1 + 3a2), (2a1 + 4a2)] = (0, 0)

a1 + 3a2 = 0

2a1 + 4a2 = 0

cuya eliminación gaussiana nos conduce a la solución única a1 = a2 = 0; por lo tanto, el sistema es linealmente independiente

Definición 13- El rango columna de una matriz es el número máximo de columnas linealmente independientes, considerando cada vector columna por separado. Análogamente, el rango fila de una matriz es el número máximo de vectores diferentes de cero, o linealmente independientes, que pueden ser formados entre las filas de tal matriz, considerando cada vector fila por separado.

El rango fila y el rango columna de una matriz son iguales, sin embargo, es mas fácil obtener el rango fila de una matriz porque solo hay que mirar el primer elemento distinto de cero en las filas de una matriz escalonada, el cual debe ser la unidad. En el caso de la lectura de las columnas, no debe incluirse la última columna o de los términos independientes.

Existe una relación entre el número (n) de incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, el rango (r) de la matriz ampliada del sistema y el número (k) de incógnitas arbitrarias tomadas como base para considerar las soluciones del sistema, esto es: n - r = k

El valor mínimo de k es cero, pues en el caso más general, k = 0. Cuando el rango de una matriz es igual al número de incógnitas del sistema, el sistema es consistente, presenta una solución única sin ser ninguna incógnita arbitraria y se dice que tal conjunto de vectores es linealmente independiente. Cuando el rango de una matriz es menor que el número de incógnitas, el sistema es inconsistente, la solución estará en términos de infinitas incógnitas arbitrarias incluida la solución trivial y se dice que tal conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Veamos algunos ejemplos:

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Definición 14.- Si B se obtiene de A por una transformación elemental entonces, tiene rango idéntico al de la matriz original

r(B) = r(A)

Ilustremos esta propiedad mediante el siguiente ejemplo: Sería posible escribir al vector (1, 1)T como una combinación de los vectores (3, 6)T y (2, 4)T?. Discutir la compatibilidad del sistema.

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Matriz escalonada reducida por filas

Hemos visto que los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas de solución única, la eliminación gaussiana conduce a una reducción de Ab, en matriz triangular en las que las posiciones pivote están localizadas sobre la diagonal principal.

En el caso más general, la búsqueda de soluciones al sistema consiste en tratar de llevar un número no nulo (convertible en unitario) como posición pivote. La regla general dice que cuando algún pivote a utilizar sea cero, deberemos intercambiar las filas utilizando la operación E1. Otra regla dice que nunca deberá utilizarse una operación que cambie algún cero obtenido en una columna previamente transformada. Sin embargo, para la utilización práctica de los sistemas parametrizados, indeterminados e incompatibles, no es posible triangulizar el escalonamiento de los sistemas rectangulares de ecuaciones.

Tendremos entonces que modificar el procedimiento de la eliminación gaussiana, admitiendo alternativamente un tipo triangularizado de filas intercaladas por pivotes nulos.

Por ejemplo, sea la matriz escalonada en la que puede verse adquiere un cero en la posición (2,2), proseguimos con algunos cambios posibles en las filas:

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En el último paso de la Matriz escalonada UA, la presencia de una fila de ceros en un sistema de ecuaciones asociados en filas reducidas, significa que existen dos ecuaciones proporcionales entre si.

En cuanto a la preparación de la Matriz escalonada por filas EA, debemos interpretar cada fila de una matriz como un vector fila, de tal modo que las operaciones elementales en la que los vectores filas están siendo multiplicados por cantidades escalares y luego sumados para transformar la fila son vistas como operaciones de combinación lineal.

Se ha buscado que todas las entradas por debajo de los pivotes nulos (columnas 2 y 4) y por encima de los pivotes no nulos unitarios (columnas 3 y 5), sean nulas. Precisamente, por la presencia de tal número reducido de entradas no nulas, esta matriz (EA) recibe el nombre de Matriz escalonada reducida por filas, o también método de Gauss-Jordan. La utilidad de la matriz (EA) reside en su habilidad para revelar las dependencias entre los datos almacenados.

  • En el conjunto de vectores r, s,.....z de la matriz EA pueden distinguirse dos grupos, aquellos que corresponden a columnas con pivotes unitarios que llamaremos "incógnitas básicas" y las restantes correspondientes a las columnas sin pivotes que llamaremos "incógnitas libres". Al número de incógnitas libres también se les denomina "grados de libertad".

  • En las columnas básicas de las formas escalonadas reducidas por filas solo el valor unitario es el pivote, el resto está formado por ceros, por lo tanto, en el caso que nos ocupa, las tres columnas básicas son E*1, E*3 y E*5

  • Las columnas libres pueden expresarse como una combinación lineal de las columnas básicas situadas a su izquierda. Si E*k es una columna libre de la matriz (EA), en notación, tendremos: E*k = u1.E*b1 + u2.E*b2 +.....uj.E*bj

  • Las relaciones que existan entre las columnas de A son exactamente las mismas relaciones que existen entre las columnas de (EA). En particular, si A*k es una columna libre de A, entonces tendremos: A*k = u1.A*b1 + u2.A*b2 +.....uj.A*bj

Referencias

BRONSON Richard. Matrix methods: An introduction. 2ª Ed. San Diego: Academic Press. 1994. p. 503

HILLIER, F. Y HILLIER, M.. (2010). Métodos cuantitativos para administración. 3ª Ed. México: McGraw Hill.

RENDER F., STAIR R., HANNA M.. (2010). Métodos cuantitativos para los negocios. 9ª Ed.. México: Pearson- Prentice Hall.

SHANK , J. (1972). Matrix methods in accounting. Boston: Addison Wesley

THIERAUF R. (1995) Toma de decisiones por medio de I.O.. México: Limusa.

 

 

Autor:

Samuel Pérez Grau

 


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