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La integral definida en forma manual y con GeoGebra






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?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??+1 1 ?? LA INTEGRAL DEFINIDA Geométricamente la integración, surgió de la necesidad de calcular áreas de superficies limitadas por curvas. El área bajo la curva y = f(x) entre los intervalos a y b es: Á?????? = ??? ?? ·? ?? ? Á?????? = ??? ??(??) ·? ?? ?? Á?????? = lim ??? ??(??) ? ?? ó también Á?????? = ? ??(??)???? ????0 Por lo que si f es una función definida en un intervalo cerrado [??, ??], la integral definida es: ?? ?? ? ??(??)???? = ?????? ? ??(??) ? ?? = ??(??) - ??(??) ?????? ?? A la expresión anterior se la conoce como Teorema Fundamental del Cálculo LEYES BÁSICAS 1) Para c contante ?? ? ?????? = ??(?? - ??) ?? ?? ?? ? ????(??)???? ??? ? ??(??)???? ?? ?? ?? ?? ?? 2) ? [??(??) ± ??(??)]???? = ? ??(??)???? ± ? ??(??)???? ?? ?? ?? 3) ? ??(?? )???????(??)]?? ???(??) - ??(??) ?? 4) ? ?? ????? ] ? ?? ?? + 1 ?? ?? + 1 ?? ?? 5) ? ??(??)????? [? ??(??)????] (????+1 - ????+1 ) ?? ??

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0 1 ?? 3 3 -3 =? -3 2 3 -3 2 3 2 Ejemplos ilustrativos Calcular y realizar una gráfica empleando algún medio tecnológico. 1 1) ? (?? 2 - 2?? + 3)???? ?? 3 ?? 2 ?? 3 = ( 3 - 2. 2 + 3??) = ( 3 - ?? 2 + 3??)0 = ?? 3 = ( 3 . 02 + 3. 0) 1 = 3 -1+3 1 = 3 +2 7 = 3 . (1)2 + 3. 1 -2 2) ? ??(?? + 2)2 ???? -3 -2 ??(?? 2 + 4?? + 4)???? = ? (?? 3 + 4?? 2 + 4??)???? -2 ?? 2 4?? 3 4?? 2 =[ + + ] 2 -3 ?? 2 ?? 3 = [ + 4 + 2?? 2 ] -3 4(-2)3 = (-2) + +2 3 -3 (-3)4 (-2)2 - [ 4 +4 (-3)3 3 + 2(-3)2 ] 32 81 11 - 4 - 3 + 8 + 4 + 36 - 18 = 12

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1 1 8 1 3 1/ 3 1 1 3 3 4 2 3 3 4 4 2 -2/ 4 2 3 2 2 4 3 4/ 5) ? (?? 3 - ?? -3 ) ????= ? ?? 1/ ???? = ? ?? - ???? ?? /3+1 ?? - /3+1 = ( - ) 4/ 2/ ?? /3 ?? - /3 = ( - ) 4/ 2/ = (3 ?? /3 - 3 ?? 3 ) = ( (8) 3 - (8) /3 ) - ( (1) /3 - (1) /2 ) 3 3 4 3 3 3 3 3 = . 16 - . 4 - ( . 1 - . 1) 4 2 4 2 3 3 = 12 – 6 - 4 + 2 27 = 4

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?? ÁREA COMO INTEGRAL DEFINIDA Caso Nº 1 Si f es función continua en el intervalo cerrado ?a,b? tal que f(x) ? 0, ?x ??a,b?; el área de la región R limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b, está dado por la expresión ?? ??(??) = ? ??(??)???? Nota: Si f es función continua en el intervalo cerrado ?a,b? tal que f(x) ? 0, ?x ??a,b?; el área de la región R limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b, está dado por la expresión ?? ??(??) = |? ??(??)????| ??

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?? Si la región R es limitada por la curva x = g(y) y las retas y = c, y =d, entonces el área de la región R es expresado por: ?? ??(??) = ? ??(??)???? ?? Caso Nº 2 Si f y g son funciones continuas en el intervalo cerrado ?a,b? tal que f(x) ? g(x), ?x ??a,b?; el área de la región R limitada por las curvas y = f(x), y =g(x) y las rectas x=a y x=b, está dado por la expresión ?? ??(??) = ? (??(??) - ??(??))???? ?? Nota: Si g y h son funciones continuas en el intervalo cerrado ?a,b? tal que g(y) ? h(y),?y ??a,b?; el área de la región R limitada por las curvas x = g(y) y x =h(y) y las rectas y=c , y=d, está dado por la expresión ?? ??(??) = ? (??(??) - h(??))????

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{ 2 2 ) 2 -1 Ejemplos ilustrativos Calcular el área limitada por las siguientes funciones 1) ?? = 3 - ?? 2 ; ?? = 1 - ?? Resolviendo el sistema ?? = 3 - ?? 2 ?? = 1 - ?? Se obtiene ??1 = 2; ??2 = -1 Aplicando ?? ??(??) = ? (??(??) - ??(??))???? ?? ?(3 - ?? - (1 - ??)???? = ?(3 - ?? - 1 + ??)???? = ?(?? 2 ?? 3 - ?? - 2) ???? = ( + ?? 2 - 2) 3 23 = ( 3 - 22 2 - 2) - ( -13 3 - -12 2 8 4 1 1 8 3 - 2) = (3 - 2 - 2) - (- 3 - 2 - 2) = (3 - 2 - 2) - (-2 - 6 - 12) =( 8-12 3 17 4 ) - (- 6 ) = - 3 + 17 6 9 = 2 ??2

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2) ?? = ?? 3 + 3??2 + 2; ?? = ?? 3 + 6?? 2 - 25

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? ? y0 m0 ? 0 x0 m0 2 5 2 2 4 5 24 8 Aplicaciones en Administración y Economía Excedente del consumidor Es igual a x0 0 f ( x)dx ? x0 y0 donde y ? f ( x) es la función demanda O también es igual a g( y)dy , donde x ? g ( y) es la función de demanda Excedente del Productor Es igual a x0 y0 ? f ( x)dx , donde y ? f ( x) es la función de oferta O también es igual a x0 y0 ? ?y0 g ( y)dy , donde donde x ? g ( y) es la función de oferta Ingreso frente a Costo La utilidad máxima se determina igualando el ingreso marginal y el costo marginal y la ganancia total es la integral de la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal desde cero hasta la cantidad para el cual la utilidad es máxima Ejemplos ilustrativos 1) Si la función de demanda es y ? 39 ? x , hallar el excedente del consumidor si x0 ? . Realizar la gráfica respectiva manualmente y empleando el programa Graph o cualquier otro programa. 5 2 131 ??0 = 39 - ( ) = Excedente del consumidor ? (39 - ?? 2 )???? - ??0 ??0 = [39?? - ] - · = - 5 2 ?? 3 2 5 131 2215 655 ?? 3 0 2 4 = 10,41

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2 2 3 16 3 0 32 3 2) Las funciones de demanda y oferta en un mercado de competencia pura o libre son respectivamente y ? 14 ? x2 y y ? 2x2 ? 2 ; determinar el excedente del consumidor y del producto Calculando el punto de intersección entre las funciones se considera el punto (2,10) Excedente del consumidor ?? 3 8 ? (14 - ?? 2 )???? - ??0 ??0 = [14?? - ] - 2 · 10 = 28 - - 20 = ?? 3 0 Excedente del producto 2 ??0 ??0 - ? ?? 2?? 3 (2?? 2 + 2)???? = 2 · 10 - [ 3 2 16 + 2??] = 20 - ( + 4) = 3

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