La modelación gráfica. Un método para la resolución de problemas geométricos

La asignatura Matemática que tiene como objetivo
incorporar las habilidades matemáticas que amplíen
los procedimientos lógicos para el planteamiento y
solución de problemas prácticos, así entre
sus cuatro objetivos generales se plantea: Formular y resolver,
con los recursos de la matemática elemental, problemas
relacionados con el desarrollo político, económico
y social del país y del mundo así como con
fenómenos y procesos científicos- ambientales que
conduzcan a actitudes revolucionarias y responsables ante la
vida.

En nuestra sociedad, la enseñanza y el planteo de
la habilidad resolución de problemas geométricos
reviste una especial importancia debido al carácter
educativo que posee ocupa una parte importante de la
matemática escolar, especialmente de la secundaria
básica, constituye además uno de los factores
fundamentales que han hecho de la Matemática un cuerpo de
conocimientos en continua evolución. Es así como
buena parte del desarrollo de la Geometría está
ligado, en sus orígenes, a la necesidad de resolver
problemas de la agricultura y el diseño
arquitectónico

Sin embargo en observaciones a clases de
matemática, encuesta, entrevistas a profesores y alumnos"
se pudo detectar las siguientes dificultades:

• Los alumnos presentan dificultad en la
  orientación hacia el problema pues no son capaces de
  identificar lo conocido y lo desconocido ni relacionar los
  mismos con la figura de análisis.

• Los estudiantes no identifican los conceptos,
  propiedades y relaciones que se establecen en el
  círculo y la circunferencia.

• Los alumnos muestran dificultad a la hora de
  examinar y comparar sobre la base de representaciones
  visuales de figuras geométricas, reconocer y describir
  sus propiedades análogas, así como las
  diferentes entre sí.

• Los estudiantes muestran insuficiencias en el
  momento de buscar de manera independientemente las
  vías de solución y las dificultades presentes
  en los problemas presentados.

• En las visitas a clases se pudo constatar que en la
  misma predominan los ejercicios reproductivos.

• Los profesores no disponen de recursos
  metodológicos para orientar a los estudiantes en la
  resolución de problemas matemáticos.

En torno a la resolución de problemas
matemáticos muchos han sido los investigadores que han
aportado vías y métodos para enfrentarlo entre los
que se encuentran: Luís Campistrous, Celia Rizo, Alberto
F. Labarrere, y A. H. Shoenfeld, entre otros, para ellos el
hallazgo de nuevos problemas es una etapa cualitativamente
superior de los procesos de resolución de problemas, y
también un vehículo eficaz para potenciar el
aprendizaje de la Matemática, aunque han enmarcado sus
esfuerzos a la resolución de problemas
aritméticos.

Los resultado tanto positivos como negativos emanados de
las diferentes investigaciones valoradas anteriormente permiten
concluir que actuando sobre el proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática en secundaria básica
se puede erradicar muchos de los vicios y males que presentan los
alumnos en el momento de resolver un ejercicios. Por supuesto
ello posibilita delimitar que es este proceso quien tiene la
responsabilidad de dar una respuesta pertinente a las necesidades
que se le plantean al profesor para el desarrollo de un
pensamiento matemático en sus alumnos.

La habilidad
Resolver Problemas Matemáticos: una perspectiva desde el
aprendizaje desarrollador

La matemática tiene la tarea de trasmitirle a las
nuevas generaciones los conceptos, proposiciones, y
procedimientos básicos de esta ciencia, de modo que los
alumnos aprecien el valor y la utilidad de esta
información, y puedan comunicar sus razonamientos
matemáticos al acometer tareas en colectivo y adquieran
capacidades que les permitan aplicar la matemática en la
identificación, planteo y resolución de problemas
sin el cual pierde su sentido.

Luego la enseñanza de la matemática y
específicamente de la resolución de problemas
geométricos debe estar encaminada a estimular la zona de
desarrollo próximo en los estudiantes, lo cual
dependerá de los conocimientos y de las acciones que sea
capaz de lograr de manera independiente o con ayuda del profesor,
del grupo, de la familia o de la comunidad.

Las habilidades matemáticas expresan, por tanto,
no sólo la preparación del alumno para aplicar
sistemas de acciones (ya elaborados) inherentes a una determinada
actividad matemática, ellas comprenden la posibilidad y
necesidad de buscar y explicar ese sistema de acciones y sus
resultados, de describir un esquema o programa de
actuación antes y durante la búsqueda y la
realización de vías de solución de problemas
en una diversidad de contextos; poder intuir, percibir el posible
resultado y formalizar ese conocimiento matemático en el
lenguaje apropiado.

Realmente, en el proceso de
enseñanza-aprendizaje, se coincide con J. Zilberstein
(1999,), cuando expresa: "Como parte del contenido de la
enseñanza, la habilidad implica el dominio de las formas
de la actividad cognoscitiva, práctica y valorativa, es
decir, el conocimiento en acción" [1]Con el
propósito de precisar la definición de la habilidad
resolver problemas de Matemática se precisa como: proceso
que implica la realización de una secuencia o serie de
acciones para la obtención de una respuesta adecuada a una
dificultad con intención de resolverla, es decir, la
satisfacción de las exigencias (meta, objetivo) que
conducen a la solución del problema
matemático

Es decir es la construcción en el alumno, de los
modos de actuar y métodos de solución de problemas
utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos
matemáticos, en calidad de instrumentos, y las estrategias
de trabajo heurístico para la sistematización de
esos instrumentos en una o varias vías de
solución.

La habilidad para resolver problemas matemáticos,
en especial, no se puede formar a partir de la
ejemplificación o repetición de acciones ya
elaboradas previamente sin atender a cómo se han asimilado
y el nivel de significación que éstas tienen para
los alumnos atendiendo a sus experiencias, su disposición
hacia la actividad; de ahí la necesidad de enfocar como
parte de la formación de esta habilidad la etapa en que
transcurre la estructuración del sistema de conocimientos
(conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos) a
partir de situaciones – problemas.

La utilización de los errores cometidos por los
alumnos como fuente de nuevos aprendizajes, al trasformar la
ocasión, en una situación de reflexión
colectiva, ayuda a tomar conciencia de sus propios errores, y a
que exista más de un camino, para abordar el
análisis de las situaciones y tareas para resolver.
(Castellanos, 2002

La
resolución de problemas. Modelación
grafica.

En el proceso de solución de un problema
geométrico el alumno muestra el movimiento de su
análisis mediante el cambio del enunciado (esto explica la
gran relación entre pensamiento y lenguaje), pero el
movimiento de la síntesis lo refleja mediante una adecuada
modelación gráfica del problema, por lo que al
estimular y enseñar a los alumnos a graficar correctamente
situaciones geométricas, estamos haciendo una gran
contribución al desarrollo de su pensamiento en
general.

Resulta de mucha importancia en la asimilación de
procedimientos para la solución de problemas la
compresión por parte del alumno, de la relación
lógica existente entre los procedimientos y el problema, o
los tipos de problemas a los cuales se aplican

Un ejemplo que ilustra el planteamiento anterior puede
estar dado en que si en calidad de procedimiento de
solución se toma la construcción y la
aplicación de gráficos, resulta necesario mostrar
al alumno cómo en ellos se reproducen (se modelan), las
relaciones cuantitativas contenidas en el enunciado del problema,
es decir, que el gráfico no es más que una
construcción en la cual se plasman las relaciones entre
las magnitudes y sus valores, haciendo abstracción de todo
otro elemento innecesario a los efectos de la solución
matemática del problema.

La modelación gráfica al igual que la
teórica es una acción mental y como tal posibilita
al hombre, mediante análisis y abstracción, revelar
los rasgos y relaciones esenciales del objeto o fenómeno
que estudia y construir un modelo, con el cual puede operar
mental y prácticamente, revelando determinados
conocimientos que luego podrá generalizar. Este
fenómeno, como habilidad intelectual, puede desarrollarse
durante el proceso docente educativo de diferentes formas,
vinculadas estrechamente a los niveles de dominio de la misma: a
nivel reproductivo, productivo o creador.

Varios investigadores en nuestro país han
trabajado en la operacionalización de la habilidad
modelar, analizándola desde distintos ángulos en el
proceso de enseñanza – aprendizaje. Entre estos
trabajos tenemos los de Sergio León Lorenzo, quien ha
abordado la formación de acciones de modelación en
niños preescolares y operacionaliza la misma de la
siguiente forma (León, 1981). Aleida Márquez
plantea en la estructura de la habilidad de modelación el
siguiente sistema de acciones (Márquez A,
1993):

Para Luís Campistrous y Celia Rizo
operacionalizaron la habilidad modelar se encuentra dentro de un
procedimiento generalizado para la solución de problemas,
estas acciones son las siguientes (Campistrous, 1996):

Estas operacionalizaciones representan un instrumento
valioso en las manos de los docentes para el desarrollo de la
habilidad modelar en sus alumnos, no obstante algunas de ellas,
presentan limitaciones, por ejemplo, los trabajos de Campistrous
y Celia no incluyen la modelación de situaciones
geométricas, sino solamente aritméticas, a pesar de
la gran cantidad de problemas geométricos que se resuelven
en la escuela.

En la actualidad se exige en la escuela media que al
contenido matemático se llegue a través del
planteamiento y solución de problemas prácticos y
que los alumnos hagan esbozos de superficies como los de la
escuela, área de acampadas pioneriles, la ciudad, etc. es
decir, tienen que desarrollar la habilidad de modelar no solo en
situaciones relacionadas con la aritmética sino
también con las figuras y cuerpos
geométricos

De esta forma deben quedar claras en la mente del alumno
las principales características del objeto, es decir, debe
estar en condiciones de responder a la pregunta
¿cómo es?

Por lo que para esbozar una figura de análisis,
es necesario tener un conjunto de conocimientos de la
Geometría (figuras, cuerpos geométricos,
construcciones geométricas, etc.) y un conjunto de
habilidades (intelectuales y prácticas) que le permitan, a
partir de la imaginación, sintetizar en una figura una
situación dada y explicarla. Por ello, asegurar, que el
alumno tenga creadas estas condiciones, es un elemento
determinante en la consecución del objetivo de aprender a
modelar gráficamente.

También Luís Roberto Jardinot (en 1998) ha
establecidolos pasos a tener en cuenta para desarrollar la
modelación grafica como procedimiento, aspectos asumidos
por la presente tesis:

• Precisar la situación a modelar
  gráficamente.

• Identificar las características principales
  de los conceptos que se deben relacionar en el modelo
  gráfico.

• Relacionar los conceptos que participan en la
  situación.

• Ilustrar en un plano los conceptos y sus
  relaciones

• Representar los conceptos y las relaciones lo
  más cercanamente posible a lo dado en la
  situación (rectas paralelas que se observen paralelas,
  perpendiculares que se observen perpendiculares, figuras
  congruentes que se observen congruentes, etc.)

• Las dimensiones del esbozo deben ser adecuadas (que
  permitan realizar trazos auxiliares y
  descomposiciones.)

• Analizar la correspondencia entre la
  situación y la gráfica

Sistema de
Ejercicios

Ejercicio 1

En la circunferencia de centro O, A, B Y C son puntos de
la circunferencia. Indica si son verdaderas o falsas las
proposiciones siguientes y en caso de ser falsa
justifica.

Ejercicio 4

En una circunferencia de centro O; A, B, C, son puntos
de ella, AB diámetro, el arco BC=50 "

a) ¿Qué amplitud tiene el ángulo
COB?. Justifica

b) Clasifica el triángulo COB.
Justifica

Ejercicio 4

En una circunferencia de centro O, MN es
diámetro, P y Q son puntos de la circunferencia y el
<MQP= 40.

Selecciona la respuesta correcta y justifica

a) El triángulo MNP es: —– Acutángulo
—— obtusángulo —– rectángulo

b) La amplitud del <PMN es: ——- 40o —– 90 o
—— 50 o

Ejercicio 5

Los puntos M, N, P pertenecen a una circunferencia de
centro O, MN es su diámetro; SI en el triángulo MNP
conocemos que <PMN=3X+15o y <MNP=5X-5 o.

• a) Halla la amplitud del arco NP.

• b) Clasifica el triángulo MNP
  según la longitud de sus lados.

Ejercicio 6

El cuadrado MNPQ está inscrito en una
circunferencia de centro O, R pertenece al lado MN, de manera que
M, R, N son puntos alineados, MQ =7,0cm.

• a) Calcula la longitud de la diagonal
  NQ.

• b) Calcula la razón A es a B donde A:
  área del cuadrado y B: área del
  triángulo PQR.

Sugerencias del
sistema de ejercicios:

En el ejercicio 1 los estudiantes identificaran cada
elemento de la circunferencia, luego se familiarizaran con los
mismos, en el Ejercicio 2 los estudiantes deben modelar alguno de
sus elementos para solucionar el mismo, y en los ejercicios 3,4 5
y los estudiantes modelaran los mismos para llegar a la
solución, teniendo en cuenta conceptos, definiciones,
cálculo de ángulos y relaciones que se establecen
en la circunferencia y en la geometría plana. En el
ejercicio 5 se incluye además trabajo con variable; en el
ejercicio 6 deben modelar un cuadrado inscrito en una
circunferencia y a partir de la modelación para su
solución del ejercicio, aplicarán teorema de
Pitágora,calculo de área, así como
razón entre las áreas de figuras planas y trabajo
con magnitudes.

Conclusiones:

Su aplicación permitió elevar la
eficiencia en el desarrollo de la habilidad resolver problemas
geométricos, alcanzar alto niveles de actuación
productiva en los alumnos y la consolidación de
procedimientos didácticos metodológicas para
enfrentar, utilizando la modelación gráfica, la
solución de los problemas geométricos. Esta revela
un sistema de acciones, sustentada en una secuencia de pasos
contextualizados por el autor que permiten la dirección
del proceso en la resolución de problemas
geométricos. La aplicación permitió la
evaluación de la estrategia, constatándose
transformaciones evidentes en la identificación de los
conceptos, definiciones y propiedades de las figuras
geométricas, así como, una forma de pensar y de
proceder para conocer y resolver cualquier ejercicio y problemas
que abarcaban diferentes contenidos residuales de la
geometría plana.

BIBLIOGRAFÍA

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  dirección del proceso pedagógico /
  Fátima Advine Fernández, Ana M. González
  Soca, Silvia C. Recarey Fernández. – p. 80-101.
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• CAMPISTROUS PEREZ, L. RIZO CABRERA, C . Estrategias
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  Evento PEDAGOGIA '97. Ciudad de la Habana, 1997.

• —————————————-.. Aprende a
  resolver problemas aritméticos / Luis Campintrous
  Pérez, Celia Rizo Cabrera. La Habana. Ed. Pueblo y
  Educación, 1999.

• GARCÍA CAMPUZANO, LUIS La modelación
  teórica en la escuela. p. 43-47. En: Desafío
  Escolar. Año 2, vol.6. La Habana, oct.-dic.,
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• —————————————-.. La
  enseñanza y el aprendizaje de la resolución de
  problemas geométricos, un imperativo en la
  formación de los profesores generales integrales de
  Secundaria Básica. http// www.
  Cie.stgo.rimed.cu

• —————————————-.. La
  enseñanza problémica de la Matemática.
  Una concepción vigotskiana en la educación
  Matemática. (Curso 56) / Paul Torres Fernández.
  La Habana, 1997

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