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Pre-cálculo y límites. Aplicaciones del -Equation Grapher-




Partes: 1, 2, 3

  1. Introducción
  2. El producto cartesiano
  3. Relaciones y funciones con problemas resueltos
  4. Las funciones polinomiales
  5. El producto de un número por una función polinomial
  6. La multiplicación de funciones polinomiales
  7. Las funciones de grado 2 y gráficos
  8. Las funciones de tercer grado y gráficos
  9. Las operaciones y gráficos polinomiales
  10. Cofunciones
  11. Identidades trigonométricas fundamentales
  12. Las funciones seno coseno y tangente y gráficos
  13. La ley de los senos y la ley de los cosenos
  14. Ejercicios de evaluación
  15. El cálculo de límites
  16. Bibliografía

PRECÁLCULO es el texto de nivelación en matemática para el Postgrado Centroamericano en Estadística y Econometría Aplicada. Y del Postgrado en Matematica Aplicada a la Economía. IV Edicion 28 de Noviembre del 2007. Ediciones IICES CIMES . San Pedro Sula, Honduras C. A. Contiene aplicaciones a la economía y fisica.

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Introducción

El presente texto es del Postgrado Centroamericano en Estadística y Econometría Aplicada. Y es tambien para el Postgrado en Matematica Aplicada a la Economia Se pretende complementar los conocimientos algebraicos de los participantes del postgrado o egresados de educación media o superior interesados en incursionar en el área de la Matemática Aplicada a la Economía o a la física y que requieren reforzar sus conocimientos en la que puedan utilizar software especiales que les permita consolidar sus aplicaciones matemáticas.

Utilizaremos el demo "Equation Grapher", que contiene los análisis de funciones con "Cálculo Diferencial e Integral". Sin pérdida de generalidad el "demo" contiene lo básico del software dado que los elementos teóricos se complementan con este texto. Sin embargo el Participante puede comprar el programa completo, aproximadamente en 20 dólares. El "Equation Grapher". Es un paquete matemático que se puede adquirir vía internet.

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Los participantes pueden realizar cualquier gráfico de funciones, una vez que el Lector escribe la relación funcional, marca la tecla EXE y el gráfico se genera. En el volumen de matemática básica (volumen II) cubriremos el cáculo diferencial e integral.

Los estudiantes revisarán los conceptos básicos de la matemática de Educación Media hacia la Educación Superior reforzando sus conocimientos con la aplicación de paquetes matemáticos computarizados de tal manera puedan operar y visualizar los conceptos elementales del álgebra de los números reales, el álgebra de funciones, el álgebra lineal, el álgebra del cálculo diferencial e integral; en los tres volúmenes de matemática básica que el IICES e CIMES ha elaborado.

En esta primera carpeta de nivelación matemática del postgrado es un connjunto de cinco libros: "LOGICA MATEMATICA, CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMERICOS", "EL ESPACIO VECTORIAL Y ANILLO DE LOS POLINOMIOS", "GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA Y ANALITICA" , "PRECALCULO Y LIMITES", "CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL" Y "ALGEBRA LINEAL" con aplicaciones del Mathcad y el Excell. Los cinco libros son un enfoque intuitivo de la matemática respaldada por los software ya comentados, se demuestran algunos teoreama sin perder la rigurosidad abstracta respaldada con ejercicios resueltos del análisis matematico . Sin embargo en la bibliografía se presentan textos que son axiomáticos y que pueden favorecer el fortalecimiento de la lógica inductiva y deductiva del Lector o Estudiante..

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.

La Texas Instruments presenta harware para análisis de funciones y otras, ya sea que el Participante utilice el "Equation Grapher" o alguna microcomputadora de la "Texas Instruments" el resultado en cuanto aprendizaje es equivalente. El participante decide que paquete matemático puede utilizar en este proceso de enseñanza aprendizaje

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En el sentido antes descrito, en la parte B principiamos desarrollando el producto cartesiano, definiéndose las relaciones y funciones a nivel de conjuntos.[1]

En la parte C se cubre los análisis para las funciones polinomiales, sobresaliendo la estructura de espacio vectorial y anillo de los polinomios. En todos los tipos de funciones se presenta las maneras para trasladar en el eje X y en el eje Y los diferentes graficos. Iniciamos tales figuras con los diferentes tipos de líneas rectas, cuadráticas, cúbicas, y de grados quinto. Se cubre las presentaciones de dominio y rango, operaciones con polinomios respaldados con los graficos del software comentado, ceros de los polinomios. Se finaliza esta sección con la función valor absoluto. En toda el álgebra de funciones se presentan los desplazamientos verticales y horizontales de los gráficos.

En la parte CH analizamos las funciones racionales, y se presentan informes para desarrollar la intuición en lo concerniente a las asintotas verticales y asintotas horizontales y los conceptos de límite al infinito y límites infinitos que se generan mediante lops gráficos que facilitan el desarrollo de la intuición en tan importantes problemas. Es implícito las restricciones en el dominio y su efecto en el rango, conceptos respaldados con el software.

En la tercera parte D abordamos otras funciones entre ellas la función valor absoluto y presentamos sus desplazamientos en el eje horizontal y vertical. En la parte E analizamos las funciones algebráicas, con sus desplazamientos.

En la segunda parte de este libro comienza con la parte F donde abordamos las funciones exponenciales y sus propiedades, las funciones uno a uno, y las funciones inversas para finalizar con las funciones logarítmicas. En la parte G analizamos las funciones de enrollamiento y funciones trigonométricas.

Sabemos que la base de la Econometría, la Programación Lineal, y la Economía Matemática, lo constituye los cinco libros de nivelacion matematica comentados en donde tratamos de recuperar las enseñanzas de las operaciones con conjuntos y operaciones del álgebra de funciones dentro del sistema educativo, pero utilizando la notación tradicional, notación moderna y la notación de lenguaje de programación de computadoras.

Si en la era de las computadoras u ordenadores "el análisis matemático y sus aplicaciones, sus base de datos con sus variables[2]se constituyen en los fundamentos de los sistemas de toma de decisiones, es necesario reconocer que una base de datos es un conjunto y que la teoría de los conjuntos es el fundamento de la teoría de la probabilidad que induce a las aplicaciones de los modelos lineales y nolineales agrupados en la econometría, pero aún más, la teoría de conjuntos en los espacios topológicos métricos nos lleva a la teoría de juegos como un sistema de herramientas que puede resolver los conflictos de la humanidad. De cualquier manera es necesario transmitir el lenguaje de la teoría de conjuntos y del álgebra de funciones en la notación de las computadoras.

Agradezco a Dios Padre Nuestro Creador por haberme permitido escribir los 55 libros que conforman la pequeña biblioteca virtual del IICES e CIMES.

El producto cartesiano[3]

Definimos el producto cartesiano de A con B y lo denotamos por AXB,

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Al elemento (x, y) se le llama pareja ordenada

De esta pareja (x, y) x es la primer componente, y es la segunda componente

Dados dos conjuntos A y B

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Tenemos que la pareja ordenada que cumple con la condición es (x, y) = (0, 1)

I LA IGUALDAD DE PAREJAS ORDENADAS

Definicion:

Dos parejas ordenadas (x, y) (a, b) son iguales si sus primeras componentes son iguales y sus segundas componentes tambien son iguales. Es decir:

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Ejemplos:

1. (5, 2) = (5,2) porque cumplen con la definición.

2. (3,1) ( (1,3) porque sus primeras componentes son distintas y sus segundas componentes

tambien son diferentes.

3. encontrar los valores de x, y para que las siguientes parejas ordenadas sean iguales.

(x + 3, 2+ y ) = (5, 2)

Solucion:

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4. Encontrar los valores x, y para que las siguientes parejas ordenadas sean iguales.

(x , y + x) = (3, 6)

Solucion:

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II LA SUMA DE PAREJAS ORDENADAS[4]

Definición: dadas las parejas ordenadas (x, y) ( (a, b) definimos la suma de ambas parejas ordenadas mediante (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) es decir sumamos las primeras componentes y sumamos las segundas componentes.

Ejemplos 1. (1, 2) + (3, 1) = (1 + 3, 2 + 1) = (4, 3)

  • 2. (5, -1 ) + (3, 2) = (5 + 3, -1 + 2) = (8, 1)

  • 3. (2, 5) + (0 , 0) = (2 + 0, 5 + 0) = (2, 5) en este caso la pareja (0,0) es el elemento neutro de las parejas ordenadas numericas, es decir, cualquier pareja ordenada (x, y) sumada a (0, 0) resulta (x, y) esto es:

(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)

4. (3, 5) + (-3, - 5) = [3 + (-3), 5 + (-5) ] = ( 3- 3, 5 -5) = (0, 0)

1. EJERCICIOS PROPUESTOS

Para los conjuntos A = {-1,-2}, B = {3, 4, 5} C = { 7, 8 }, encontrar los siguientes productos cartesianos y forme relaciones y funciones. Observar que AXB ( BXA esto es el producto cartesiano no es conmutativo. AXC ( CXA

a). AxB b). AxC c). BxA d). CxA e). BxC f). CxB

III LAS COORDENADAS CARTESIANAS

El modelo de coordenadas rectangulares divide el plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto cero. La horizontal se denomina eje de las equis o eje de abscisas el eje vertical se llama eje de las "y" o eje de ordenadas.

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A este resultado Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes están numerados de 1 a IV en dirección contraria a la del movimiento de las agujas del reloj. Ver grafico de arriba.

Las abscisas son POSITIVAS cuando están situadas a la derecha del eje y. y negativas en caso contrario. Las ordenadas son POSITIVAS cuando el punto esta por encima del eje de las x; y NEGATIVAS en caso contrario.

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A una de las rectas se llama eje x, y a la otra, eje y. El punto de intersección se llama el Origen del sistema de Coordenadas Cartesianas representado por (0, 0). Cero para el eje x y cero para el eje y.

Relaciones y funciones con problemas resueltos

Recordemos que (a, b) es un par ordenado de números reales, entonces a se llama primera componente del par ordenado, y b la segunda componente. En general, (a, b) ( (b, a) a menos que a = b o enunciando más directamente (a, b)= (c, d) si y sólo si a = c ( b = d.

Para poder discutir con precisión relaciones especificadas por conjuntos de parejas ordenadas, es útil introducir dos nuevos términos técnicos, relación y función. Comenzamos con la definición de una relación.

Una relación de un conjunto A hacia un conjunto B es cualquier conjunto de parejas ordenadas, y forman un subconjunto del producto cartesiano AXB

esta definición es bastante natural, ya que cualquier conjunto de parejas ordenadas de números establece una relación entre dos conjuntos de números, el conjunto de las primeras componentes con el conjunto de las segundas componentes. El conjunto de las primeras componentes de un conjunto de parejas ordenadas se llama el dominio de la relación y el conjunto de las segundas componentes se llama codominio o rango de la relación

Enfatizamos el hecho de que cualquier conjunto de pares ordenados de elementos es una relación, tenga o no significado físico. El concepto es de naturaleza puramente matemática y como tal es completamente libre aplicarlo a una gran variedad de problemas prácticos o teóricos.

Ejemplo.

Hacer la gráfica de cada relación y establecer su dominio y codominio (rango).

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Ejemplo

Hacer el grafico de las siguientes relaciones y establecer el dominio y el codominio.

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Los siguientes ejemplos sobre relaciones pueden verse como trasformaciones, esto es, la relación transforma los valores del dominio en valores del codominio.

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Una función de A en B es una relación o cualquier subconjunto de parejas ordenadas de AXB en donde no hay dos parejas ordenadas en donde se repite las primera componente.

ejemplo

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Solución.

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Ejemplo

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Solución.

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V DEFINICIÓN DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION, CON EJEMPLOS

El dominio de una función se define como el conjunto de las primeras componentes de la relación establecida. Observar que la relación esta en AXB.

El Rango o codominio de la función se define como el conjunto de las segundas componentes de la relación establecida

Ejemplo 1

Supongamos que S representa las posibilidades de caída de un dado

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En las relaciones antes definidas determine cuales son funciones, determine el dominio y el rango si la relación es función.

Solución

El dominio de las funciones son

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Observación:

Toda función es una relación pero no toda relación es función. En este sentido el concepto de función es mas restrictiva (ver definición de funcion)

Ejemplo 2

Podemos ver las funciones como transformaciones, esto es, podemos pensar que la función transforma los elementos del dominio en elementos del codominio o Rango de la función.

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Ejemplo 3

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Ejemplo 4

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Ejemplo 5

Supóngase, por ejemplo, que al comienzo del curso, a cada estudiante se le asigna una ficha con un cierto número, en donde se le anota el importe de su matricula como se indica en la siguiente tabla:

Número de ficha

Importe de la matricula

0301

0302

0303

0304

0305

0306

L. 35.00

L. 35.91

L. 20.90

L. 25.42

L. 24.86 (

L. 32.02

En este ejemplo el conjunto de los números de las fichas es el dominio, el conjunto de los importes de la matricula es el recorrido. En la tabla el importe de la matricula es función del número de ficha del estudiante.

La notación de pares ordenadas es perfectamente apropiada para la representación de funciones; pues si x es un elemento del dominio de una función e y es un elemento del recorrido correspondiente a x, podemos representar la correspondencia entre x e y como el par ordenado (x,y) por tanto, se puede decir que la función es el conjunto de todos estos pares ordenados.

En el ejemplo anterior se puede representar la función como el conjunto de pares ordenados

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En este sentido, teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, se puede definir también una función como sigue:

Repasando la definición de funcion tenemos : Una función es una relación en la cual no hay dos pares ordenados distintos cuyos primeros elementos sean iguales:

Ejemplos aclaratorios de funciones:

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En los ejemplos anteriores R1, R3 y R5 son funciones ya que no repite la primera componente. R3 y R4 son relaciones.

Conclusión: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

VI. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE RELACIONES Y FUNCIONES

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Observar que R1 es el conjunto de parajas ordenadas de M2 en donde la primer componente es mayor que la segunda componente. R1 no es una funcion ¿porque?

Al formar este conjunto de pares ordenados donde la segunda componente es menor que la primera, estamos enumerando los elementos de la relación.

Ahora nos toca decir cual es el dominio y rango o recorrido de la relación.

El dominio de una relación siempre se formará con las primeras componentes de los pares ordenados de la relación; pero debemos tener cuidado en no repetir los elementos al escribirlos como dominio. Así:

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También aquí no se escriben las segundas componentes repetidas, en éste caso se repiten 0, 1, 2.

Luego trazamos la gráfica de la relación lo que hacemos con los pares ordenados de R1.

La primera componente la buscamos en el eje horizontal o eje de las x; y la segunda componente la buscaremos en el eje vertical o eje de la "y" así.

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Para localizar estos puntos de R1 y digo puntos porque a cada para ordenado corresponde un punto en el plano bidimensional o plano cartesiano.

Trazamos el plano cartesiano para ubicar los pares ordenados de R1.

Para localizar los puntos de los pares ordenados cuya segunda componente es cero, el punto se coloca en el eje horizontal o eje de las "x" sobre el valor que tiene asignado la primera componente.

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Para localizar (2,1) se busca el 2 en el eje "x" y el 1 en el eje "y"

Trazamos una línea de trazos del 2 hacia arriba y otra línea de trazos del 1 hacia la derecha, en donde se intercepten las dos líneas colocamos el punto correspondiente a las coordenadas (2,1).

Para localizar (3,1) se hace con el procedimiento anterior; el 3 en el eje horizontal y el 1 en el eje vertical.

Para localizar los demás puntos aplicamos estrictamente el procedimiento anterior.

Cuando y < x todos los puntos quedan debajo de la diagonal y = x

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Observamos que en los pares ordenados de la relación, la segunda componente es mayor que la primera.

El dominio de R2 estará formado por las primeras componentes, así:

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Cuando en una relación y > x o bien x < y los puntos quedan sobre la diagonal en la parte de arriba.

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En los siguientes graficos presentamos ejemplos

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VII EJERCICIOS PROPUESTOS

  • 1. En cada una de las siguientes partes, es decir si la relación es una función, ¿Cuál es el dominio?, ¿Cuál es el recorrido? Representar su grafica.

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Solución:

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Los demas ejercicios son para el Lector o Estudiante.

  • 2. Desarrolle los siguientes problemas

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Las funciones polinomiales

En la historia del concepto de función, establece que por primera la utiliza Leibnitz en 1694 para representar cualquier cantidad asociada con una curva. En 1718 Johann Bernoulli consideraba una función como cualquier expresión formada por constantes y una variable. Posteriormente, en el mismo siglo, Euler se refiere a una función como cualquier ecuación formada de constantes y variables. Euler hace extenso uso de la muy importante notación f (x), aunque su origen generalmente se le atribuye a Clairaut. (1734).

La forma de la definición de fue formulada por Dirichlet (1805-1859) quien establece que si dos variables x, y se relacionan en tal forma que para cada valor de x corresponda exactamente un valor de y, decimos que y es una función (de valor único) de x. El llamó x, la variable a la que se podían asignar valores llamandole variable independiente, llamo "y" a la variable cuyos valores dependendiente de los valores asignados a x, la variable dependiente. El llamó a los valores que puede tomarla x el dominio de la función y a los valores correspondientes de la "y" el codominio de la función. El concepto de función es uno de los elementos más importantes en matemática y es un concepto fundamental en el desarrolla de la matematica aplicada.

A continuación presentamos las funciones de polinomios en la estructura de grupo abeliano, seguidamente los presentamos al conjunto de las funciones polinomiales como un espacio vectorial y para finalizar las estructuras del conjunto de las funciones polinomiales presentamos el anillo unitario de tales funciones.

I EL GRUPO ABELIANO DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES

1. LA DEFINICIÓN DE POLINOMIO

Dados los siguientes polinomios, observar que todos los exponentes son positivos o cero.

P(x) = 3*x5 + 2*x4 + 1*x3 - 10*x2 - 5*x + 10

P(x) = 10*x9 + 5*x4 - 3*x3 - 1*x + 1

P(x) = -5*x3 + 2*x2 -x + 2

P(x) = 5*x30 + 2*x20 -7*x10 + 4

De manera formal definimos un polinomio de la forma siguiente:

Sea ( el conjunto de los números reales[5]Llamaremos polinomio y lo denotaremos por P(x) a las expresiones formales de la forma

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Ejemplos:

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Ejemplos

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Observar que

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Observar que

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5. LA IGUALDAD DE POLINOMIOS

Dados dos polinomios P(x) y Q(x) diremos que son iguales y lo representamos mediante P(x) = Q(x)

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Ejemplo. dado los polinomios

P(x) = 3*x + 5*x2 - 2*x + 10 y Q(x) = 3*x + 5*x2 - 2*x + 10

Tenemos que P(x) = Q(x) porque sus respectivos coeficientes son iguales.

6 GRADO DE UN POLINOMIO P(x)

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Definición:

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7. EJEMPLOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

  • a) ¿Cuál es el grado de P(x) = 6x4 + 1

  • b) ¿Cuál es el grado de M(x) = 3x2 - 1

  • c) ¿Cuál es el grado de R(x) = 5*a2*x10 + x

  • d) ¿Cuál es el grado del polinomio N(x) = 7x3 - 4x2 + 10x - 2

  • e) ¿Cuál es el grado del polinomio L(x) = 5x4 - 10x3 + 6x2 - 3x - 1

De acuerdo a su grado clasificamos los polinomios en:

  • a) Polinomio lineal si su grado es 1

  • b) Polinomio cuadrático si su grado es 2

  • c) Polinomio cúbico si su grado es 3

Ejemplos:

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Cuando el exponente de la variable va de menos a más decimos que el polinomio está en orden ascendente.

Ejemplos:

a) P(x) = 12x4 - 10x3 + 6x2 - x + 3 Es un polinomio de orden descendente

b) Q(x) = 6x + 9x2 - 10x3 + 4x4 Es un polinomio de orden ascendente

Ejercicios propuestos

Identifique el orden (ascendente y descendente) de los siguientes polinomios.

  • a) P(x) = 13x2 - 10x + 4

  • b) Q(x) = 9x + 14x2 - 10x3

  • c) L(x) = 16x4 - 3x3 + 8x2 - 3x + 2

  • d) M(x) = 4 - 9x + 6x2 - 3x3

8. SUMA DE POLINOMIOS

Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado. Se agrupan y se suman los coeficientes que acompañan a la variable con su exponente o variable de igual grado. de la manera siguiente:

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Ejemplo :

P(x) = 3*x4 - 5*x2 +෪x = 3*x4 + 0*x3 - 5*x2 +෪x + 0

Q(x)འx3 + 2*x2 - 11*x +ೠ = 0*x4 + x3 + 2*x2 - 11*x +ೠ

se procede así:

P(x) + Q(x) = (3*x4 + 0*x3 - 5*x2 +෪x + 0) + ( 0*x4 + x3 + 2*x2 - 11*x +೩

P(x) + Q(x) = (3 + 0)*x4 + (0 + 1)*x3 + (-5 + 2)*x2 + (7 -11)*x + (0 + 3)

P(x) + Q(x) = 3*x4 + 1*x3 + (-3)*x2 + (-4)*x + 3

P(x) + Q(x) = 3*x4 + x - 3*x2 -4*x +3

9. PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS .

Denotaremos el conjunto de todos los polinomios de grado n y lo denotaremos por (n

Nótese que sólo se pueden sumar matrices de igual tamaño y que el resultado mantiene el tamaño matricial. Para sumar matrices se suman los elementos que ocupan el mismo lugar.

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OBSERVACION: La suma de las funciones P(x) con Q(x) suele definirse como

(P + Q)(x) = P(x) + Q(x)

10. PROBLEMAS RESUELTOS

DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 1

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Ejemplo:

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DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 2

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Expresamos los polinomios y obtenemos la suma de acuerdo a su definición:

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Ejemplo:

Dados los polinomios P(x) = 3*x3 + 2*x2 - 2*x + 10 Q(x) = -2*x3 - 2*x2 + 3*x + 11

P(x) + Q(x) = (3-2)*x3 + (2-2)*x2 + (-2+3)*x + (10 +11) = 1*x3 + 0*x2 + 1*x + 21

Q(x) + P(x) = (-2+3)*x3 + (-2+2)*x + (3-2)*x + (11 + 10) = 1*x3 + 0*x2 + 1*x + 21

Por lo tanto

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) = 1*x3 + 0*x2 + 1*x + 21 = x3 + x + 21

  • DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 3

P(x) + [Q(x) + R(x)] = [Q(x) + P(x)] + R(x) "Propiedad Asociativa"

Expresamos los polinomios

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La demostración sin usar el símbolo de sumatoria

Primero sumamos de acuerdo a la definición [Q(x) + R(x)]

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Por lo tanto:

P(x) + [Q(x) + R(x)] = [Q(x) + P(x)] + R(x)

Ejemplo:

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  • DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 4

En el polinomio

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Sabemos que todos los coeficientes son números reales y el cero es un numero real por lo que si hacemos cero todos los coeficientes obtenemos

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Por lo tanto P(x) + 0(x) = 0(x) + P(x) = P(x)

Mediante la notacion de sumatoria obtenemos:

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El polinomio nulo [O(x)] sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma.

Ejemplo:

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Por claridad, eliminamos los coeficientes nulos. El polinomio cero tiene todos sus

Coeficientes igual a 0, y lo notaremos como 0.

  • DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 5

Dado dos polinomios de grado n, se dicen que son opuestos si sus coeficientes respectivos a la x con su exponente, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un signo menos delante del polinomio.

Así el simétrico de P(x) es -P(x) y viceversa

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Observar que la suma de los coeficientes con sus respectivos simétricos suman cero porque tales coeficientes son números reales y este conjunto numérico tiene esta propiedad de ser un grupo abeliano respecto a la suma.

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Utilizando la notación de sumatoria obtenemos:

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Ejemplo:

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Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus términos. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el polinomio neutro de la suma.

En conclusión: El conjunto de todos los polinomios (n es un grupo abeliano respecto de la suma de de polinomios (abeliano o conmutativo en memoria a un matemático de nombre Abel ) porque cumple las cinco propiedades antes mencionadas pero para resumir las volvemos a escribir:

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11. LA RESTA DE POLINOMIOS

Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) con Q(x) a la suma de P(x)ࠣon el simétrico de Q(x) esto es:

P(x) -Ѩx) = P(x) + [-Q(x)]

12. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1

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Aplicamos la definición y las propiedades conmutativas y asociativas de la suma, y aplicamos la definición de suma de polinomios que consiste en reunir en un mismo paréntesis los coeficientes asociados a la xi .

P(x) + Q(x) = (-9 + 14)*x3 + (20 + 6)*x2 + (-10 - 11)*x + (3 + 5) .

Luego efectuamos las operaciones indicadas en los paréntesis

P(x) + Q(x) = 5*x3 + 26*x2 - 21*x + 8

También podemos hacerlo por un método más corto, que consiste en colocar debajo del polinomio P(x) al polinomio Q(x); pero término semejante baje término semejante con sus respectivos signos, así:

Solución

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Ejercicio 2

2. Sean

P(x) = 6*x4 - 9*x3 + 10*x2 - 3*x + 6 y Q(x) = 14*x4 + 20*x3 - 9*x2 - 10*x + 13

 

a) Efectúe P(x) + Q(x)

Solución

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Ejercicio 3

Sean

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Efectúe P(x) + Q(x)

Solución

Aplicando la definición de suma obtenemos:

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Ejercicio 4

Sean P(x) = 2.2*x3 - 0.52*x2 + 1.4*x +3.12

Q(x) = 2.21*x2 + 3.15*x - 1.21 = 0*x3 + 2.21*x2 + 3.15*x - 1.21

a) Efectúe P(x) + Q(x)

Solución

P(x) + Q(x) = (2.2*x3 - 0.52*x2 + 1.4*x + 3.12) + (0*x3 + 2.21*x2 + 3.15*x - 1.21 )

P(x) + Q(x) = (2.2 + 0)*x3 + (-0.52 - 2.21)*x2 + (1.4 + 3.15)*x + (3.12 - 1.21)

P(x) + Q(x) = 2.2*x3 - 2.73*x2 + 4.55*x + 1.91

Ejercicios propuestos

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Problemas resueltos sobre restas de polinomios

1 El inverso aditivo de P(x) = 10x es -P(x) = -10x

2. El inverso aditivo de P(y) =-6y es -P(y) = 6y

Ejercicios resueltos

  • 1. dado P(a) = 6*a y Q(a) =12*a calcule P(a) - Q(a)

Solución

P(a) - Q(a) = 6*a - 12*a = (6 - 12)*a = - 6*a

2 Dado P(a) = 24*a y Q(a) = 36*a calcule P(a) - Q(a)

Solución

P(a) - Q(a) = 24*a - 36*a = (24 -36)*a = -12*a

3. Dado P(b) = -24*b Q(b) = 60*b calcule Q(b) - P(b)

Solucion:

Q(b) - P(b) = 60*b - (-24*b) = 60*b + 24*b = (60 + 24)*b = 84*b

4. Sean P(x) = 4*x3 - 10*x2 + 6*x - 13 Q(x) = 8*x3 - 12*x2 + 16*x - 18

a) Efectúe P(x) - Q(x)

Solución

P(x) - Q(x) = (4*x3 - 10*x2 + 6*x - 13) - (8*x3 - 12*x2 + 16*x - 18)

P(x) - Q(x) = (4*x3 - 10*x2 + 6*x - 13) + [-(18*x3 - 12*x2 + 16*x - 18)]

P(x) - Q(x) = (4*x3 - 10*x2 + 6*x - 13) + (- 8*x3 + 12*x2 - 16*x + 18)

P(x) - Q(x) = (4 - 8)*x3 - (10 + 12)*x2 + (6 - 16)*x - 13 + 18

P(x) - Q(x) = -4*x3 +2*x2 -10*x + 5

5. Sean P(x) = 12*x4 - 18*x3 + 10*x2 - 3*x + 6 Q(x) = -19*x3 + 6*x2 - 20*x + 18

Efectúe P(x) - Q(x)

Solución

P(x) - Q(x) = (12*x4 - 18*x3 + 10*x2 - 3*x + 6) - (-19*x3 + 6*x2 - 20*x + 18)

P(x) - Q(x) = (12*x4 - 18*x3 + 10*x2 - 3*x + 6) + (19*x3 - 6*x2 + 20*x - 18)

P(x) - Q(x) = (12*x4 - 18*x3 + 10*x2 - 3*x + 6) + (0*x4 +19*x3 - 6*x2 + 20*x - 18)

P(x) - Q(x) = (12 + 0)*x4 +(- 18 + 19)*x3 + (10 - 6)*x2 + (-3 + 20)*x + (6 - 18)

P(x) - Q(x) = 12 *x4 + 1*x3 + 4*x2 + 17*x - 12

P(x) - Q(x) = 12 *x4 + x3 + 4*x2 + 17*x - 12

Ejercicios propuestos

  • 1. Sean P(x) = 12*x3 - 9*x2 + 6*x - 10 Q(x) = -20*x3 + 18*x2 - 15*x + 14

Efectue P(x) - Q(x)

  • 2. Sean V(x) = 19*x4 - 10*x3 + 6*x2 - 13*x + 10 W(x) = 24*x3 - 19*x2 + 16*x - 10

Efectúe V(x) - W(x)

El producto de un número por una función polinomial

El producto por escalares es una operación que permite multiplicar números en R por matrices que pertenecen a (n, obteniéndose como resultado una nuevo polinomio de grado n. Esta operación se obtiene al multiplicar un número por un polinomio.

Dado P(x) y un numero real c

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Es decir : Para multiplicar un escalar (numero) por un polinomio se multiplican todos los coeficientes del polinomio por el escalar (numero).

Ejemplo: Dado P(x) = 3*x2 + 5*x - 4 y dado el escalar 4

Encuentre Q(x) = 4*P(x)

Solucion:

Q(x) = 4*[3*x2 + 5*x - 4] = (4*3)*x2 + (4*5)*x - (4*4) = 12*x2 + 20*x - 16

1. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN NUMERO POR UNA FUNCIUON POLINOMIAL

  • PROPIEDAD 1

d*[b*P(x)]=(d*b)*P(x) con , d, b, números reales y el polinomio P(x) en (n

DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 1

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Ejemplo

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Ejercicio: Demostrar utilizando los símbolos de sumatoria

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  • PROPIEDAD 2

c*[P(x)+ Q(x) ] = c*P(x) +c*Q(x) con c(( y P(x) ( (n Q(x) ( (n

DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 2

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Una vez aplicada la propiedad distributiva de la suma respecto a la multiplicación en los números reales en cada uno de los coeficientes, aplicamos la definición de suma de Polinomios y nos queda

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  • PROPIEDAD 3

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DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD 3

Aplicaremos las propiedades de las sumatorias y de los números reales

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  • PROPIEDAD 4

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2. EJERCICIOS PROPUESTOS

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La multiplicación de funciones polinomiales

Explicaremos el concepto en base a ejemplos y luego generalizaremos

Para multiplicar dos polinomios P(x)*Q(x) se multiplica cada término del polinomio P(x) con los demás términos del polinomio Q(x) y aplicamos las leyes de los exponentes y propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y luego sumamos de acuerdo a la definición de suma de polinomios.

A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios.

Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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Ejemplo 3

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Ejemplo 4

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Ejemplo 5

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Observar que los subíndices de los coeficientes al ser sumados coinciden con el respectivo exponente de cada xi asignado.

1. DEFINICIÓN FORMAL DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES POLINOMIALES

Dados dos polinomios:

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Escritos de manera ascendente tenemos:

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Observar que los subíndices de los coeficientes al ser sumados coinciden con el respectivo exponente de cada xi asignado.

2. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS[6]

Dados los polinomios P(x) , Q(x) , R(x) se verifican las siguientes propiedades:

a) Propiedad de cerradura respecto al producto, esto es: para cualesquiera polinomios P(x) y Q(x) se cumple que P(x)*Q(x) es un polinomio.

b) Propiedad conmutativa respecto a la multiplicación. para cualesquiera polinomios P(x) y Q(x) se cumple que P(x)*Q(x) = Q(x)*P(x)

c) Propiedad asociativa de la multiplicación de polinomios. Para cualesquiera polinomios P(x) , Q(x) , R(x) se cumple :

P(x)*[Q(x)*R(x)] = [P(x)*Q(x)]*R(x)

  • b) Existencia del polinomio identidad

Sea el polinomio I(x) = 1 se cumple que cualquier polinomio de grado n satisface:

P(x)*I(x) = I(x) * P(x) = P(x)

e) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma de polinomios. Para cualesquiera polinomios P(x) , Q(x) , R(x) se cumple :

P(x)*[Q(x) + R(x)] = P(x)*Q(x) + P(x)*R(x)

[Q(x) + R(x)]*P(x) = Q(x)*P(x) + R(x)*P(x)

f) Asociatividad respecto al numero d real. Para cualesquiera polinomios P(x) y Q(x) se cumple que

d*[P(x)*Q(x)] = P(x)*[d*Q(x)] = [d*P(x)]*Q(x)

EN RESUMEN, TODAS LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON POLINOMIOS ANTES ESTUDIADAS, QUE INCLUYEN LAS PROPIEDADES DE UN ESPACIO VECTORIAL AÑADIDAS A LAS PROPIEDADES FORMAN UN ANILLO CONMUTATIVO CON UNIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS (n

  • 3. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1

Sean P(x) = -3*x3 y Q(x) = 6*x4 efectúe P(x) * Q(x)

Solución

P(x) * Q(x) = (-3*x3)* (6*x4) = (-3 * 6)* (x3 * x4) = (-18) *(x3+4) = -18*x7

Ejercicio 2

Sean P(x) = 4*x3 y Q(x) = 12*x2 + 4 calcule P(x) * Q(x)

P(x)*Q(x) = 4*x3 *(12x2 + 4)

P(x)*Q(x) = 4*x3 *12*x2 + 4*x3 * 4

P(x)*Q(x) = 4*12*x3 *x2 + 4*4*x3

P(x)*Q(x) = 48*x3+2 + 16* x3

P(x)*Q(x) = 48x5 + 16x3

Ejercicio 3

Sean P(x) = 12*x Q(x) = 4*x2 - 3

Calcule P(x) *Q(x)

Solución

P(x) * Q(x) = 12*x *(4*x2 - 3)

P(x) * Q(x) = 12*x *4*x2 - 12*x * 3

P(x) * Q(x) = 12*4*x *x2 - 12*3*x

P(x) * Q(x) = 48*x1+2 - 36*x

P(x) * Q(x) = 48*x3 - 36*x

Ejercicio 4

Si P(x) = 4*x y Q(x) = 3*x2 - 2*x + 10 calcule P(x)*Q(x)

Solucion:

P(x) * Q(x) = 4*x*(3*x2 - 2*x + 10)

P(x) * Q(x) = 4*x*3*x2 - 4*x*2*x + 4*x*10

P(x) * Q(x) = 4*3*x*x2 - 4*2*x*x + 4*10*x

P(x) * Q(x) = 12*x1+2 - 8*x1+1 + 40*x

P(x) * Q(x) = 12*x3 - 8*x2 + 40*x

Ejercicio 4

Sean P(x) = -10*x2 Q(x) = 3*x3 + 10*x2 - 5*x

Calcule P(x) *Q(x)

Solución

P(x) *Q(x) = -10*x2 (3*x3 + 10*x2 - 5*x)

P(x) *Q(x) = -10*x2 *3*x3 -10*x2 *10*x2 + 10*x2 *5*x Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y aplicando la ley de los signos del producto.

P(x) *Q(x) = -10*3*x2 *x3 -10*10*x2 *x2 + 10*5*x2 *x

P(x) *Q(x) = -30*x2+3 - 100*x2+2 + 50*x2+1

P(x) *Q(x) = -30*x5 - 100*x4 + 50*x3

Ejercicio 5

Partes: 1, 2, 3

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