Círculo de Mohr

Capítulo 11

CAPÍTULO 11 CIRCULO DE MOHR
11.1 ESFUERZOS EN EL SUELO ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES

Notación: σ = Sigma = Esfuerzo normal o directo a la superficie. τ = Tau = Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie. σ > 0 = Compresión; σ < 0 = Tracción. τzx = Cortante en la dirección X, sobre el plano Z (el plano Z es el plano X – Y). σz = Esfuerzo normal y en la dirección Z. Sobre las caras del cubo existen 9 elementos (fig. 11.1), las que se pueden escribir así: Figura 11.1 Esfuerzos en una masa de suelo

σ xx  τ yx  τ zx 

τ xy τ xz   σ yy τ yz  = σ = Tensor general de esfuerzos en R3 τ zy σ zz  

(11.1)

Tomando momentos (esfuerzo, por área, por distancia) para hacer rotar el cubo …ver más…

 cosθ Tθ =  − sen θ

sen θ  cosθ  

(11.5)

Para (11.9) Considerando el equilibrio estático, la ΣF = 0 ∴ AB PX = OB σX + OA τXY ; AB PY = OA σX + OB τXY Pero OA = AB senθ OB = AB cosθ

(11.6) (11.7)

Llevo (11.7) a (11.6) y cancelo AB PX = TX cosθ + τXY senθ Pero a) σn = PX cosθ + PY senθ PY = σY cosθ + τXY senθ b) τn = PY cosθ - PX senθ (11.8) (11.9)

(11.8) en (11.9) ∴ tendiendo en cuenta (11.2) y aplicando la identidad de las fórmulas 11.17: σθ = σX cos2θ + 2τxy senθ cosθ + σY sen2θ que se transforma

σθ =

(σ

x

+σ y ) 2

+

(σ

x

−σ y ) 2

cos 2θ + τ xy sen 2θ

(11.10)

τθ = τxy (cos2θ - sen2θ) – (σx – σy)senθ cosθ

130

Círculo de Mohr

Capítulo 11

τ θ = τ xy cos 2θ − tg 2θ =

(σ

x

−σ y ) 2

sen 2θ

(11.11)

además,

(σ

− 2τ xy x −σ y )

(11.12)

Por convención, los esfuerzos principales son σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. En R2 σ1 ≥ σ2.

σ1 = σ2 =

1 2 (σ x + σ y ) + 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy 2 2 1 2 (σ x + σ y ) − 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy 2 2

[

]

1

2

(11.13)

[

]

1

2

(11.14)

A veces es conveniente el análisis de los ejes X e Y en la dirección de σ1, σ2, entonces de (10) y (11), cuando τxy = 0:

σθ =

1 (σ 1 + σ 2 ) + 1 (σ 1 − σ 2 ) cos 2θ 2 2 1 (σ 1 − σ 2 ) sen 2θ 2

(11.15)

τθ = −

(11.16)

(11.10) – (11.11) –(11. 13) –