Acción de los terremotos sobre los edificios de varios pisos

615 palabras 3 páginas
Acción de los terremotos sobre los edificios de varios pisos
Normalmente los terremotos de gran magnitud tienen un efecto devastador sobre los edificios
Modelo de los desplazamientos de los pisos de un edificio.
En este proyecto trataremos de modelar el efecto de un terremoto sobre un edificio de varios pisos, para después resolver e interpretarlo matemáticamente. Supondremos que el i-ésimo piso de un edificio tiene masa mi, y que los adyacentes están unidos por un conector elástico, cuya acción se parece a la del resorte. En el caso nominal, los elementos estructurales de los grandes edificios son de acero, que es un material muy elástico. Cada unión suministra una fuerza de restitución cuando los pisos se desplazan entre sí.
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También, se tiene que determinar los valores en ω1 y ω2
En términos de matrices
X=x1tx2t⋮xnt
m10⋮0 | 0m200 | ………… | 00⋮mn |

M=

K=

el sistema (1) se escribiría en la forma
MX''=KM.
A las matrices M y K se les llama matriz de masa y matriz de rigidez n×n del edificio, respectivamente. La matriz M es diagonal, donde la masa del i-ésimo piso del edificio es el i-ésimo elemento diagonal. Como la matriz M tiene inversa
M=m1-100m2-1⋮ …⋮
Llegamos a la ecuación matricial de un sistema homogéneo de segundo orden, en la forma normal
X´´=AX
La matriz de coeficientes en esta ecuación es A=M-1K.
Los valores propios de A indican la estabilidad del edificio durante un terremoto. Son negativos y distintos. Las frecuencias naturales del edificio son las raíces cuadradas de los valores propios, pero negativos. Si λi es el i-ésimo valor propio de A, entonces ωi=-λi es la i-ésima frecuencia siendo i=1, 2, …, n. Durante un terremoto, se aplica una gran fuerza horizontal a la planta baja. Si esta fuerza es de naturaleza oscilatoria; por ejemplo, de la forma Ft=G cosγt, donde G es una matriz columna de constantes, se desarrollarían grandes desplazamientos en el edificio, en especial si la frecuencia γ del término a la fuerza F se aproxima a una de las frecuencias

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