Algebra

3766 palabras 16 páginas
Endomorfismo.
Un endomorfismo es una transformación lineal (u homomorfismo) entre dos espacios vectoriales iguales. Por tanto, la aplicación que señalas será un endomorfismo si satisface las dos condiciones que debe cumplir toda transformación lineal

1. Para todo para de vectores v, w de R^3 se satisface

f(v+w) = F(v) + F(w)

2. Para todo k perteneciente al cuerpo K sobre el que se ha definido el espacio vectorial R^3, y para todo v perteneciente a R^3 se cumple

f(kv) = k f (v)

En nuestro caso, K es el conjunto de los números reales. Sea

v = (x,y,z) w= (x ', y ', z ')

Sus imágenes según la aplicación son

f (x,y,z) = (x+y-z, 0, x) f(x ',y ',z ') =(x '+y '-z ', 0, x ')

Veamos si se cumple la condición 1:
…ver más…
En general, Fe deja fijo.
Además, F genera el Grupo de Galois de cualquier extensión de cuerpos finitos.
Aplicaciones de la teoría del endomorfismo.
Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Método de Jacobi: Dado un sistema de ecuaciones lineales AX = B podemos suponer que la matriz A es cuadrada regular. También podemos suponer que los elementos de la diagonal de A son todos 1. De esta forma consideramos la matriz C = In-A (que tiene todos los elementos de la diagonal iguales a cero).
El sistema inicial es AX = B. O sea, (I-C)X = B ! X = CX + B.
Construimos la sucesión de vectores:
X(0) = B X(i+1) = CX(i) + B Vi = 0,1,…
Si esta sucesión tiene límite, entonces ese límite es la solución del sistema.
Veremos más adelante en qué circunstancias podemos asegurar que este método de Jacobi converge.
Método de Gauss-Seidel: Mejora el proceso iterativo del método de Jacobi de la siguiente manera:
Hacemos como en el método de Jacobi X = CX + B. La sucesión de vectores la construimos de una manera diferente.
X(r+1) = -L-1UX(r) + L-1B
Donde L es una matriz triangular inferior (|L| = 1) y U es una matriz estrictamente superior (los elementos de la diagonal son 0). A = L + U.
El método de Gauss converge más rápidamente que el de Jacobi.
Usa el mismo número de operaciones que el de Jacobi, pero usa menos memoria. Es más fácil de escribir en el lenguaje de programación.
Veremos en qué condiciones

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