Algebra, cónicas y cuádricas

1072 palabras 5 páginas
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA

PUNTO FIJO – ESTADO FALCÓN

REALIZADO POR:

RICARDO RODRIGUEZ

ING. PETROLEO II SEMESTRE “B”

PUNTO FIJO, ENERO DEL 2010

APLICACIONES

CÓNICAS Y CUADRICAS

Las cónicas y las cuádricas responden a un modelo general, son básicamente polinomios de grado [pic]en dos y en tres variables. Como todos los polinomios de grado dos en varias variables tienen una parte cuadrática, una parte lineal, y una parte constante. Si se quiere ver así, es suma de una forma cuadrática y de una forma afín. Se pueden expresar por tanto como,
[pic]

Cónicas

La ecuación general de una cónica es:
…ver más…
Si atendemos al sistema Ac = b, entonces se ve claramente que al multiplicar A y c, lo que se realiza es una combinación lineal de las columnas de A:

[pic]

El problema de aproximación será hallar aquella combinación lineal de columnas de A lo más cercana posible al vector b. Se comprueba que el conjunto de las columnas de A engendran un Span lineal: span(A1,A2,...,Am), al que el vector b no tiene porqué pertenecer (si lo hiciera, el sistema Ac=b tendría solución).

Entonces, de los infinitos vectores del span (A1,A2,...,Am) que son combinación lineal de los vectores de la base, se tratará de hallar el más cercano al vector b. De entre todos ellos, el que cumple esto con respecto a la norma euclídea es la proyección ortogonal del b sobre span (A1,A2,...,Am), y que por tanto hace que el tamaño del vector r, que será el vector que una los extremos de los vectores b y proyección ortogonal de b sobre el span, sea mínimo, esto es, que minimiza su norma euclídea.

Es inmediato ver que si el residuo une b con su proyección ortogonal, entonces es a su vez ortogonal al span (A1,A2,...,Am), y a cada uno de los vectores de la base, esto es, ortogonal a cada columna de A.

La condición de minimización del residuo será:

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