Algoritmo de la division

1259 palabras 5 páginas
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN.

Comenzaremos esta sección estudiando el algoritmo de la división que establece el siguiente teorema:

Teorema 1.4. [Algoritmo de la división] Si a y b son enteros con b > 0, existe un único par de enteros q y r tales que

Demostración:

•Existencia: Sea
. Este conjunto de enteros contiene elementos no negativos (por ejemplo, para n = - | a | ), por lo que S*= S
N es un subconjunto no vacío de N y, por tanto, de Z . El axioma de buena ordenación de los números enteros nos asegura la existencia de un primer elemento de S* que será de la forma r = a - qb
0 para algún entero q. Se tiene, por tanto, que a = qb+r con r
0. Si r b, S* contendría al elemento no negativo a - (q+1)b = r - b < r que
…ver más…
La forma más usual del Teorema 1.8. (5) es el caso k = 2, que recordamos a continuación con una notación más simple.

Corolario 1.9. Si c es un divisor de a y de b, divide a au+bv cualesquiera que sean los enteros u y v.

NUMEROS PRIMOS.

Una de las cuestiones básicas en la teoría de números es la cuestión de la divisibilidad de un número por otro. Los números enteros que sólo son divisibles por 1 y por si mismos, se llaman números primos.

El número de números primos es infinito. El primero que lo demostró fue Euclides, en el Libro IX de Elementos, después lo demostraron Euler y Chebichev. La demostración es muy sencilla: Supongamos que tenemos un conjunto {p1, p2, p3, ...} que incluye todos los números primos. Calculemos el número N = p1.p2.p3 ... + 1. Evidentemente este número es primo porque no es divisible por ninguno de los números primos que hemos considerado. Por lo tanto, el conjunto del que hemos partido no incluye todos los números primos.

Los números primos son, en cierto modo, como los elementos químicos. A partir de los elementos químicos se forman todos los compuestos químicos y a partir de los números primos podemos obtener el resto de los números.

Sería fantástico que hubiese una fórmula que produjese números primos. Hasta 1536 se pensó que los números de la forma 2n-1 eran todos primos, pero ese año Hudalricus Regius, demostró que 211 - 1 = 2047 era el producto de 23 y 89. Sin

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