Aplicacion de la derivada

809 palabras 4 páginas
Derivada

Aplicaciones de la Derivada:

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación: [pic]
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
[pic]
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
[pic]
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en
…ver más…
Teorema de Cauchy

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que: [pic]"
Ejemplo del Teorema de Cauchy

f(x)= sen x g(x)= 1+ cos x en [pic]

f'(x)= cos x g'(x)= 1- sen x
Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x=[pic]pero dicho punto no pertenece al intervalo abierto [pic] y como además: [pic]
Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:

[pic]

Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos.
Integrales

Integrales Indefinidas:

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza [pic] Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis». Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x), [pic] Donde C representa una constante llamada constante de integración.

Ejemplo:

[pic]

Integrales definidas:

Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano

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