Bases ortonormales

3008 palabras 13 páginas
Introducción
Para poder entender lo que es una base ortonormal es necesario dar a conocer la importancia de un espacio vectorial, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
Y una base ortonormal es un conjunto de elementos cuyo span (Espacio vectorial generado o span lineal o espacio lineal o lineal hull o capsula lineal. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, y sea S un subconjunto de V)
Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la
…ver más…
Un conjunto de vectores u1, u2,
…, uk es ortonormal si (u1 . uj) = δij, i = 1, 2,…, k; j = 1, 2,…, k.
Demostración: si V tiene dimensión n > 0, entonces tiene una base v1, v2,…, vn de vectores diferentes de cero. Ahora discutiremos un proceso para construir una base ortonormal a partir de la base dada. Comenzaremos con V1. Si u1 = v1/ || v1 ||, entonces ||u1|| = 1 tomamos u2=v2-c1u1∥v2-c1u1∥ Donde c1 = v2 ∙u1). Entonces u2 ∙u1)=v2.u1-c1(u1.u1)∥v2-c1u1∥=0
Y || u2 || = 1. Debemos verificar que || v2 – c1v1 || ≠ 0. Si no es así, v2 sería un múltiplo de v1 y los v no serían independientes. Tenemos ahora a u1 y u2 ortonormales. Continuamos con u3=v3-c2u1-c3u2∥v3-c2u1-c3u2∥ Donde c2 = v3 . u1 y c3 = v3 . u2. Entonces
(u3∙u1)=v3∙u1)-c2∥v3-c2u1-c3u2∥=0
(u3∙u2)=v3∙u2)-c3∥v3-c2u1-c3u2∥=0
Y || u3 || = 1. De nuevo, si || v3 – c2u1 – c3u2 || = 0, entonces v3 es una combinación lineal de v1 y v2 lo que contradice la independencia de los v. Este proceso, que se conoce como el proceso de Gram-Schmidt, se continúa hasta que se usen todos los v y se calculen tantos u como v haya. Los vectores u son una base puesto que son n y ellos independientes.

PROCESOS ORTONORMALES; PROCESO DE GRAM- SCHMIDT; DESCOMPOSICION QR.

JÖrgen Pederson Gram (1850-1916) Erhardt Schmidt (1876-1959)

Un conjunto de vectores en un espacio con producto interior se denomina conjunto

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