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CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1Página 1
1) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función f ( x, y ) = x 2 y 2 − x 2 − y 2 .
SOLUCIÓN
P ( 0, 0 ) máximo relativo, P2 ( 1, 1) punto silla, P3 ( 1, − 1) punto silla, P4 ( − 1, 1) punto 1
silla, P5 ( − 1, − 1) punto silla.
2)
Determinar la naturaleza de f ( x, y ) = 2x 3 − 3 x 2 y + y 2 + 3 x 2 − y + 1 .
los
puntos
críticos
de
la
función
SOLUCIÓN
⎛ 1⎞ ⎛ 1 2⎞ P ⎜ 0, ⎟ mínimo relativo, P2 ⎜ − , ⎟ punto silla, P3 ( 1, 2 ) punto silla. 1 ⎝ 2⎠ ⎝ 3 3⎠
3)
Determinar la naturaleza f ( x, y )= x 3 + y 3 + 3 x 2 − 3 y 2 − 8 .
de
los
puntos
críticos
de
la
función
SOLUCIÓN
P ( 0, 0 ) punto silla, P2 ( 0, 2 ) mínimo relativo, …ver más…
en
f ( x, y, z ) = x 4 + y 4 + z 4 − 4 xyz , tiene un punto
(1,1,1)
y
determinar
la
naturaleza
de
este
SOLUCIÓN
En el punto (1,1,1) ,
u tiene un valor mínimo igual a –1.
19)
Obtener los puntos críticos de la función 2 2 2 f ( x, y, z ) = 2x − 3 y + 2 z − 2 xz + 8 yz − 2 x − 36 y + 8 z − 3 y establecer la naturaleza de
cada uno de los puntos obtenidos.
SOLUCIÓN
P ( 2, −2, 3
)
punto silla.
20) Se desea construir una ventana de área máxima como la mostrada en la figura. Calcular las dimensiones de dicha ventana si su perímetro debe medir 20 m.
SOLUCIÓN
x=
20 , 4+π
y=
40 4+π
21) Determinar los valores extremos de la función f(x, y) = x 2 + y 2 + 5 en la región cerrada R del plano XY limitada por las gráficas de y = 5 , y = - 5 y x 2 - y 2 = 4 .
CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 6 SOLUCIÓN
f(-3, 5 ) = 19
f presenta 4 máximos absolutos, en:
f(3, 5 ) = 19 f(-3,- 5 ) = 19
f(3,- 5 ) = 19 y un mínimo, relativo y absoluto en PC ( 0 , 0 ) = 5
22) Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar las coordenadas de los vértices de la hipérbola representada por la ecuación xy = 4 . Nota: La hipérbola tiene su centro en el origen.
SOLUCIÓN
V1 (2,2) y
V2 ( −2, −2) .
23) Aplicar el análisis de la variación de una función para establecer las ecuaciones de las rectas sobre las cuales se localizan los ejes de la elipse de ecuación