Calculo

2422 palabras 10 páginas
CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 1

1) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función f ( x, y ) = x 2 y 2 − x 2 − y 2 .
SOLUCIÓN

P ( 0, 0 ) máximo relativo, P2 ( 1, 1) punto silla, P3 ( 1, − 1) punto silla, P4 ( − 1, 1) punto 1

silla, P5 ( − 1, − 1) punto silla.

2)

Determinar la naturaleza de f ( x, y ) = 2x 3 − 3 x 2 y + y 2 + 3 x 2 − y + 1 .

los

puntos

críticos

de

la

función

SOLUCIÓN

⎛ 1⎞ ⎛ 1 2⎞ P ⎜ 0, ⎟ mínimo relativo, P2 ⎜ − , ⎟ punto silla, P3 ( 1, 2 ) punto silla. 1 ⎝ 2⎠ ⎝ 3 3⎠

3)

Determinar la naturaleza f ( x, y )= x 3 + y 3 + 3 x 2 − 3 y 2 − 8 .

de

los

puntos

críticos

de

la

función

SOLUCIÓN

P ( 0, 0 ) punto silla, P2 ( 0, 2 ) mínimo relativo,
…ver más…
en

f ( x, y, z ) = x 4 + y 4 + z 4 − 4 xyz , tiene un punto

(1,1,1)

y

determinar

la

naturaleza

de

este

SOLUCIÓN

En el punto (1,1,1) ,

u tiene un valor mínimo igual a –1.

19)

Obtener los puntos críticos de la función 2 2 2 f ( x, y, z ) = 2x − 3 y + 2 z − 2 xz + 8 yz − 2 x − 36 y + 8 z − 3 y establecer la naturaleza de

cada uno de los puntos obtenidos.
SOLUCIÓN

P ( 2, −2, 3

)

punto silla.

20) Se desea construir una ventana de área máxima como la mostrada en la figura. Calcular las dimensiones de dicha ventana si su perímetro debe medir 20 m.

SOLUCIÓN

x=

20 , 4+π

y=

40 4+π

21) Determinar los valores extremos de la función f(x, y) = x 2 + y 2 + 5 en la región cerrada R del plano XY limitada por las gráficas de y = 5 , y = - 5 y x 2 - y 2 = 4 .

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 6 SOLUCIÓN

f(-3, 5 ) = 19

f presenta 4 máximos absolutos, en:

f(3, 5 ) = 19 f(-3,- 5 ) = 19

f(3,- 5 ) = 19 y un mínimo, relativo y absoluto en PC ( 0 , 0 ) = 5

22) Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar las coordenadas de los vértices de la hipérbola representada por la ecuación xy = 4 . Nota: La hipérbola tiene su centro en el origen.
SOLUCIÓN

V1 (2,2) y

V2 ( −2, −2) .

23) Aplicar el análisis de la variación de una función para establecer las ecuaciones de las rectas sobre las cuales se localizan los ejes de la elipse de ecuación

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