Definición e interpretación geométrica de la derivada y la integral

610 palabras 3 páginas
LA DERIVADA

* DEFINICIÓN CIENTÍFICA:
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

* INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. mt = f'(a)

Ejemplo:
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su
…ver más…
Como podemos ver el área que falta por cubrir es menor, aunque aun sigue resultando impráctico este método.

¿Qué sucede si realizamos una aproximación con otra figura regular como lo es un rectángulo?

Como podemos sabemos, resulta práctico calcular el área de un rectángulo, han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han sobre pasado el margen de la curva

Observamos que el área del rectángulo de lado y f(x1) esta descrita como:

Para el segundo rectángulo tendríamos un de lados y f(x2) esta descrita como:

Si sumamos todas las áreas de los rectángulos tendremos:

A medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren el área bajo la curva tendremos una mejor aproximación, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos. Al hacer crecer el número de rectángulos implicara que los incrementos sean mas pequeños a fin de obtener una mejor aproximación.

Recordemos del cálculo diferencial que los elementos diferenciales se generan a partir de incrementos pequeños por lo que podríamos pensar que a medida que hacemos crecer los rectángulos tendremos:

Esta fue la forma clásica en surge el concepto de integral, posteriormente a esta aproximación se fue modificando su notación

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