Distribución beta&gamma

1000 palabras 5 páginas
Distribución Beta
Definiciones.

La distribución beta se puede definir como:
Según Jorge Acuña Acuña: “Esta distribución de probabilidades se usa comúnmente para modelar variación en la proporción o porcentajes de una cantidad que se presenta en muestras diferentes; tal es el caso del porcentaje de producto defectuoso en un día o la fracción de componentes que no pasaron una prueba de laboratorio. La distribución beta es una familia de distribuciones sesgadas que posee los mismos parámetros y escala”.
Según John Freund, Irwin Miller, Marylees Miller:
La densidad uniforme f(x) =1 para 0 < x < 1 y f(x) = 0 en cualquier otra parte es un caso especial de la distribución beta, la cual se define de la siguiente manera:
Definición.
…ver más…
Definición.
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución gamma de parámetros r > 0 y λ>0, si su función de densidad está dad por: fxλΓrλr-1exp-λxX0,∞) (X)
Donde Γ.es la función gamma, esto es,
Γr≔tr-1exp-tdt
El orden de los parámetros es importante ya que r es el parámetro de forma, en tanto que λ es el parámetro de escala.
La función de distribución de una variable aleatoria X con distribución aleatoria gamma de parámetros r y λ está dada por:
Fx=0xλΓrλtr-1exp-λtdt
=1Γr0λxur-1exp-udu

Según Jorge Acuña Acuña.
Esta es una familia de distribuciones caracterizadas por dos parámetros: uno de forma llamado α y otro de escala llamado β. La función densidad así como el valor esperado de la media y la varianza son:

La forma de la distribución se puede ver en la siguiente figura:

Ejemplos

1. La vida útil de un producto en horas se distribuye por Gamma con α=2 y β=4. ¿Cuál es la probabilidad de que dure: a. 10 horas? b. Entre 9.5 y 12.6 horas, si β=3?
Solución
En este caso la variable x es de tiempo y la denotamos como t.
La probabilidad de que dure 10 horas es de 0.0513. 2. La duración X, en horas, de cierto componente tiene una distribución exponencial de media 100 horas. Calcular la probabilidad de que el componente dure por lo menos 200 horas.
Solución. La función de densidad de la variable aleatoria X está dad por:

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