Ecuaciones Diferenciales De Oreden Superior

890 palabras 4 páginas
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Una ecuación diferencial de orden superior es una ecuación de la forma: an (x) dⁿy/dxⁿ + an-1 (x)(d^(n-1) y)/(dx^(n-1) ) + … + a2 (x) (d^2 y)/(dx^2 ) + a1 (x) dy/dx + a0 (x)y = f(x) (1)

Donde an (x), an-1 (x)… a0 son funciones de “x” y an, an-1 ,… a0 son constantes. Si la E.D. toma la forma de:

an (x) dⁿy/dxⁿ + an-1 (x)(d^(n-1) y)/(dx^(n-1) ) + … + a2 (x) (d^2 y)/(dx^2 ) + a1 (x) dy/dx + a0 (x) y = 0 (2), se dice que la E.D. es homogénea
Ecuación auxiliar o Polinomio característico
Sea (2) una E.D homogénea de orden n, entonces el polinomio asociado a esa E.D. toma la forma an mn + an-1 mn-1 +… + a2 m2 + a1 m + a0 = 0 (3)
Teorema de raíces reales distintas:
Si una
…ver más…
“h”= homogénea “p”= particular

La integral P puede tener cualquiera de las siguientes funciones
a) constante k
b) polinomio x^n
c) una función e^δx
d) sin⁡〖βx ,〗 cos⁡βx
e) combinación lineal de x^2 e^3x,e^3x cos⁡5x ,x^3 sin⁡5x,etc.

Operadores diferenciales
El símbolo D^n se usa frecuentemente para designar la derivada enésima de una función
D^n Y=[(d^n Y)/〖dx〗^n ] El operador D^n anula: 1, X, X^2,…,X^n El operador [D- δ]^n anula: e^δx,xe^δx,x^2 e^δx… (n=1, n=2, n=3 respectivamente) El operador [D^2-2δD+(δ^2+ β^2)]^n anula: e^δx cos⁡βx ,xe^δx cos⁡βx ,x^2 e^δx cos⁡βx e^δx sin⁡βx ,xe^δx sin⁡βx ,x^2 e^δx sin⁡βx
Ejemplos:
Hallar el Operador anulador
F(x)=e^6x
[D- 6]^1 e^6x = D’ [e^6x ] – 6e^6x
[D- 6]^1 e^6x = 6e^6x- 6e^6x
[D- 6]^1 e^6x = 0
Ejemplo 2:
F(X)= Cos 4x = e^0x cos⁡4x, : δ=0 β=4 n=1
[D^2-2(0)D+(〖(0)〗^2+ 〖(4)〗^2)]^1
[D^2+ 16]=D^'' [cos⁡4x ]+16 cos⁡4x
[D^2+ 16]=4(-sin⁡〖4x)'+16 cos⁡4x 〗
[D^2+ 16]=-16 cos⁡〖4x+16 cos⁡4x 〗
[D^2+ 16]=0
Ejemplo 3:
F(x) = 3+ e^x cos⁡2x ; g(x) =3 h(x) = e^x cos⁡2x g(x) = 3  D h(x) = e^x cos⁡2x  [D^2-2D+(1+ 4)] =[D^2-2D+5]
D[D^2-2D+5]  D (3)= 0
Ejemplo 4:
Y” -4Y’-5Y=0 m^2+4m-5=0 (m-5)(m+1)=0 m=5 m=-1
Y_h=C_1 e^5x+ C_2 e^(-1x)
Solución particular
[D^2-4D-5] Y=3X^2+5
D^3 [D^2-4D-5] Y=D^3 [3X^2+5]
D^3 [D^2-4D-5] Y=O

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