Espacios vectoriales r2 y r3

1123 palabras 5 páginas
Espacio Vectorial en R2 y R3
El espacio vectorial R2 corresponde a lo que se denomina el plano real y tiene dimensión 2. Tradicionalmente se toma para este espacio como base el conjunto de vectores (i, j), tal que: i = (1; 0) y j = (0; 1)
El conjunto (i, j) recibe el nombre de base canoníca.
En la representación geométrica de elementos de este espacio, el vector i corresponde en el sistema de coordenadas al eje x, y el vector j corresponde al eje y.
Asi cualquier vector u = (x; y) en el plano se acostumbra escribir como u = (x; y) = xi + yj
Los números reales x, y reciben el nombre de componentes del vector u en la base (i, j).
Similarmente, el espacio vectorial R3 corresponde al espacio real y su dimensión es 3. La base con que se trabaja
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En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vector. * En dos dimensiones: Siendo y y O el origen de coordenadas de dicho espacio. * Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que: Siendo y * En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene: Siendo y .
De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal en las que un vector, dado por sus componentes en esta base, entonces la norma de dicho vector viene dada por:

Distancia entre dos Puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Desigualdad Triangular
El teorema de desigualdad

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