Desarrollo
Tema 5.1 Integrales Dobles Iteradas

Recordar que por lo común es difícil evaluar integrales simples directamente de la definición de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de primeros principios es incluso más difícil. Normalmente, el primer paso en la evaluación de una integral doble consiste en reescribirla como una integral iterada para comprender el proceso. En resumen, la integral doble normalmente se utiliza para encontrar el volumen de un sólido encontrando ciertos puntos de intersección para así poder integrarla después.
Subtema 5.1.1 Dominios Rectangulares
Si queremos computar la doble integral de sobre el dominio donde …ver más…

Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An (3) sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5)
Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.
La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo o otra de las siguientes integrales iteradas:
"A"