Matemática I

Robert Jara

CONTINUIDAD
CONTINUIDAD / DISCONTINUIDAD EN FORMA VISUAL
Continuidad
una función es continua si:
La gráfica puede dibujarse completamente sin tener que levantar el papel. En el punto donde es necesario levantar el lápiz no hay continuidad
Podemos caminar sobre la gráfica sin tener que dar saltos. En el punto donde es necesario saltar no hay continuidad. Discontinuidad
Una función es discontinua en un determinado punto si en dicho punto no existe gráfica (hay un hueco), o en dicho punto la gráfica sufre un salto
Ejemplo 1.
Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x  a

Es continua. No hay salto. No hay hueco

NO es continua. Hay salto

No es continua. Hay hueco

NO …ver más…

2.

Si el

lim f ( x) SI existe. f (a) NO existe

lim f ( x) SI existe. f (a) SI existe. lim f ( x)  f (a)

x a

x a

x a

lim f ( x) NO EXISTE entonces la ddiscontinuidad es inevitable x a

1. Si
2. Si

lim f ( x)  lim f ( x) la discontinuidad inevitables es de primera especie

x a 

x a

lim f ( x) NO existe v lim f ( x) NO existe la discontinuidad inevitable es de segunda

x a

x a

especie

Ejemplos
1. Discontinuidad evitable (1)
Sea f ( x) = 2 , para

x 1

¿Es continua en x=1?: No

Lim f (x) = 2 ,

f (1) NO existe

x 1

2. Discontinuidad evitable (2)

 2, x  1

 3, x = 1


Sea f ( x) = 

¿Es continua en x=1?: No

Lim f (x) = 2 , x 1

f (1)  3 f (1)  3 , Lim f (x)  f (1) x 1

3. Discontinuidad inevitable (1)

Sea

 2, x  1

f ( x) = 
 3, x  1


¿Es continua en x=1?: No

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Matemática I

Robert Jara

Lim f (x)  2 , Lim f (x)  3

 x 1

x 1

4. Discontinuidad inevitable (2)
Sea

f ( x) =

1
1- x

¿Es continua en x=1?: No

Lim f (x) =  , Lim f (x) = 

 x 1

x 1

PROBLEMAS PROPUESTOS
1- Analice la continuidad de las siguientes