Limites y continuidad

8671 palabras 35 páginas
Limites

Idea intuitiva de límite
En este capítulo vamos a presentar la idea formal de límite como una operación aplicada a una función en un punto.
Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes de funciones.
Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.
La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del límite de una función en un punto.
Ejemplo 1:
Consideramos la función definida por con dominio en .
La representación gráfica es la siguiente:

Nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de cercanos a 2 pero no iguales a 2.
Veamos las tablas siguientes:
Tabla a. |
Tabla b. | Puede
…ver más…
Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que se dice que no existe
Consideremos ahora la función definida por con , cuya representación gráfica es la siguiente:

Observe que cuando , entonces tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, (es decir, ), y que cuando , toma valores negativos cada vez menores, ( ). Así, no tiende a ningún número real fijo y se dice que no existe.

Formalización de la idea intuitiva de límite
En el ejemplo 1 se analizó el comportamiento de la función con ecuación en las proximidades de 2.
Expresamos como , el hecho de que para acercar los valores de la función tanto como se quisiera a 3, era suficiente acercar adecuadamente al valor 2, ().
De otra forma, puede decirse que es tan pequeño como se quiera, siempre que sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.
Utilizaremos las letras griegas (epsilon) y (delta) para escribir en forma más precisa lo anterior. son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el valor absoluto de la diferencia entre y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre y 2 respectivamente.
Se dice entonces que será menor que , siempre que sea menor que y .
Luego, si para cada puede encontrarse un tal que , entonces se dice que
Observe que se establece la condición , ya que

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