Operador derivada

28081 palabras 113 páginas
EL OPERADOR DERIVADA, SUS PROPIEDADES Y SUS APLICACIONES
´ Ing. JOEL GOMEZ ´ M en I JESUS EDMUNDO RUIZ MEDINA

Pr´logo o
La intenci´n de esta obra es dar a conocer las ventajas que tiene el manejo del opeo rador derivada y sus aplicaciones en los procesos de derivaci´n e integraci´n de ciertas o o funciones y consecuentemente en la soluci´n de ecuaciones y sistemas de ecuaciones dio ferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes, cuyo t´rmino independiente lo e constituye esos tipos de funciones. Pues es bien sabido que gran cantidad de fen´menos f´ o ısicos est´n representados maa tem´ticamente por estos tipos de ecuaciones y sistemas. a A lo largo de ´sta obra se demostrar´n cada una de las propiedades y aplicaciones. e
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PRIMERA PROPIEDAD DEL OPERADOR DERIVADA

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factorizando en esta expresi´n 8e−3x y sustituyendo las derivadas por el operador derivada o correspondiente tendremos: d3 d2 + 8 2 + 20 dx3 dx 8e−3x = D3 + 8D2 + 20 8e−3x

aplicando la ecuaci´n (1.1) el resultado es: o d3 d2 (8e−3x ) + 8 2 (8e−3x ) + 20(8e−3x ) = (−3)3 + 8(−3)2 + 20 dx3 dx 8e3x = 520e−3x

1.1.1.

Aplicaci´n de la primera propiedad del operador derio vada a las ecuaciones diferenciales ordinarias

Esta primera propiedad puede aplicarse tambi´n a la determinaci´n de una soluci´n e o o particular (yp ), de una ecuaci´n diferencial lineal de coeficientes constantes; esto es, de o la ecuaci´n (1.1) donde P (±a) es una constante y P (D) una funci´n escalar, podemos o o entonces premultiplicar dicha expresi´n por: o 1 P (±a) y obtener 1 P (±a) 1 P (D) P (D)e±ax = 1 P (±a) 1 P (D) P (±a)e±ax 1 P (D)

por lo tanto tenemos que 1 P(D) e±ax = 1 e±ax P(±a) (1.2)

1 Nota:Se debe hacer notar que en la expresi´n (1.2), P(D) corresponde al o polinomio inverso de P(D) y que representa realmente procesos de integraci´n. o

Ejemplo 1.3 Obtener la soluci´n general de la siguiente ecuaci´n diferencial lineal no o o homog´nea: e d2 y dy − 3 + 2y = 10e4x . . . . . . . . . . . . . . . (α) 2 dx dx

6 ´ Solucion

1. PROPIEDADES DEL OPERADOR DERIVADA

Soluci´n

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