Soluciones de una ecuacion diferencial

2823 palabras 12 páginas
Soluciones de una Ecuación diferencial
Definición: Toda función φ definida en un intervalo “I”, que al ser sustituida en una ED, la transforma en una identidad, se le denomina Solución de la ecuación en ese intervalo
Se puede afirmar entonces que una solución de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo “I” es toda función φ(x) tal que Fx , ∅ x , ∅'x , … , ∅n(x ) = 0. Entiéndase que y = φ(x). Ejemplos:
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ED
Dependiendo en función de que variables se exprese la solución de una ED, éstas se clasifican en: a) Soluciones Explícitas : cuando la variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente y constantes , es decir , y = φ(x), ejemplos:
…ver más…
|

Ejemplo
La familia de rectas es la solución general de la ecuación diferencial . La parábola es una solución singular.
No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la figura 3 se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

Figura 3
Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la parábola es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definición. | Definición [Envolvente] | | Cualquier curva tangente a un número infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia. |

La envolvente de una familia de curvas satisface el sistema

lo cual nos permite hallarla. Ejemplo
Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias , resolvemos el sistema

obteniendo que . Al sustituir en la ecuación de la familia obtenemos que la envolvente está formada por las rectas . La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 4.

Figura

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